2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一(上)第一次月考数学试卷 (含答案解析)

2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）第一次月考

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知向量a ? =(1,1)，b ? =(3,m)，a ? //(a ? +b ? )，则m =( )

A. 2

B. ?2

C. ?3

D. 3 2. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 11=6，则其前13项的和S 13的值是( )

A. 32

B. 39

C. 46

D. 78

3. 已知向量a ? =(?1,?3)，b ? =(2,4)，则|2a ? +1

2

b ? |=( ) A. √17 B. √10 C. 2√5 D. √2 4. 数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=2n+1，则a 7等于( )

A. 4

B. 4√2

C. 8

D. 16

5. 已知△ABC 为直角三角形，AC =BC =2，点D 为斜边AB 的中点，点P 是线段CD 上的动点，

则PA

????? ?PB ????? 的最小值为( ) A. ?2

B. ?1

4

C. ?1

2

D. 0

6. 将函数y =sin (2x +π

4)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π

4个

单位，所得到的图象解析式是( )

A. f(x)=sin x

B. f(x)=cos x

C. f(x)=sin 4x

D. f(x)=cos 4x

7. 将函数f(x)=cos2x ?sin2x 的图象向左平移π

8个单位后得到函数F(x)的图象，则下列说法正确

的是( )

A. 函数F(x)是奇函数，最小值是?√2

B. 函数F(x)是偶函数，最小值是?√2

C. 函数F(x)是奇函数，最小值是?2

D. 函数F(x)是偶函数，最小值是?2

8. 数列{a n }满足a 1=1，na n+1=(n +1)a n +n(n +1)，且b n =a n cos

2nπ3

，记S n 为数列{b n }的前n

项和，则S 30=( )

A. 294

B. 174

C. 470

D. 304

9. 已知

，则在数列{a n }的前30项中最大项和最小项分别是( )

A. a 1,a 30

B. a 10,a 9

C. a 1,a 9

D. a 10,a 30

10. 已知数列{a n }满足a n+1

={2a n (0≤a n <1

2)2a n ?1(12≤a n <1)

若a 1=6

7

，则a 2012的值为( )

A. 1

7B. 3

7

C. 5

7

D. 6

7

11.将函数f(x)=sin(2x+π

4

)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为()

A. 5

8π B. 3

8

π C. π

4

D. π

8

12.设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列﹛a n﹜的前n项和，则下列命题错误的是()

A. 若d<0，则数列﹛S n﹜有最大项

B. 若数列﹛S n﹜有最大项，则d<0

C. 若数列﹛S n﹜是递增数列，则对任意n∈N?，均有S n>0

D. 若对任意n∈N?，均有S n>0，则数列﹛S n﹜是递增数列

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知|b? |=1，a??b? =2，则向量(2a??b? )?b? =______．

14.在数列{a n}中，a n+1?a n=1，S n为{a n}的前n项和．若S7=35，则a3=_______．

15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a?b+c

c =b

a+b?c

，则b+c

a

的取值范围是______．

16.已知{a n}为等差数列，2a3+a9=33，则{a n}的前9项和S9=__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.已知数列{a n}，其前n项和为S n，若对于任意m，n∈N?，且m≠n，都有2S m+n

m+n =a m+a n+a m?a n

m?n

．

(1)求证：数列{a n}是等差数列；

(2)若数列{c n}满足c n=a n+1a n+2?a n2(n∈N?)，且等差数列{a n}的公差为1

3

，存在正整数p，q，使得a p+c q为整数，求|a1|的最小值．

18.在斜三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c．cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC．

(1)求角A；

(2)若a=√7，c=2，求b．

19. 如图，OAB 是半径为2，圆心角为π

3的扇形，C 是弧AB ?

上一动点．记∠COA =θ，四边形OACB

的面积为S ．

(1)利用一般三角形的面积公式(即三角形的面积等于两边的长与其夹角的正弦值的乘积的一半)，找出S 与θ的函数关系；

(2)求θ为何值时S 最大，并求出S 的最大值．

20. 在△ABC 中，点M 在BC 上，4BM ?????? =BC ????? ，N 是AM 的中点．

(1)设AB ????? =a ? ，AC ????? =b ? ，用a ? ，b ? 表示AM ?????? ，CN ?????? ； (2)若sin∠BAM =1

3，AB =AC =2，求AM ?????? ?CN

?????? ．

21.已知函数f(x)=sin2x+2√3sin2x+1?√3．

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；

(2)当x∈[π

6,π

2

]时，若f(x)≥log2t恒成立，求t的取值范围．

22.数列{a n}中，a1=8，a4=2且满足a n+2=2a n+1?a n，n∈N?

