专题48 中考数学数形结合思想(原卷版)

专题48 中考数学数形结合思想(原卷版)
专题48 中考数学数形结合思想(原卷版)

专题48 中考数学数形结合思想

数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合。作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致又可分为两种情形:或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不出什么规律来,这时就需要给图形赋值,如边长、角度等。

1.数形结合思想的含义

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决。

2.数形结合思想应用常见的四种类型

(1)实数与数轴。实数与数轴上的点具有一一对应关系,借助数轴观察数的特点,直观明了。

(2)在解方程(组)或不等式(组)中的应用。利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。

(3)在函数中的应用。借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。

(4)在几何中的应用。对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。

3.数形结合思想解题方法

“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就

是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.

【例题1】(2020?遵义)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性,在计算tan15°时,如图.在Rt △ACB 中,∠C =90°,∠ABC =30°,延长CB 使BD =AB ,连接AD ,得∠D =15°,所以tan15°=AC CD =12+3=2?√3(2+3)(2?3)

=2?√3.类比这种方法,计算tan22.5°的值为( )

A .√2+1

B .√2?1

C .√2

D .1

2 【对点练习】(2019?湖北省仙桃市)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )

A .

B .

C .

D .

【例题2】(2020?济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图,直线y =x +5和直线y =ax +b 相交于点P ,根据图象可知,方程x +5=ax +b 的解是( )

A .x =20

B .x =5

C .x =25

D .x =15

【对点练习】(2020株洲模拟)直线y=k1x+b1(k1>0)与y=k2x+b2(k2<0)相交于点(﹣2,0),且两直线与y轴围城的三角形面积为4,那么b1﹣b2等于.

【例题3】(2020通化模拟)在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD 与边长为2的正方形AEFG按图1位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.

(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.

(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE 的长.

(3)如图3,小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转,线段DG与线段BE将相交,交点为H,写出△GHE与△BHD面积之和的最大值,并简要说明理由.

【对点练习】(2020山东日照模拟)问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,则:AC=AB.

探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1,连接AB边上中线CE,由于CE=AB,易得结论:①△ACE为等边三角形;②BE与CE之间的数量关系为.

(2)如图2,点D是边CB上任意一点,连接AD,作等边△ADE,且点E在∠ACB的内部,连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明.

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段BE与DE之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论.

拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(﹣,1),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当C点在第一象限内,且B(2,0)时,求C点的坐标.

一、选择题

1.(2020?温州)如图,在离铁塔150米的A处,用测倾仪测得塔顶的仰角为α,测倾仪高AD为1.5米,则铁塔的高BC为()

A.(1.5+150tanα)米B.(1.5+150

tanα)米

C.(1.5+150sinα)米D.(1.5+150

sinα)米

2.(2020恩施州模拟)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AB交AD于E,交BD于F,DE:EA=3:4,EF=3,则CD的长为()

A. 4

B. 7

C. 3

D. 12

3.(2020济南模拟)如图,抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1,将C1向右平移得C2,C2与x轴交于点B,D.若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点,则m的取值范围是()

A.﹣2<m<B.﹣3<m<﹣C.﹣3<m<﹣2 D.﹣3<m<﹣

二、填空题

4.(2020乌鲁木齐模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1.且过点(,0),有下列结论:①abc>0;②a﹣2b+4c=0;③25a﹣10b+4c=0;④3b+2c>0;⑤a﹣b≥m(am﹣b);其中所有正确的结论是.(填写正确结论的序号)

5.(2020?泰安)如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地.BC∥AD,BE⊥AD,斜坡AB长26m,斜坡AB的坡比为12:5.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50°时,可确保山体不滑坡.如果改造时保持坡脚A不动,则坡顶B沿BC至少向右移m时,才能确保山体不滑坡.(取tan50°=1.2)

6.(2020济南模拟)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠DAB=60°,AE分别交BC、BD于点E、F,CE=2,连接CF,以下结论:①△ABF≌△CBF;②点E到AB的距离是2;③tan∠DCF=;④△ABF的面积为.其中一定成立的是(把所有正确结论的序号都填在横线上).

