离散数学综合练习题2018(1)

1.已知命题公式

()()p q p r ∨→?∨

（1）构造真值表；

（2）用等值演算法求公式的主析取范式。

解：（1）真值表

（2）主析取范式

012

()()

()()()()

(()())(()r)

(()()(r)(r)p q p r p q p r p q p r p q r r p q q p q r p q r p q p q m m m ∨→?∨??∨∨?∨??∧?∨?∧???∧?∧?∨∨?∧?∨∧???∧?∧?∨?∧?∧∨?∧?∧?∨?∧∧??∨∨

2．求公式

(())()p r p q p →∨∧→ 的主合取范式及主析取范式。

3.设

2:,()2f R R f x x →=-，:,()4g R R g x x →=+,3:,()1h R R h x x →=-，

其中

R 表示实数集。

（1）求函数

f g ，g f

；

（

2）

,,f g h 哪些函数有反函数？如果有，求出这些反函数。

解：（1）

22()(())(4)(4)2814g f x f g x f x x x x ==+=+-=++

22()(())(2)2f g x g f x g x x ==-=+

（2）

g 和h 有反函数，11:,()4g R R g x x --→=-；

11:,()h R R h x --→=

4.设

{1,2,3,4,6,9,24,54}

A =，

≤为整除关系。

（1）画出偏序集

≤>的哈斯图；

（2）求A 中的极大元；

（3）求子集B=｛3, 6, 9｝的上确界与下确界。

解：（1）哈斯图

4

24 9 54

（2）A 中的极大元为 24，54；极小元为1；最大元：无；最小元：1

（3）求子集B=｛3, 6, 9｝的上确界为54，下确界为3。

5.设有向图D 如图所示，用邻接矩阵计算1v 到4v 长度小于或等于3的通路数。

解：有向图的邻接矩阵为

1100001010001020A ?????

?=??

??

??，2

111010001100310

0A ?????

?=??????

3

2110110011103

3

1

0A ??

???

?=??????，

432

10111021104

3

3

0A ??????=??????

v 1到v 3长度小于或等于3的通路数为

3

()14

1

0112i i a

==++=∑

6．设

6{0,1,2,3,4,5}Z =，给出模6加运算的运算的运算表。求单位元，求元素的逆元。解方程23x ⊕=。

解：运算

⊕的运算表为

（2）单位元为0，0的逆元为0，任一元素x 的逆元为6-x 。

（3）由

23x ⊕=得123431x -=⊕=⊕=

7. 设A ＝{1，2，3，4，5}，R 是A 上的二元关系，且R ＝{（2，1>，<2，5），<2，4>，<3，4)，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。

解：r(R)=R ∪I A

s(R)=R ∪R -1

t(R)= {<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>,（2,2>,<5,5>}

题

2.设

{1,2,4,7,14,28}A =，

≤

为整除关系。

（1）画出偏序集

≤>的哈斯图；

（2）求子集

{2,4,7}B =的极大元、极小元、上确界与下确界；

（3）判断

,A <≤>

是否为分配格？请说明理由。

参考答案:

解：（1）哈斯图

（2）

B 的极小元为2，7，极大元为4、7，上确界：28，下确界：1。

（3）

,A <≤>

不是分配格，因为格中存在与五角格同构的子格。

四、简答题

1. 设

{1,3,(1,4,2,2,3,1,3,3),4,1}R =<>><><><<>是A ={1,2,3,4}上的二元关系。

（1）画出R 的关系图；

（2）写出R 的关系矩阵；

（3）讨论R 的性质。

（4）R 是否为函数 解：（1）R 的关系图

（2）R 的关系矩阵

0110100

10001

00

0????????????

（3）R 非自反、非反自传、对称、非反对称 、非传递的

（4）R 不是函数，不满足函数单值性的要求。

4

7

14

2.设集合

{2,3,6,8}A =上的关系

{,|}

R x y x y =<>整除。

（1）画出

R 的关系图，写出R 的关系矩阵；

（2）讨论

R 的性质；

（3）讨论

R

是否为函数？说明理由。

解：（1）R 的关系图：

R 的关系矩阵

1

011011000100

00

1????????????

（2）R 自反、非反自传、非对称、反对称 、传递

（3）R 不是函数，因为有

2,6,2,8R R <>∈<>∈，不满足单值性

3.设

:,f N N N →?其中N 为自然数集合，

2(),f x x x =<>

（1）求

({1,2,3})f

（2）讨论

f

是否为单射和满射的，如果不是说明理由。

解： （1）

({1,2,3}){1,1,2,4,3,9}f =<><><>

（2）

f

是单射，不是满射，因为

1,2ranf

<>?

4.设有向图

D 如题图3所示，用邻接矩阵完成以下计算。

（1）

1v 到

3v 长度小于或等于3的通路数；

（2）2

v 到自身长度小于或等于3的回路数；

（3）写出

D 的可达矩阵，并说明D 的连通性。

解：有向图的邻接矩阵为

题图3

0101001101010100A ?????

?=??

????，20

1

11020101110011A ??????=?????? 30212012202120

2

1A ?????

?=??

????，40

323041303230

1

2

2A ??????=??????

（1）v 1到v 3长度小于或等于3的通路数为

3

()14

1

0112i i a

==++=∑

（2）v 2到自身长度小于或等于3的回路数为

3

()11

1

0213i i a

==++=∑

（3）11110111()01110

11

1P D ??????=??????

