《复变函数》作业参考答案
《复变函数》作业参考答案
一．判断题
1.对； 2．对；3．对；；4．对； 5．对； 6．对； 7．对； 8．对； 9．对； 10错； 11．对； 12．对
13．对14．对；15．对； 16．对；17．错；18．对；19．错；20．对；21．对； 22．错； 23．对；24．错。
25、错 26、对 27、错 28、错 29、对 30、对 31、对 32、错 33、对 34、对 35、对 36、对 37、对 38、对
二．填空题
1．i π2；
2．2
)1(1z -； 3．???+-≤=0
)!1(200)0,(Res n n i n z e n z
π； 4．
???≠==-?=-1012)(1||00n n i z z dz z z n π； 5．整函数；
6．亚纯函数。
7. i z ±≠； 8．=+z z 22cos sin 1
9．1；
10．i i z -=,
11．?
??+-≤=0)!1(200)0,(Res n n i n z e n z
π； 12．ie z n n +-=∞
→1lim ； 13．π2；
14．),sin(1()2()(20200020y x i y x x z f +-++=
15．ξ=+++∞→n
z z z n n ...lim 21 16．0； 17、实部233ab a -，虚部b a b 233-。
18.内点集合2|1|0<- 19.解析区域是2i z ±≠，22246) 14(12441024)('+--++=z z z z z z f 20.模：2，幅角：,4 52ππ+k 21.收敛区域是：1|| z z f 。 22.0=z 是函数 z z sin 的 可去 极点，而11)(3-=z z f 在1=z 处有 1 阶极点。 23.0，0． 24. .),(),(,),(),(x y x v y y x u y y x v x y x u ??-=????=?? 三．计算题 1．592.))(9(22||2ππ=-=+--==?i z z z z i dz i z z z 2．求;1)1)0) 4)(1(21sin 3||1||1 -=-+=--+??==+z z z z z dz i zdz e π。 3．1个。 4．0cos 11||=?=z dz z 5．∑∑∞=∞=+-=-+--=---=--=1 1221112/11211121)2)(1(1)(n n n n n z z z z z z z z z f 。 6．1个。 7．)173(2173)(22++=-++=?z z i d z z f C πλλλλ，),76(2)('+=z i z f π .1226()1('-=+i i f π 8．0)),((Re =∞z f s 9．2222| 1||1|1|||1|)1)(1(11++-++=+--=+-z z z z z z z z z z ； 10．4cos cos 2)4sin()4cos(4sin 4cos 2121πππππn n i n n i n i i n n =-+-++=?? ? ??-+??? ??+ 11．062lim =?? ? ??-∞→n n i 12．...)!12()2()1(...!3)2(2)2sin(1233 33 3++-++-=+n z z z z n n ； 13．...)!12()1(...!31sin 3 63363++-++-=-n z z z z z n n ； 14.i z z i dz z z z dz z z z n z z .4 5|))2((221)2/1()2/(21)2)(12(2/11||1||ππ=-=--=-+-===?? ； 15..221112 11211111)2)(1(1)(011∑∑∞=∞=---=----=--=n n n n n z z z z z z z z z f 16.因为孤立奇点0=z 是可去奇点，所以留数等于 0。 17. 先将D 保形变为上半单位圆，再变为第一象限，最后变为上半平面： 21z z =， 1 1211z z z -+=， 22z w =， 所以 .)11(22 2 z z w -+= 18．592.))(9(22||2ππ=-=+--==?i z z z z i dz i z z z 19．求;1)1)0) 4)(1(21sin 3||1||1 -=-+=--+??==+z z z z z dz i zdz e π。 20．1个。 21.先将D 平移的保形变为带形区域：}2 Im 0:{,211π π<<=-=z z D i z z ， 再将1D 保形变为带形区域：}Im 0:{,2212π<<==z z D z z 最后利用指数函数2z e w =保形变为上半平面，所以 .)2(2i z e w π-= 四．证明题 1．若函数f (z )在z 0处可导，则f (z )在z 0连续。 证明：直接利用定义。 2．若数列}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。 证明：利用不等式: 202000|||||||,|y y x x y y x x n n n n -+-≤-- 即可。 3．若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ，则)(0)(C z z f ∈?≡。 证明：由于整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且0)0(=f ，则整函数f(z)是一个有界整函数，由刘维尔定理知道，)(0)(C z z f ∈?≡。 4．证明方程0364 =+-z z 在2||1< |6||)(|64|3||)(|4z z g z z f ==<≤+=得，0364=+-z z 在单位圆内只有一个根，在利用在2||=z 上，由 |36||)(||3||6|15162|||)(|44+-=≥+=>===z z g z z z f 得，0364=+-z z 在2|| 5. 证明：由于),(y x u 等于常数，而函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，所以实部是可微的，并且 有 ,0),(,0),(=??=??y y x u x y x u 再利用柯西-黎曼条件，得 ,0),(,0),(=??=??y y x v x y x v 从而其虚部也是常数，故函数恒等于常数。 6. 证明：由于),(y x u 等于常数，而函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，所以虚部是可微的，并且有 ,0),(,0),(=??=??y y x v x y x v 再利用柯西-黎曼条件，得 ,0),(),(,0),(),(=??-=??=??=??x y x v y y x u y y x v x y x u 从而其实部也是常数，故函数恒等于常数。