三、解答题

7.(2019?湖南湘西州)解不等式组:并把解集在数轴上表示出来.

8. 我们知道:根据二次函数的图象,可以直接确定二次函数的最大(小)值;根据“两点之间,线段最短”,并运用轴对称的性质,可以在一条直线上找到一点,使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短.这种“数形结合”的思想方法,非常有利于解决一些实际问题中的最大(小)值问题.请你尝试解决一下问题:

(1)在图1中,抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.

(2)在图2中,相距3km的A、B两镇位于河岸(近似看做直线CD)的同侧,且到河岸的距离AC=1千米,BD=2千米,现要在岸边建一座水塔,直接给两镇送水,为使所用水管的长度最短,请你:

①作图确定水塔的位置;

②求出所需水管的长度(结果用准确值表示).

(3)已知x+y=6,求的最小值?

此问题可以通过数形结合的方法加以解决,具体步骤如下:

①如图3中,作线段AB=6,分别过点A、B,作CA⊥AB,DB⊥AB,使得CA= ____DB= ____.

②在AB上取一点P,可设AP= _____,BP= _____.

③③的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值,最小值为 ___

9.(2019?山东省滨州市)如图①,抛物线y=﹣x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于点B,C,将直线AB绕点A逆时针旋转90°,所得直线与x轴交于点D.

(1)求直线AD的函数解析式;

(2)如图②,若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点

①当点P到直线AD的距离最大时,求点P的坐标和最大距离;

②当点P到直线AD的距离为时,求sin∠PAD的值.

10.(2019湖南湘西州)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(3,2),与y轴的负半轴交于点B,且OB=4.

(1)求函数y=和y=kx+b的解析式;

(2)结合图象直接写出不等式组0<<kx+b的解集.

11.(2019广西百色)如图,已如平行四边形OABC中,点O为坐标顶点,点A(3,0)

C(1,2),函数y=(k≠0)的图象经过点C.(1)求k的值及直线OB的函数表达式:

(2)求四边形OABC的周长.

12.(2020通辽模拟)如图,建筑物AB后有一座假山,其坡度为i=1:,山坡上E点处有一凉亭,测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC=25米,与凉亭距离CE=20米,某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°,求建筑物AB的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)

中考数学专题复习(数与式的计算)

20XX 年中考数学专题复习 (数与式的计算) 试题特点:通过学习孝感市07年——14年的本类考题,参考湖北省其他地市的命题,作以下预测: 1.继续保持原来的命题模式,一个6分的考题。 2.一个实数计算题,再加一个分式化简求值(或解分式方程)。20XX 年黄石、宜昌、咸宁等市是这样命题的。3.解不等式组及在数轴上表示解集。 1.题型①分式化简求值②将多项式变形为x+y ,xy ,x-y 的形式计算 ③解分式方程④实数计算 考查学生的数感、式感、符号感、计算能力,灵活运用知识能力。 .知识点:负指数,平方根,立方根,绝对值,分式四则运算,因式分解,解分式方程。 常见错误: ① 00 =a (a ≠0)② p p a a -=- (a ≠0,p 为正整数) ③ 2323-=- ④ () 52522 -=- ⑤漏掉负号 ⑥解分式方程漏乘,移项不变号,无检验。 ⑦解分式方程与分式化简混为一谈。 应对措施: 1.牢固记忆及正确使用概念,公式,性质. 幂米的运算法则特殊角的三角函数值. 分式的基本性质,等式性质及其区别。 2.在易错处讲清来龙去脉,说透缘由;作业及时纠错。 3.按法则计算,按步骤计算,不跳步,慎用口算,确保准确无误,立足一次成功。 4.回头看:教师将错题整理,让学生再做一遍。 5.将 含计算技巧的题目总结规律,提炼方法。 19.(2010湖北孝感,19,6分)解方程:21 133x x x -+=--. 19、(2011?孝感)解关于的方程:1 2 13-+ =+x x x . 19.(2012?孝感6分)先化简,再求值:??? ? ? ?--÷-a b ab a a b a 2 2,其中13+=a ,13-=b .