由可达矩阵可知D 是单向连通的。

四、证明题

1.用一阶逻辑推理理论证明： 前提：

(()())x F x G x ?→，(()())x F x H x ?∧

结论：

(()())

x G x H x ?∧

证明：

（1）

()(()())x F x H x ?∧ 前提引入 （2）

()()F y H y ∧ （3）?-

（3）

(()())

x F x G x ?→ 前提引入

（4）

()()F y G y → （3）?-

（5）

()F y （2）化简 （6）

()G y （4）（5）假言推理 （7）

()H y （2）化简

（8）

()()G y H y ∧ 前提引入

（9）

(()())x G x H x ?∧ (8) ?+

2．用一阶逻辑的推理理论证明：

前提：

(()())x F x G x ?→?，

(()())x F x H x ?∨，

()

x H x ??

结论：

()

x G x ??

证明：（1）

(()())x F x H x ?∨ 前提引入

（2）

()()F x H x ∨ （1）?- （3）

()x H x ?? 前提引入 （4）

()H x ? （3）?-

（5）

()F x （2）

（4）析取三段论 （6）

(()())x F x G x ?→? 前提引入

（7）

()()F x G x →? （6）?-

（8）

()G x ? （5）

（7）假言推理 （9）

()G x ?? （8）?+

3.设R 是A 上的关系，如果R 满足以下两条件：

（1）对于任意的

a A ∈， 都有aRa ；

（2）若

aRb ，

aRc

， 则有

bRc

；

证明：R 是等价关系。

证明： 任取

,,a b c A ∈

（1）由已知条件（1）得

,a a R <>∈,,所以R 是自反的。

（2）由已知条件（1）、（2）得

,,,a b R a a R b a R <>∈∧<>∈?<>∈

所以

R 是对称的。

（3）由已知条件（1）、（2）得

,,,,a b R b c R b a R c b R <>∈∧<>∈?<>∈∧<>∈

,,,b c R b a R c a R <>∈∧<>∈?<>∈ 所以

R 是传递的。

4．设

{,|,A x y x y =<>为正整数}，在A 上定义二元关系R 如下：,,x y R u v <><>当且仅当x y u v -=-。

证明：

R 是一个等价关系。

证明：

任取

,x y <>

,,,x y A x y x y x y R x y <>∈?-=-?<><>

所以R 自反的。

任取

,,,x y u v <><>

,,,,x y R u v x y u v u v x y u v R x y <><>?-=-?-=-?<><>

所以R 是对称的。

任取

,,,,,x y u v s t <><><>

,,,,x y R u v u v R s t x y u v u v s t <><>∧<><>?-=-∧-=-

,,x y s t x y R s t ?-=-?<><>

所以R 是传递的。

因此，R 是等价关系。

5．设代数系统

6,V Z =<⊕>，6{0,1,2,3,4,5}Z =，⊕为模6加法。证明：6Z 关于⊕运算构成群。

证明：集合

6Z 显然非空。

(1)

6,a b Z ?∈,6a b Z ⊕∈,从而集合6Z ⊕关于运算是封闭的。

(2)

6,,a b c Z ?∈,有()()a b c a b c ⊕⊕=⊕⊕，故运算⊕ 是可结合的。 (3)

6a Z ?∈, 0a a ⊕=,故0是6,Z <⊕>中的幺元。 (4)

6a Z ?∈,因为(6)0a a ⊕-=,因此6a -是a 的逆元

由此上知

6,Z <⊕>是群

五、应用题（未给出参考答案的自己完成）

1. 构造下列推理的证明。

如果今天是星期一，则要进行英语或离散数学考试。如果英语老师有会，则不考英语。今天是星期一，英语老师有会，所以进行离散数学考试。（给答案）

证明：设

p :今天是星期一; q :进行英语考试; r :进行离散数学考试; s :英语老师有会。则这段推理可表示为:

前提 ：

p q r →∨， s q →?，,p s

结论：

r

证明： (1)

p q r →∨ 前提引入

(2)

p

前提引入

(3)

q r ∨

(1) (2) 假言推理

(4)

s q →? 前提引入

(5)

s 前提引入

(6)

q ? (3) (4) 假言推理

(7)

r

(3) (6) 析取三段论

2．如果甲是冠军，则乙或丙将得亚军；如果乙得亚军，则甲不能得冠军； 如果丁得亚军，丙不能得亚军；事实是甲已得冠军。因此丁不能得亚军。

解：令 p ：甲得冠军；q ：乙得亚军；r ：丙得亚军；s ：丁得亚军。

推理过程符号化为

前提：p →（q ∨r ），q →? p ，s →?r ，p

结论：? s

(1) p →（q ∨r ） 前提引入

(2) p 前提引入

(3) q ∨r (1) (2) 假言推理

(4) q →? p 前提引入

(5) ? q (3) (4) 拒取式

(6) r (3) (5) 析取三段论

(7) s →?r 前提引入

(8) ? s (6) (7) 拒取式

3.某学院学生会下设6个委员会，第一委员会={张,李,王}，第二委员会={李,赵,刘}，第三委员会={张,刘,王}，第四委员会={赵,刘,孙}，第五委员会={张,王}，第六委员会={李,刘,王}。每个月

每个委员会都要开一次会，为了确保每个人都能参加他所在的委员会会议，这6个会议至少要安排在几个不同时间段?

具体答案请参考P128的着色的例题。

4．今有于

,,,,,a b c d e f

7个人，已知下列事实： a 会讲英语； b 会讲英语和汉语； c 会讲英语、意大利语和俄语；d 会讲日语和汉语； e 会

讲德国和意大利语；f 会讲法语、日语和俄语； g 会讲法语和德语。

试问这七个人应如何排座位，才能使每个人都能和他身边的人交谈？

解：用结点表示人，用边表示连接的两个人能讲同一种语言，构造出图G 如下：

在G 中存在着一条哈密顿回路如下，根据这条回路安排座位，就能够使每个人都能和他身边的人交谈。

b

g

日

b

g