2002考研数学一真题及答案解析

2002年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)

?

∞+e

x

x dx

2ln =

.

(2)已知函数()y y x =由方程0162

=-++x xy e y 确定,则(0)y ''=

. (3)微分方程02

='+''y y y 满足初始条件

00

1

1,'

2

x x y

y ====

的特解是

.

(4)已知实二次型3231212

32

22

1321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换

x Py =可化成标准型216y f =,则a =

.

(5)设随机变量X 服从正态分布2

(,)(0)N μσσ>,且二次方程042

=++X y y 无实根的概率为

1

2

,则μ＝ .

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

(1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;

④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．

若用“P Q ?”表示可由性质P 推出性质Q ,则有

(A ) ②?③?①. (B ) ③?②?①. (C ) ③?④?①.

(D ) ③?①?④.

(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=L ,且lim

1n n

n

u →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞

+=+-+∑ (A ) 发散. (B ) 绝对收敛.

(C ) 条件收敛.

(D ) 收敛性根据所给条件不能判定.

(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则 (A ) 当0)(lim =+∞

→x f x 时,必有0)(lim ='+∞

→x f x .

(B ) 当)(lim x f x '+∞

→存在时,必有0)(lim ='+∞

→x f x .

(C ) 当0

lim ()0x f x +→=时,必有0

lim ()0x f x +

→'=. (D ) 当0

lim ()x f x +→'存在时,必有0

lim ()0x f x +

→'=.

(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为

(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,

分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则

(A ) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B ) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C ) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D ) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.

三、(本题满分6分) 设函数)(x f 在

0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若

()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.

四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与?

-=x t dt e y

arctan 0

2

在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限

)2(lim n

nf n ∞→.

五、(本题满分7分) 计算二重积分dxdy e D

y x

??}

,max{22

,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .

六、(本题满分8分)

设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,

其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记

2221[1()][()1],L x

I y f xy dx y f xy dy y y

=++-?

(1)证明曲线积分I 与路径L 无关; (2)当cd ab =时,求I 的值.

七、(本题满分7分)

(1)验证函数3333

69()1()3!6!9!(3)!n x x y x x n =+

+++++-∞<<+∞L L 满足微分方程x e y y y =+'+'';

(2)利用(1)的结果求幂级数30

(3)!n

n x n ∞

=∑的和函数.

八、(本题满分7分)

设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2

{(,)|D x y x =

275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.

(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.

(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.

也就是说,要在D 的边界线22

75x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.

九、(本题满分6分)

已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=

Ax 的通解.

十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,

(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.

十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为

1

0,

cos ,()22

0,

x x f x π?≤≤?=???其他.

对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于

3

π的次数,求2

Y 的数学期望.

十二、(本题满分7分) 设总体

的概率分布为

其中1

(0)2

θθ

<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值 3,1,3,0,3,1,2,3,

求θ的矩估计值和最大似然估计值.

2002年考研数学一试题答案与解析

一、填空题 (1)【分析】 原式2ln 1

1.ln ln e

e

d x x x

+∞+∞

==-=?

(2)【分析】 方程两边对x 两次求导得

'6'620,y e y xy y x +++=

① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=

②

以

0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得

''(0) 2.y =-

(3)【分析】 这是二阶的可降阶微分方程.

令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dP

y P dx dx dy

=

== 代入方程得

20dP yP

P dy +=,即0dP

y P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01

'2

x y ==

). 分离变量得

0,dP dy P y

+= 积分得

ln ln ',P y C +=即1

C P y

=

(0P =对应10C =); 由0x =时

11,',y P y ===得11

.C =于是

又由0

1x y

==得21,C =所求特解为y =

(4)【分析】 因为二次型T

x Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵

A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.

又因ii

i

a λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++?=

(5)【分析】 设事件

A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>

4}.依题意,有

1

(){4}.2

P A P X =>=

而 4{4}1{4}1(

),P X P X μ

Φσ

->=-≤=-

即

414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ

----===?=

二、选择题

(1)【分析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A ).

(2)【分析】 由1

lim 101n n u

n n →+∞=>?充分大时即,N n N ?>时

10n u >,且1lim 0,n n

u →+∞=不妨认为,0,n n u ?>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证

1

n

u 的单调性. 按定义考察部分和

1

111

1111

1111(1)

()(1)(1)n

n n

k k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑ 1111

111(1)11(1)1(1)(),k n n

n l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑

?原级数收敛.

再考察取绝对值后的级数1111

()n n

n u u ∞

=++

∑.注意1111

12,11n n n n u u n n n u u n n

++++=+?→+

11

n n ∞

=∑发散?1111()n n n u u ∞

=++∑发散.因此选(C ).

(3)【分析】 证明(B )对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞

'=≠,则由拉格朗日中值定理,

(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞

(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾

(()).f x M ≤

(4)【分析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B ).

(A )表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==

(C )中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和

()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.

类似地,(D )中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.

(5)【分析】 首先可以否定选项(A )与(C ),因

121212[()()]()()21,

()()112 1.

f x f x dx f x dx f x dx F F +∞

+∞

+∞

-∞

-∞

-∞

+=+=≠+∞++∞=+=≠?