2015高考数学专题十四:数形结合思想教师版含高考试题.docx

2015 高考数学专题十四:数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题

2015 高考数学专题十四:数形结合思想 (教师版含 13 、 14 年高考题) 数形结合的思想在每年的高考中都有所体现,它常用来:研究方程根的情况,讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等.对这类内容的选择题、填空题, 数形结合特别有效.从今年的高考题来看,数形结合的重点是研究“以形助数”,但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强,应引起重视,复习中应提高用数 形结合思想解题的意识,画图不能太草,要善于用特殊数或特殊点来精确确定 图形间的位置关系. 1.应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图; (2)函数及其图象; (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象; (4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线; (5)对于研究距离、角或面积的问题,直接从几何图形入手进行求解即可; (6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题,可通过函数的图象求解 (函数 的零点、顶点是关键点 ),做好知识的迁移与综合运用. 热点一利用数形结合思想讨论方程的根 例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) =| x- 2| +1 ,g (x) =kx ,若方程 f (x) =g (x) 有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 () 11 A.(0 , )B.( ,1) 22 C. (1,2) D .(2 ,+∞) 答案B 解析先作出函数 f (x )= |x -2| +1 的图象,如图所示, 当直线 g ( x )= kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ,当直线 g ( x )=kx 过 A 点时斜率

中考数学——数形结合专题

第九讲数形结合思想 【中考热点分析】 数形结合思想是数学中重要的思想方法,它根据数学问题中的条件和结论之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙的结合起来,并充分利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法。几何图形的形象直观,便于理解;代数方法的一般性,解题过程的操作性强,便于把握。 【经典考题讲练】 例1.(2015衢州)如图,已知直线3 34 y x =- +分别交x 轴、y 轴于点A 、B ,P 是抛物线21 252y x x =-++的一个动点,其横坐标为a ,过点P 且平行于y 轴的直线交直线 3 34 y x =-+于点Q ,则当PQ =BQ 时,a 的值是 . 例2.(2014?)已知平面直角坐标系中两定点A (-1,0),B (4,0),抛物线( )过点A 、B ,顶点为C .点P (m ,n )(n <0)为抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式与顶点C 的坐标. (2)当∠APB 为钝角时,求m 的取值范围. (3)若 ,当∠APB 为直角时,将该抛物线向左或向右平移t ( )个单位,点 P 、C 移动后对应的点分别记为、 ,是否存在t ,使得首尾依次连接A 、B 、 、 所 构成的多边形的周长最短?若存在,求t 值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由. 解析:(1)待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可. (2)因为AB 为直径,所以当抛物线上的点P 在⊙C 的内部时,满足∠APB 为钝角,所以-1<m <0,或3<m <4. (3)左右平移时,使A ′D+DB ″最短即可,那么作出点C ′关于x 轴对称点的坐标为C ″,得到直线P ″C ″的解析式,然后把A 点的坐标代入即可.

备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题15 数形结合思想(解析版)

专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合. (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种: ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围; ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围; ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系; ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; ⑤构建立体几何模型研究代数问题; ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; ⑦构建方程模型,求根的个数; ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等. (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: ①准确画出函数图像,注意函数的定义域; ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图像,由图求解. (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; ④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解. 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例1】若方程x2-4x+3+m=0在x∈(0,3)时有唯一实根,求实数m的取值范围. 【解析】利用数形结合的方法,直接观察得出结果.

中考数学专题练习数与式

数与式 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.3-的相反数是( ) A .1 3 B . 1 3- C . 3 D . -3 2.下列数022cos 607π,中,无理数的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 3.下列计算中,结果正确的是( ) A.030= B.1221 -=?- C.331-=- D.527-+=- 4.若式子x 的取值范围是( ) A.1 12x x ≥-≠且 B.1x ≠ C.12x ≥- D.1 12x x >-≠且 5. 下列运算中,结果正确的是( )

A .235x x x += B .326x x x ?= C .55x x x ÷= D .()2 3539x x x ?= 6.a ,b 是两个连续整数,若a <7<b ,则a ,b 分别是( ) ,3 ,2 ,4 ,8 7.若2(1)20m n -++=,则m n +的值是( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 8.我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数,例如[]12.1=, []33=,[]35.2-=-,若5104=?? ????+x ,则x 的取值可以是( ) 二、填空题(每小题3分,共24分) 9.四个实数2-,0,2-,1中,最小的实数是 . 10.分解因式:22(21)a a --= .

