平行四边形,矩形,菱形的存在性问题(有答案)

平行四边形，矩形，菱形的存在性问题

一、平行四边形存在性问题

1．在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣5，﹣3），C（1，﹣3），在平面内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标是．2．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于平面直角坐标系中的原点O，点A（﹣1，3），B（1，2），则点C，D的坐标分别为．

3．在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，4）、（﹣5，2），点M在x轴上，点N 在y轴上．如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，那么符合条件的点M 有个．

4．如图，在平面直角坐标系中，AD∥BC，AD＝5，B（﹣3，0），C（9，0），E是BC的中点，P是线段BC上一动点，当PB＝时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形．

第4题第5题第6题

5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为．

6．如图，已知A（1，0）、C（0，1）、B（m，0）且m＞1，在平面内求一点P，使得以A、

B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，则点P的坐标为．7．已知点A（4，0），B（0，﹣2），C（a，a）及点D是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD长的最小值为．

8．（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图），图1，2，3中的顶点C的坐标分别是，，；

（2）在图4中，若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为；

（3）在图4中，平行四边形ABCD顶点坐标分别为A（a，b）、B（c，d）、C（m，n）、D（e，f），则其横坐标a，c，m，e之间的等量关系为；纵坐标b，d，n，f之间的等量关系为．

9．如图，矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），将矩形OABC沿直线BD折叠，使得点C恰好落在对角线OB上的点E处，折痕所在直线与y 轴、x轴分别交于点D、F．（1）请直接写出线段BO的长；（2）求折痕所在直线BD的

解析式；（3）若点M在直线y＝﹣x上，则在直线BD上是否存在点P，使以C、D、

M、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；否则，请说明理由．

二、矩形存在性问题

10．在平面直角坐标系中，已知点A（0，0），B（2，﹣2），C（4，0），D（2，2），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）

A．矩形B．菱形C．梯形D．正方形

11．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∥BCD＝90°，AB＝AD＝10cm，BC＝8cm．点P 从点A出发，以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时出发，当点P运动到点B 时，P、Q同时运动停止，设运动时间为t秒．

（1）求CD的长；（2）当t为何值时，四边形PBQD为平行四边形？

（3）在运动过程中，是否存在四边形BCQP是矩形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

12．平行四边形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图（1）．（1）写出点C的坐标；

（2）在图（1）中，连接AB，OC得到图（2），求AB与OC的交点M点的坐标；

（3）将图（2）中的线段BC向两方延长得到图（3），若点D，E为直线BC上不与B，C重合的动点，是否存在这样的D，E点，使得四边形OADE为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形OADE的面积和点D，E的坐标，若不存在，请说明理由．

三、菱形存在性问题

13．在直角坐标系中，A，B，C，D四个点的坐标依次为（﹣1，0），（x，y），（﹣1，5），（﹣5，z），若这四个点构成的四边形是菱形，则满足条件的z的值有（）

A．1个B．3个C．4个D．5个

14．如图1，直线l1：y＝﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y＝x交于点C．

（1）求A，B两点的坐标；（2）求∥BOC的面积；

（3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO 方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ．∥当OA＝3MN时，求t的值；

∥试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？

若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1.根据题意得：D点的纵坐标一定是3；

又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣5）＝6，

故可得点D横坐标为﹣1+6＝5，即顶点D的坐标为（5，3）．

2．由题意知：点A与点C、点B与点D关于原点对称，

∥点A，B的坐标分别为（﹣1，3），（1，2），

∥点C，D的坐标分别是（1，﹣3），（﹣1，﹣2），

3．有3个点．

4．解：∥B（﹣3，0），C（9，0），∥OB＝3，OC＝9，∥BC＝OB+OC＝12，

∥E是BC的中点，∥BE＝CE＝BC＝6，

分为两种情况：

∥当P在E的左边时，∥AD＝PE＝5，CE＝6，∥BP＝12﹣6﹣5＝1；

∥当P在E的右边时，∥AD＝EP＝5，∥BP＝BE+EP＝6+5＝11；

即当BP为1或11时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形；

故答案为：1或11．

5．如图，∥当BC为对角线时，易求M1（3，2）；

∥当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；

∥当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．

综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．

6．根据题意得：OA＝OC＝1，OB＝m，∥AB＝m﹣1，

分三种情况：如图所示，

∥以BC为对角线时，点P的坐标为（m﹣1，1）；

∥以AC为对角线时，点P的坐标为（1﹣m，1）；

∥以AB为对角线时，点P的坐标为（m+1，1）；

综上所述：点P的坐标为（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）；

故答案为：（m﹣1，1）或（1﹣m，1）或（m+1，﹣1）．

7．如图，由题意得：点C在直线y＝x上，

∥如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC∥直线y＝x时，CD最小，

易知直线AB为y＝x﹣2，

∥AF＝FB，∥点F坐标为（2，﹣1），

∥CF∥直线y＝x，设直线CF为y＝﹣x+b′，F（2，﹣1）代入得b′＝1，

∥直线CF为y＝﹣x+1，

由，解得：，∥点C坐标（，）．

∥CD＝2CF＝2×＝3．

∥如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝＝2＞3，

∥CD的最小值为3．

故答案为：3．

8.（1）利用平行四边形的性质：对边平行且相等，

得出图1，2，3中顶点C的坐标分别是：（5，2）、（e+c，d），（c+e﹣a，d）．

故答案为：（5，2）（e+c，d），（c+e﹣a，d）．

（2）若平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别为（4，1）、（3，4）、（6，4），则顶点C的坐标为（5，7）；