?

?

对于选项(B ),若

121,21,1,01,

()()0,0,x x f x f x -<<-<

则对任何(,),x ∈-∞+∞

12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞

-∞

=≠?

因此也应否定(C ),综上分析,用排除法应选(D ).

进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则

X 的分布函数()F x 恰是

12()().F x F x

1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤

1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=

三、【解】 用洛必达法则.由题设条件知

lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=

及(0)0f '≠,则有20a b +=. 综上,得2, 1.a b ==-

四、【解】 由已知条件得

(0)0,f =2

2

arctan arctan 0

2

'(0)()'

1,1x

x t x

x x e f e dt x --====

=+?

故所求切线方程为

y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得

五、【分析与求解】 D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示

2

2

2

2,,

max{,}(,),,,

x x y x y x y D y x y ?≥?=∈?≤??

于是要用分块积分法,用

y x =将D 分成两块:

1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥U I I

?

I 2

22

21

2

max{,}

max{,}

x

y x

y D D e dxdy e dxdy =+????

2

2

2

1

2

1

2x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=??????(D 关于y x =对称)

2

10

2x

x dx e dy =??(选择积分顺序)22

1

1

2 1.x x

xe dx e e ===-?

六、【分析与求解】

(1)易知Pdx Qdy +?原函数,

2211

()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y

+=

++-=-++ 0

()()()[()].xy x x

d f xy d xy d f t dt y y =+=+?

?在0y >上Pdx Qdy +?原函数,即0(,)()xy x

u x y f t dt y

=+?.

?积分I 在0y >与路径无关.

(2)因找到了原函数,立即可得(,)

(,)

(,)

.c d a b c a I u x y d b

==

-

七、【证明】 与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数

3693()13!6!9!(3)!

n

x x x x y x n =++++++L L

的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得

25831

'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-L L ,

4732

''()4!7!(32)!

n x x x y x x n -=+++++-L L ,

所以

2'''12!!

n

x x x y y y x e n ++=+++++=L L ()x -∞<+∞.

(2)与'''x

y y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,

其特征方程为2

10λλ++=,特征根为1,2122

λ=-

±.

因此齐次微分方程的通解为2

12()x Y e

C x C x -

=+.

设非齐次微分方程的特解为x y Ae *=,将y *代入方程'''x

y y y e ++=可得

13A =,即有13

x y e *=.

于是,

方程通解为2

121(cos

sin )223

x

x y Y y e

C x C x e -*

=+=++. 当0x =时,

有11212

1(0)1,23,0.311'(0)0.

23y C C C y C ?

==+??

?==??==-+??

于是幂级数30(3)!

n n x n ∞

=∑

的和函数为221

()cos

323x x y x e x e -=+()x -∞<+∞

八、【分析与求解】

(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向

0000(,)(,)

0000(,)

{

,}{2,2}x y x y h h h x y x y y x x y

??==-+-+??grad

方向导数取最大值即00(,)

(,)

x y h x y grad 的模

,00(,)g x y ?=

(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件2

2

750x y xy +--=下的最大值点?

22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-

在条件2

2

750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数

2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--

则有

22

108(2)0,108(2)0,750.L

x y x y x L

y x y x y L x y xy λλλ

??=-+-=?????=-+-=?????=+--=???

解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=?=-或 2.λ=-

若

y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=m 若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式

得2

75x =

即x y =±=±于是得可能的条件极值点

1234(5,5),(5,5),(M M M M ----

现比较2

2

2

(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:

1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====

因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2

(,)g x y 在

12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点.

九、【解】

由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵

A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由

123412312(,,,)2010ααααααα??

??

-??=-+=??????

知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T

-

再由12341234

1111(,,,)1111A βαααααααα????????

????=+++==????????????

知,(1,1,1,1)T 是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ????

????

-????+????????????

其中k 为任意常数.

十、【解】 (1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1

,P AP B -=故

111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-

11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-

(2)令0100,,0000A B ????==?

???

????

那么2

.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵

P ,使10P AP B -==.从而100A P P -==,矛盾,亦可从

()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.

(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλL 则有

A 相似于1

,n λλ??

????????O B

也相似于1.n λλ??

???????

?

O 即存在可逆矩阵,P Q ,使1

1

1.n P AP Q BQ λλ--??

??==?????

?

O 于是11

1

()().PQ A PQ B ---=由1

PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.

十一、【解】 由于3

11{}cos ,3

222x P X dx π

π

π

>

==?依题意,Y 服从二项分布1

(4,)2

B ,则有

2222111

()()4(4) 5.222

EY DY EY npq np =+=+=??+?=

十二、【解】 2

2

012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=?+?-+?+?-=-1

(3).4

EX θ

=- θ的矩估计量为1?(3),4X θ

=-根据给定的样本观察值计算1(31303123)8

x =+++++++ 2.=因此θ的矩估计值11?(3).44

x θ

=-= 对于给定的样本值似然函数为

624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-

2ln ()62824286

.112(1)(12)

d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----

令

ln ()

0d L d θθ

=,得方程2121430θθ-+=,解得θ=

71,122θ+=>不合题意).

于是θ的最大似然估计值为7?12

θ

=