11.古生物学家发现350 000 000年前,地球上每年大约是400天,用科学记数法表示350 000 000=_________. 12.如图,一个正方形纸盒的展开图,在其中的四个正方形内标有数字1,2,3和-3,要在其余的正方形内分别填上―1,―2,使得按虚线折成的正方体后,相对面上的两个数互为相反数, 则A 处应填 . 13. 计算:323()a a ?= . 14.当分式24 2 +-x x 的值为0时,x 的值是 _. 15.已知2x y -=3,则代数式624x y -+的值为 . 16.观察下列等式: 1 11122=-?,1112323=-?,111 3434=-?, 将以上三个等式两边分别相加得: 1 1 1 1 1 1 1 1 13 111223342233444++=-+-+-=-=???. 那么,计算1 1 1 1 12233420142015++++????L 的结果是

七年级数形结合数学专题训练

平面直角坐标系------数形结合思想的平台 一、知识点: 1.平面直角坐标系的定义; 2.坐标平面内点的坐标的定义; 3.各象限内及坐标轴上点的坐标的特征; 4.一三(二四)象限角平分线上的坐标特点; 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征; 6.一维、二维坐标; 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系, 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系; 9、面积割补法; 10、绝对值的性质; 11、图形面积公式; 12、平移的性质; 二、基本思想方法: 1、思想:数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法:画示意图、平移。 三、典型题目 (一)基础知识训练 称点是点C,则点C所表示的数是.在x轴上,到原 2.(1)请在下面的网格中建立平面直角坐标系,使得A,B两点的坐标分别为(4,1),(1,-2); (2)在(1)的条件下,过点B作x轴的垂线,垂足为点M,在BM的延长线上截取MC=BM. ①写出点C的坐标; ②平移线段AB使点A移动到点C,画出平移后的线段CD,并写出点D 的坐标. (注:本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系,请尝试总结出公式) 3.已知直角坐标平面内两点A(-2,-3)、B(3,-3),将点B向上平移5个单位到达点C,求: (1)A、B两点间的距离; (2)写出点C的坐标; (3)四边形OABC的面积. 4.在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1,0),B (5,0),C(3,3),D(2,4),求四边形ABCD的面积

5.计算图中四边形ABOD的面积. 6.已知点A(-4,-1),B(2,-1) =12.求点C的坐标(写必要的(1)在y轴上找一点C,使之满足S △AB C 步骤); =12的点C有多少个?这些(2)在直角坐标系中找一点C,能满足S △AB C 点有什么特征? 7.如图,每个小正方形的边长为单位长度1. (1)写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标,说出各点到两坐标轴的距离;并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。(2)点C与E的坐标什么关系? (3)直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系? (4)你能求出图中哪些线段的长度?(总结公式)哪些图形的面积? 8.如图,在△ABC中,已知点A(0,3),B(-2,-3),C(3,-5).(1)在给出的平面直角坐标系中画出△ABC; (2)将△ABC向左平移4个单位,作出平移后的△A′B′C′; (3)点B′到x、y轴的距离分别是多少? 9.如,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知点A(0,a),B(b,b),C(c,a),其中a,b满足关系式|a-4|+(b-2)2=0,c=a+b. (1)求A、B、C三点的坐标,并在坐标系中描出各点; (2)在坐标轴上是否存在点Q,使△COQ得面积与△ABC的面积相等?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如果在第四象限内有一点P(2,m),请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积.

