初等数论 研究数的规律

20102725984 王涛不定方程

论不定方程

王涛 20102725984

摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。

正文：初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。

初等数论已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，

或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转

古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干

这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。了指标和估计问题——表示论的雏形。

不定方程是数论中最古老的分支之一。

古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组 (变量的个数大于方程的个数)或不定方程式 (两个变数以上)。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。

基础知识

1．不定方程问题的常见类型：

（1）求不定方程的解；

（2）判定不定方程是否有解；

（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

（5）无穷递推法。

一次不定方程

二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b 互质，即它们的最大公约数为1，(x0，y0)是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。

S（≥2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且

a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。

埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：

（一）“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。后来人们

（二）将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1

（三）再将（二）的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。

（四）上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：

N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=p k m k+a k 。(1)

其中p1，p2，.....，p k表示顺序素数2，3，5，,,,,。

a≠0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，...，p km+0形。若N

（五）可以把（1）等价转换成为用同余式组表示：

N≡a1(modp1)，N≡a2(modp2)，.....，N≡ak(modpk)。(2)

例如，29，29不能够被根号29以下的任何素数2，3，5整除，29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。29≡1(mod2)，29≡2(mod3)，29≡4(mod5)。29小于7的平方49，所以29是一个素数。

以后平方用“*”表示，即：㎡=m*。

由于（2）的模p1，p2，....，pk 两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，（2）在p1p2.....pk 范围内有唯一解。

例如k=1时，N=2m+1，解得N=3，5，7。求得了（3，3*）区间的全部素数。

k=2时，N=2m+1=3m+1，解得N=7，13，19；N=2m+1=3m+2，解得N=5，11，17，23。求得了（5，5*）区间的全部素数。

k=3时,

---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|

---------------------|---------|----------|--------|---------| n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----| n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|

------------------------------------------------------------ 求得了（7，7*）区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。二次不定方程二次不定方程

二元二次不定方程本质上可以归结为求二次曲

另一类特殊的二次不定方程是所谓佩尔方程x2－Dy2=1，D是非平方的正整数。利用连分数理论知此方程永远有解。这类方程就是求双曲线上的有理点。

最后一类就是平方剩余问题，即求x^2-py=q 的整数解，用高斯的同余理论来描述，就是求x^2≡q(mod p) 的剩余类解。高斯发现的著名二次互反律给出了次方程是否有解的判定方法。这类方程就相当于求抛物线上的整点。

圆锥曲线对应的不定方程求解可以看做椭圆曲线算术性质的一种特例。

（二）高次不定方程（组）及其解法

1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；

2．同余法：如果不定方程有整数解，则对于任意，其整数解满足，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；

3．不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；

4．无限递降法：若关于正整数的命题对某些正整数成立，设是使成立的最小正整数，可以推出：存在，使得成立，适合证明不定方程无正整数解。

方法与技巧：

1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；

2．同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；

3．不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生适用的不等式；

4．无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小”，由此产生矛盾。

（三）特殊的不定方程

1．利用分解法求不定方程整数解的基本思路：

将转化为后，若可分解为

，则解的一般形式为，再取舍得其整数解；

2．定义2：形如的方程叫做勾股数方程，这里为正整数。

对于方程，如果，则，从而只需讨论的情形，此时易知两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。

定理3.勾股数方程满足条件的一切解可表示为：

，其中且为一奇一

偶。

推论：勾股数方程的全部正整数解（的顺序不加区别）可表示为：

其中是互质的奇偶性不同的一对正整数，是一个整数。

勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。

3．定义3.方程且不是平方数)是的一种特殊情况，称为沛尔(Pell)方程。

这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程的研究，其中都是整数，且非平方数，而。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解，则称使的最小的正整数解为它的最小解。

定理4.Pell方程且不是平方数)必有正整数解，且若设它的最小解为，则它的全部解可以表示成：

.

上面的公式也可以写成以下几种形式：

（1）；（2）；（3）.

定理5.Pell方程且不是平方数)要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为，则它的全部

解可以表示为

定理6.（费尔马（Fermat）大定理）方程

为整数)无正整数解。

费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。

典例分析

例1．求不定方程的整数解。

解：先求的一组特解，为此对37，107运用辗转相除法：

，，

将上述过程回填，得：

由此可知，是方程的一组特解，于是，是方程的一组特

解，因此原方程的一切整数解为：。

例2．求不定方程的所有正整数解。

解：用原方程中的最小系数7去除方程的各项，并

移项得：

因为是整数，故也一定是整数，于是有

，再用5去除比式的两边，得，

令为整数，由此得。

经观察得是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解：，所以原方

程的一切整数解为：。

参考文献：