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)设S n=|a1|+|a2|+?+|a n|，求S n；

(3)设b n=1

n(12?a n)

(n∈N?),T n=b1+b2+?+b n(n∈N?)，是否存在最大的整数m，使得对任

意n∈N?，均有T n>m

32

成立？若存在，求出m的值：若不存在，请说明理由．

-------- 答案与解析 --------1.答案：D

解析：解：因为向量a?=(1,1)，b? =(3,m)，所以a?+b? =(4,1+m)；

又a?//(a?+b? )，

所以1×(1+m)?1×4=0，

解得m=3．

故选D．

由题意求出a?//(a?+b? )，通过共线，列出关系式，求出m的值．

本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．

2.答案：B

解析：解：∵等差数列{a n}中，a3+a11=6，

∴其前13项的和：

S13=13

2(a1+a13)=13

2

×6=39．

故选：B．

由等差数列前n项和公式及通项公式得S13=13

2

(a3+a11)，由此能求出结果．

本题考查等差数列的前13项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

3.答案：A

解析：

【分析】

先求出2a?+1

2

b? 的坐标，然后根据向量数量积的性质即可求解．

本题主要考查了向量数量积性质的简单应用，属于基础试题．

【解答】

解：∵a?=(?1,?3)，b? =(2,4)，

∴2a?+1

2

b? =(?1,?4)，

∴|2a?+1

2

b? |=√1+16=√17．

故选：A．

解析：解：数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=2n+1， 可得a n?1a n =2n ， 所以a n+1=2a n?1， 所以a 7=23a 1=8． 故选：C ．

利用递推关系式，推出数列性质，然后求解即可．

本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．

5.答案：A

解析：解：根据题意，以C 为坐标原点，CB 为x 轴，CA 为y 轴建立坐标系，如图：

则B(2,0)，A(0,2)，D 为AB 的中点，则D(1,1)， 点P 是线段CD 上的动点，设P(m,m)，(0≤m ≤1)； 则PA ????? =(?m,2?m)，PB ????? =(2?m,?m)，

则PA ????? ?PB ????? =(?m)(2?m)+(2?m)(?m)=2m 2?4m =2(m ?1)2?2，

又由0≤m ≤1，则当m =1时，PA ????? ?PB ????? 取得最小值?2； 故选：A ．

根据题意，建立坐标系，求出A 、B 、D 的坐标，进而设P(m,m)，求出向量PA ????? 、PB ????? 的坐标，由数量积的计算公式可得PA ????? ?PB ????? =(?m)(2?m)+(2?m)(?m)=2m 2?4m ，结合二次函数的性质分析可得答案．

本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题，

6.答案：A

解析： 【分析】

本题考查三角函数图象的变换，属于基础题． 【解答】

解：函数y =sin (2x +π

4)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍得到函数y =sin(x +

π4

)的图象；

函数y =sin(x +π

4)的图象，再向右平移π

4个单位，得到函数y =sinx 的图象，

7.答案：A

解析：

【分析】

本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性以及最值，属于基础题．由条件利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律求得平移后所得函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性以及最值，得出结论．