中考冲刺数学经典讲义:数形结合问题--知识讲解(基础)

中考冲刺:数形结合问题—知识讲解(基础) 【中考展望】 1.用数形结合的思想解题可分两类: (1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等; (2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等. 2. 热点内容: 在初中教材中,“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等,而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下,一次函数图象对应一条直线,二次函数的图像对应着一条抛物线,这些都是初中数学的重要内容. 【方法点拨】 数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法. 数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结 合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 特别是二次函数,不仅是学生学习的难点之一,同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中,二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a,b,c密不可分.事实上,a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置,与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标,抛物线图形的平移,只是顶点坐标发生变化,其实从代数的角度看是b、c 的有关变化. 在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念,有意识培养数形结合思想,形成数形统一意识,提高解题能力.“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”总之,要把数形结合思想贯穿在数学学习中.数与形及其相互关系是数学研究的基本内容. 【典型例题】 类型一、利用数形结合探究数字的变化规律 1. 如图所示,把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是. 【思路点拨】 首先计算几个特殊图形,发现:数出每边上的个数,乘以边数,但各个顶点的重复了一次,应再减去.第1个图形是2×3-3,第2个图形是3×4-4,第3个图形是4×5-5,按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)-(n+2)=n2+2n. 【答案与解析】 第1个图形是三角形,有3条边,每条边上有2个点,重复了3个点,需要黑色棋(2×3-3)个;

数学思想方法专题数形结合思想

数学思想方法专题:数形结合思想 【教学目标】 知识目标 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来,借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质,是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法,可以有效提升思维品质和数学技能。 能力目标 用好数形结合的思想方法,需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示,为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等,是 “以形示数”,而解析几何的方程、斜率、距离公式,向量的坐标表示则是 “以数助形”,还有导数更是数形结合的产物,这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。 情感目标 在数学学习和解题过程中,要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径,制定解题方案,养成数形结合的习惯,解题先想图,以图助解题。 【教学重难点】 重点:对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,代数问题几何化,几何问题代数化。 难点:一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征,关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义,巧妙运用数的精确性和严密性,来揭示形的某些属性。 【考情分析】 在高考中,利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法,突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识,而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查,一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题,如何用代数方法来处理,另一方面,有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决,历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义,运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。 【知识归纳】 数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面,“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题,利用图形形式解决问题;“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题,利用代数的方法解决问题。 应用数形结合的思想,可实现以下类型的数与形的转化: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围; (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围,求零点的个数; (3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式; (5)构建立体几何模型将代数问题几何化; (6)建立坐标关系,研究图形的确定形状、位置关系、性质等. 【考点例析】 题型1:数形结合思想在集合中的应用 例1.设平面点集{ } 22 1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ,则B A ?所表示的平 面图形的面积为( D ) A . 34π B . 35π C . 47π D . 2 π

初三数学中考复习-数与式-专题练习题-含答案

天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习 数与式 专题练习题 1.下列实数中,是有理数的为( ) A. 2 B .3 4 C .π D .0 2.餐桌边的一蔬一饭,舌尖上的一饮一酌,实属来之不易,舌尖上的浪费让人触目惊心,据统计,中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿千克,这个数据用科学记数法表示为( ) A .5×109千克 B .50×109千克 C .5×1010千克 D .0.5×1011千克 3.若|a -1|=a -1,则a 的取值范围是( ) A .a ≥1 B .a ≤1 C .a <1 D .a >1 4.下列计算正确的是( ) A .4x 3·2x 2=8x 6 B .a 4+a 3=a 7 C .(-x 2)5=-x 10 D .(a -b)2=a 2-b 2 5.如果a +a 2-4a +4=2,那么a 的取值范围是( ) A .a ≤0 B .a ≤2 C .a ≥-2 D .a ≥2 6.在代数式2x ,13(x +y),x π-3,5a -x ,x (x -y )x ,x +3(x +1)(x -2) 中,分式有____个. 7.如图,数轴上点A ,B 所表示的两个数的和的绝对值是____. 8.分解因式:8-2x 2=____ . 9.若a <6<b ,且a ,b 是两个连续的整数,则a b =____. 10.若分式x 2-2x -3x +1 的值为0,则x 的值为____. 11.计算: 8+|22-3|-( 13 )-1-(2015+2)0;

12.已知x+y=-7,xy=12,求y x y +x y x 的值. 13.先化简,再求值:a2-b2 a ÷(a- 2ab-b2 a ),其中a=2+3,b=2-3; 14.观察下列等式: 31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187,…. 解答下列问题: (1)32016的末位数字是多少? (2)3+32+33+33+…+32016的末位数字是多少?