故答案为：（5，7）；

（3）如图4中，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为A1，B1，C1，D1，分别过A，D作AE∥BB1于E，DF∥CC1于点F．

在平行四边形ABCD中，CD＝BA，

又∥BB1∥CC1，∥∥EBA+∥ABC+∥BCF＝∥ABC+∥BCF+∥FCD＝180°．

∥∥EBA＝∥FCD．

在∥BEA∥∥CFD中，，

∥∥BEA∥∥CFD（AAS），∥AE＝DF＝a﹣c，BE＝CF＝d﹣b．

设C（x，y）．由e﹣x＝a﹣c，得x＝e+c﹣a．由y﹣f＝d﹣b，得y＝f+d﹣b．

∥C（e+c﹣a，f+d﹣b），∥m＝e+c﹣a，n＝f+d﹣b，∥m+a＝e+c，n+b＝d+f．

故答案为：m+a＝e+c，n+b＝d+f．

9.解：（1）∥矩形OABC中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标是（6，8），

∥OA＝6，AB＝8，∥OAB＝90°，∥OB＝＝10，

即线段BO的长是10；

（2）设点D的坐标为（0，d），则OD＝d，CD＝8﹣d，

∥BC＝6，CD＝DE，OB＝10，，

∥，得d＝5，即点D的坐标为（0，5），

设折痕所在直线BD的解析式为y＝kx+b，

∥点D（0，5），点B（6，8）在直线BD上，

∥，得，即折痕所在直线BD的解析式是y＝0.5x+5；

（3）在直线BD上存在点P，使以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣8，1）；

理由：∥点C（0，8），点D（0，5），∥OC＝8，OD＝5，∥CD＝3，

∥以C、D、M、P为顶点的四边形是平行四边形，点M在直线y＝﹣x上，点P在直

线BD上，

∥CD＝MP，CD∥MP，或CD为平行四边形的对角线，

当CD＝MP，CD∥MP时，设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则P的坐标为（m，0.5m+5），则|（0.5m+5）﹣（﹣0.5m）|＝3，

解得，m1＝﹣2，m2＝﹣8，

当m＝﹣2时，点P的坐标为（﹣2，4），当m＝﹣8时，点P的坐标为（﹣8，1），当CD为平行四边形的对角线时，则点C和点D中点的坐标为（0，6.5），

设点M的坐标为（m，﹣0.5m），则点P的坐标为（﹣m，13+0.5m），

∥点P在直线BD上，直线BD的解析式是y＝0.5x+5，

∥13+0.5m＝﹣0.5m+5，得m＝﹣8，

∥点P的坐标为（8，9），

由上可得，点P的坐标为（﹣2，4）、（﹣8，1）或（8，9）．

10．D

11．解：（1）过点A作AM∥CD于M，根据勾股定理，AD＝10，AM＝BC＝8，∥DM＝＝6，∥CD＝16；

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图1，

由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t ∥10﹣3t＝2t，解得t＝2；

（3）在运动过程中，不存在四边形BCQP是矩形，

理由如下：∥AB∥CD，∥BCD＝90°，∥∥C＝90°，

若要四边形BCQP是矩形，则当PB＝CQ时即10﹣3t＝16﹣2t，

解得：t＝﹣6＜0，

∥不存在．

12.解：（1）∥四边形OACB是平行四边形，∥AC＝OB，

∥A（1，3）、B（4，0），∥C（5，3）；

（2）如图（2），设AB所在的直线的解析式为y＝kx+b，

∥直线AB经过点A（1，3）、B（4，0），

∥，∥AB所在直线的解析式为y＝﹣4x+4，

由于OC所在直线的表达式为y＝x，

联立方程解得：即M的坐标是（2.5，1.5）；

（3）存在这样的D、E，使得四边形AOED是矩形．

分别过点A、O作AD∥BC于点D，OE∥BC于点E，过E、D分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，

∥四边形AOBC是平行四边形，∥AO∥BC，∥AD∥AO，

∥四边形AOED是矩形，且与平行四边形AOBC面积相等，

∥平行四边形AOBC的面积为12，∥矩形AOED的面积为12，

由勾股定理知AO＝，∥OE＝，EB＝，

∥EF＝＝＝1.2，OF＝＝＝3.6，

∥点E的坐标为（3.6，﹣1.2），∥点D的坐标为（4.6，1.8）．

13．如图，

∥A（﹣1，0），C（﹣1，5），∥AC∥x轴，且AC＝5﹣0＝5，

过点D（﹣5，z）作作x轴的垂线，则z的数值就在直线x＝﹣5上，；

∥A、B、C、D四个点构成的四边形是菱形，

∥当DC＝DA，z有1个值，

当DC＝AC，则42+（5﹣z）2＝52，z有两个值，

当AD＝AC，则42+z2＝52，则z有两个值，

综上所知，符合条件的z的值有5个．

故选：D．

14.解：（1）对于直线y＝﹣x+3，令x＝0得到y＝3，令y＝0，得到x＝6，

A（6，0）B（0，3）．

（2）由，解得，∥C（2，2），∥S∥OBC＝×3×2＝3

（3）∥∥M（6﹣t，﹣（6﹣t）+3），N（6﹣t，6﹣t），

∥MN＝|﹣（6﹣t）+3﹣（6﹣t）|＝|t﹣6|，

∥OA＝3MN，∥6＝3|t﹣6|，解得t＝或

∥如图3中，由题意OC＝2，

当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）；

当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0），

∥t＝（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形．