【解答】

解：将函数f(x)=cos2x?sin2x=√2cos(2x+π

4)的图象向左平移π

8

个单位后得到函数F(x)=

√2cos[2(x+π

8)+π

4

]=√2cos(2x+π

2

)=?√2sin2x的图象，

因为F(?x)=?√2sin(?2x)=√2sin2x=?F(x)，

所以函数F(x)是奇函数，

又sin2x∈[?1,1]，

所以F(x)=?√2sin2x∈[?√2,√2]，

故函数F(x)是奇函数，且它的最小值为?√2，

故选A．

8.答案：C

解析：

【分析】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，可得a n+1

n+1?a n

n

=1，利用等差数列的定义通项公式可得a n=n2，b n=

n2cos2nπ

3，可得b3k?2=(3k?2)2cos2(3k?2)π

3

=?1

2

(3k?2)2，同理可得b3k?1=?1

2

(3k?1)2，b3k=

(3k)2，k∈N?.即可得出所求和．

【解答】

解：∵na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，

∴a n+1

n+1?a n

n

=1，

∴数列{a n

n

}是等差数列，公差与首项都为1．

∴a n

n

=1+(n?1)，可得a n=n2．

∵b n=a n cos2nπ

3

，

∴b n =n 2cos

2nπ3

，

∴b 3k?2=(3k ?2)2cos

2(3k?2)π

3

=?1

2

(3k ?2)2，

同理可得b 3k?1=?1

2(3k ?1)2， b 3k =(3k)2，k ∈N ?．

∴b 3k?2+b 3k?1+b 3k =?1

2(3k ?2)2?1

2(3k ?1)2+(3k)2=9k ?5

2， 则S 30=9×(1+2+?+10)?5

2×10=470， 故选：C ．

9.答案：B

解析： 【分析】

本题考查了数列的函数特性，准确判断数列的单调性是解题的关键，属于中档题． 把给出的数列的通项公式变形，把a n 看作n 的函数，由反比例函数的性质分析得到答案． 【解答】 解：a n =

√97n?98

=1√98?√97

n?98

， ∵函数f (x )=1√

98?√97

x?√98

在(0,√98)和(√98,+∞)上都是递减的，

∴当1≤n ≤9时，a n 单调递减，且a 9<1为最小； 当10≤n ≤30时，a n 单调递减，且a 10>1为最大． ∴这个数列的前30项中的最大项和最小项分别是a 10，a 9． 故选B ．

10.答案：C

解析： 【分析】

由已知数列递推式解得a 1，a 2，a 3，a 4，故可得数列{a n }是以3为周期的周期数列，故可得答案． 【解答】

解：由已知数列递推式a n+1

={2a n (0≤a n <1

2)2a n ?1(1

2≤a n <1)

， 求得a 2=5

7，a 3=3

7，a 4=6

7，…

由上可知，数列{a n }是以3为周期的周期数列， 则a 2012=a 3×670+2=a 2=5

7． 故选C ．

解析：

【分析】

本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律及其性质，属于简单题．

由条件及图象变换规律得到y=sin(2x+2φ+π

4

)关于y轴对称，即可根据三角函数的性质得，k∈Z，即可得出结论．

【解答】

解：将函数f(x)=sin(2x+π

4

)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，

可得函数y=sin[2(x+φ)+π

4]=sin(2x+2φ+π

4

)的图象．

再根据得到的函数图象关于y轴对称，

可得，k∈Z，

即，k∈Z，

因为φ>0，

所以φmin=π

8

，

故选：D．

12.答案：C

解析：

【分析】本题主要考查数列单调性与求和，属于基础题．

当数列是递增数列时Sn存在最小值，当数列是递减数列时S n存在最大值．

【解答】

解：A项中d<0，数列是递减数列，若a1>0则存在n∈N?满足a n>0，a n+1<0则S n最大，若a1<0则S1最大；

B项中若d>0则S n逐渐增大，无最大值；

C项中当a1<0时S1<0，所以错误；

D项中若数列是递减数列，则存在n∈N?满足当m>n时a m<0恒成立，存在n∈N?满足S n<0．故选C．

13.答案：3

解析：

本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．

直接利用向量数量积的性质进行求解即可．

【解答】

解：∵|b? |=1，a??b? =2，

则向量(2a??b? )?b? =2a??b? ?b? 2=4?1=3．

故答案为3．

14.答案：4

解析：

【分析】

本题考查等差数列的定义，通项公式，前n项和公式．

根据定义知道{a n}是公差为1的等差数列，由和的公式求得a1，再由通项公式求得a3．

【解答】

解：∵a n+1?a n=1，∴{a n}是公差为1的等差数列，

S7=7a1+7×6

2

×1=35，解得a1=2，

则a3=a1+2d=2+2×1=4．

故答案为4．

15.答案：(1,2]

解析：解：∵a?b+c

c =b

a+b?c

，可得：(a?b+c)(a+b?c)=bc，

∴整理可得：b2+c2?a2=bc，

∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2?a2

2bc =bc

2bc

=1

2

，

∵A∈(0,π)，

∴A=π

3，可得：C=2π

3

?B，

∴b+c

a =sinB+sinC

sinA

=sinB+sin(

2π

3

?B)

√3

2

=√3(

1

2

cosB+√3

2

sinB)

√3

2

=2sin(B+π

6

)，

∵B∈(0,2π

3)，B+π

6

∈(π

6

,5π

6

)，可得：sin(B+π

6

)∈(1

2

,1]，

∴b+c

a =2sin(B+π

6

)∈(1,2]．

故答案为：(1,2]．

由已知整理可得：b 2+c 2?a 2=bc ，由余弦定理可得cosA =1

2，结合范围A ∈(0,π)，可求A ，由三角形内角和定理可求C =

2π3

?B ，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得

b+c a

=2sin(B +

π

6

)，由B ∈(0,2π

3

)，利用正弦函数的性质可求sin(B +π

6)∈(1

2,1]，即可得解． 本题主要考查了余弦定理，三角形内角和定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

16.答案：99

解析： 【分析】

本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n 项和公式的应用，属于中档题． 【解答】

解：解：在等差数列{a n }中，设公差为d ， ∵2a 3+a 9=33，

∴3a 1+12d =33，即a 1+4d =11， 则其前9项和S 9=9(a 1+a 9)

2

=9(2a 1+8d)

2

=

18(a 1+4d)

2

=9(a 1+4d)=9×11=99．

故答案 99．

17.答案：(1)证明：令m =2，n =1，则

2S 33

=2a 2，

即

a 1+a 2+a 3

3

=a 2，

∴a 1+a 3=2a 2，∴a 1，a 2，a 3成等差数列， 下面用数学归纳法证明数列{a n }是等差数列，

假设a 1，a 2，…，a k 成等差数列，其中k ≥3，公差为d ，

令m =k ，n =1，2S

k+1

k+1

=a k +a 1+d ， ∴2S k+1=(k +1)(a k +a 1+d)=k(a k +a 1)+a k +(k +1)d

=2S k +a 1+a k +(k +1)d ，

∴2S k+1=a 1+a k +(k +1)d =2(a 1+kd)， 即a k+1=a 1+kd ，

∴a 1，a 2，…，a k ，a k+1成等差数列， ∴数列{a n }是等差数列；

(2)解：c n =a n+1a n+2?a n 2=(a n +1

3)(a n +2

3)?a n 2

，

=a n +2

9，

若存在正整数p ，q ，使得a p +c q 是整数， 则a p +c q =a 1+1

3(p ?1)+a 1+1

3(q ?1)+2

9

=2a1+p+q?2

3+2

9

∈Z，

设m=2a1+p+q?2

3+2

9

,m∈Z，

∴18a1=3(3m?p?q+1)+1是一个整数，

∴|18a1|≥1，从而|a1|≥1

18

，

又当a1=1

18

时，有a1+c3=1∈Z，

综上，|a1|的最小值为1

18

．

解析：本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属难题．

(1)用数学归纳法证明即可；

(2)根据条件可得c n═a n+2

9

，然后将a p+c q用a1，p，q表示出来，根据18a1=3(3m?p?q+1)+1是一个整数，可得结果．

18.答案：解：(1)∵cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC，

∴2cos2A?1+cosBcosC?sinBsinC+1=0，

∴2cos2A+cos(B+C)=0，

又A，B，C是ΔABC内角，A=π?(B+C)，

∴2cos2A?cosA=0，

解得：cosA=0或cosA=1

2

，

∵0°

∴A=60°；

(2)∵A=60°，在ΔABC中，由余弦定理得b2+c2?2bccosA=a2，

∴b2+22?2×2bcos60°=(√7)2，

解得，b=3(负值已舍)．

解析：本题主要利用三角函数中余弦定理与正弦定理来求解问题，属于基础题；

(1)根据cos2A+cosBcosC+1=sinBsinC可以得到，2cos2A?1+cosBcosC?sinBsinC+1=0再根据三角形内角和为180°即可秋求解；

(2)根据余弦定理公式，b2+c2?2bccosA=a2即可求解出b．

19.答案：解：(1)∵S═AOC=1

2×2×2sinθ=2sinθ，S═COB=1

2

×2×2sin(π

3

?θ)=2sin(π

3

?θ)，

∴S=S

四边形OACB =2sinθ+2sin(π

3

?θ),θ∈[0,π

3

]．

(2)由(1)知S=2sinθ+2sin(π

3?θ)=2sinθ+√3cosθ?sinθ=sinθ+√3cosθ=2sin(θ+π

3

)．

∴当θ=π

6时，S 最大为2．

解析：本题考查三角函数模型，两角差的正弦公式、辅助角公式与函数的性质．

(1)由已知条件及所给的三角形面积公式可得；

(2)由(1)及两角差的正弦公式、辅助角公式可得，利用函数的性

质得出S 的最大值及对应θ的值．

20.答案：解：(1)∵在△ABC 中，点M 在BC 上，4BM ?????? =BC ????? ，N 是AM 的中点，AB ????? =a ? ，AC ????? =b ? ，

∴AM ?????? =AB ????? +BM ?????? =AB ????? +14BC ????? =AB ????? +14(AC ????? ?AB ????? )=34AB ????? +14AC ????? =34a ? +1

4b ? ， CN ?????? =CA ????? +AN ?????? =CA ????? +12

AM ?????? =CA ????? +12(34

AB ????? +14

AC ????? )=38

AB ????? ?78

AC ????? =38

a ? ?7

8

b ? ．

(2)在△ABM 和△AMC 中，

由正弦定理可得BM

sin∠BAM =CM

sin∠CAM ?sin∠CAM =1，

∴cos∠BAC =cos(∠BAM +∠CAM)=cos(∠BAM +π

2)=?sin∠BAM =?1

3，

∴AM ?????? ?CN ?????? =(34

AB ????? +14

AC ????? )?(38

AB ????? ?7

8

AC

????? )=932

×4?

732

×4?

916

×2×2×(?1

3

)=1．

解析：(1)由点M 在BC 上，4BM ?????? =BC ????? ，N 是AM 的中点，AB ????? =a ? ，AC ????? =b ? ，利用向量加法定理能用a

? ，b ? 表示AM ?????? ，CN ?????? ． (2)由正弦定理可得BM

sin∠BAM =CM

sin∠CAM ?sin∠CAM =1，从而求出cos∠BAC ，由此能求出AM ?????? ?CN ?????? ． 考查平面向量表示，考查向量的数量积的求法，考查向量加法定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

21.答案：解：(1)f(x)=sin2x +2√3sin 2x +1?√3

，

∴函数f(x)最小正周期是T =π． 当，(k ∈Z) 即

，

函数f(x)单调递增区间为

，

(2)因为x ∈[π6,π

2]，

所以，

，

所以

的最小值为1，

由f(x)≥log 2t 恒成立，得恒成立．

所以t 的取值范围为(0,2] ．

解析：本题考查三角恒等变换，考查正弦函数的性质，以及不等式恒成立问题，属于基础题． (1)利用三角恒等变换得到

，再利用正弦函数性质求周期和单调区间； (2)求出函数在x ∈[π6,π

2

]的最小值，则得到

恒成立，解不等式即可求解．

22.答案：解：(1)由题意，a n+2?a n ?

+1=a n+1?a n ，

∴{a n }为等差数列，设公差为d ， 由题意得2=8+3d ?d =?2，

∴a n =8?2(n ?1)=10?2n

(2)若10?2n ≥0则n ≤5，n ≤5时，S n =|a 1|+|a 2|+?+|a n |=a 1+a 2+?+a n =8+10?2n

2

×

n =9n ?n 2

n ≥6时，S n =a 1+a 2+?+a 5?a 6?a 7…?a n =S 5?(S n ?S 5)=2S 5?S n =n 2?9n +40 故S n ={9n ?n 2n ≤5n 2?9n +40n ≥6

(3)∵b n =1n(12?a n )=12n(n +1)=12(1n ?1

n +1

)∴T n

=12[(1?12)+(12?13)+(13?14)+?+(1n ?1?1n )+(1n ?1n +1)]=n 2(n +1)

若T n >m

32对任意n ∈N ?成立，即n

n+1>m

16对任意n ∈N ?成立，∵n

n+1(n ∈N ?)的最小值是1

2，∴m

16<1

2，∴m 的最大整数值是7．

即存在最大整数m =7，使对任意n ∈N ?，均有T n >m

32

解析：(1)由条件a n+2=2a n+1?a n ，可得a n+2?a n ?+1=a n+1?a n ，

从而{a n }为等差数列，利用a 1=8，a 4=2可求公差，从而可求数列{a n }的通项公式；

(2)利用10?2n ≥0则n ≤5，确定数列中的正数项，再进行分类讨论；

(3先裂项求和，再根据T n >m

32对任意n ∈N ?成立，得n

n+1>m

16对任意n ∈N ?成立，利用n

n+1(n ∈N ?)的最小值是1

2，可知m

16<1

2，从而存在最大整数m =7．

本题主要考查等差数列轭通项公式，考查数列的求和及恒成立问题，有一定的综合性．