广东高考理数大二轮专项训练专题 数形结合思想(含答案)

2016广东高考理数大二轮专项训练 第2讲数形结合思想 1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域.

初中数学中的数形结合思想

浅谈初中数学中的数形结合思想 在解决初中数学问题过程中,运用数形结合的思想,根据问题的具体情形,把图形性质问题转化成数量关系来研究。或者把数量关系问题转化成图形性质来研究,以便以“数”助“形”或以“形”助“数”,使问题简单化、具体化,促进“数”与“形”的相互渗透,这种转换不但能提高教学质量,同时也能有效地培养学生思维素质,所以“数形结合”是初中数学的重要思想,也是学好初中数学的关键所在。 数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的,而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼,是培养学生数学能力的最重要的环节。数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想,它贯穿了数学教学的始终。本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。 数形结合的思想就是根据数(量)与形(图)的对应关系,把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来;使复杂的问题简单化抽象的问题具体化;通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。 一、有数思形数形结合,用形来解决数的问题和解决一些运算公式;把代数关系(数量关系)与几何图形的直观形象有机的结合起来,使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。 如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。 2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。 3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。 4.用图形比较不等式的大小问题。解这种类型题的关键是根据数(量)结构特征构造出相应的几何图形,将概念形象化,复杂计算的问题简单化。 二、由形思数数形结合。解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性;将图形信息转化为代数信息,利用数(量)特征将图形问题转化为代数问题来解决。这类问题在初中数学中运用的也比较多,如: 1.用数(量)表示角的大小和线段的大小,用数(量)的大小比较角的大小

《数形结合思想》专题(整理)

数形结合思想 知识综述 (1)函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型,这类试题将几何问题与函数知识有机地结合起来,重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识,通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力,此类试题倍受命题者青睐,究其原因,它是几何与代数的综合题,构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中,通过函数图象为纽带,将数与形有机结合,并往往以开放题的形式出现。 (2)解答此类问题必须充分注意以下问题: a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 理解二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x轴的交点,横坐标是对应方程的根。 d. 熟练掌握几个距离公式: 点P(x,y)到原点的距离 e. 具备扎实的几何推理论证能力。 一、填空题(每空5分,共50分) 1. 如果a,b两数在数轴上的对应点如图所示: 则化简:__________。 2. 已知A,B是数轴上的两点,AB=2,点B表示数-1,则点A表示的数为__________。 3. 已知△ABC的三边之比是,则这个三角形是__________三角形。 4. 已知点A在第二象限,它的横坐标与纵坐标之和是1,则点A的坐标是__________。(写出符合条件的一个点即可) 5. 如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E为CD的中点,△BCE的面积为1,则△ACD 的面积为__________。 6. 已知二次函数的图象如图所示,则由抛物线的特征写出如下含有系数

a,b,c的关系式:①②③④,其中正确结论的序号是__________(把你认为正确的都填上) 7. 如图,AB是半圆的直径,AB=10,弦CD∥AB,∠CBD=45°,则阴影部分面积为__________。 8. 某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系,其图象如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售时的收入是__________元。 9. 如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和2,那么阴影部分的面积为 __________。 10. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若 ,则AD的长为__________。

七年级(下)数形结合数学专题训练

平面直角坐标系------数形结合思想的平台
一、知识点: 1. 平 面 直 角 坐 标 系 的 定 义 ; 2. 坐 标 平 面 内 点 的 坐 标 的 定 义 ; 3. 各 象 限 内 及 坐 标 轴 上 点 的 坐 标 的 特 征 ; 4. 一 三 ( 二 四 ) 象 限 角 平 分 线 上 的 坐 标 特 点 ; 5. 与 坐 标 轴 平 行 的 直 线 上 的 点 的 坐 标 的 特 征 ; 6. 一 维 、 二 维 坐 标 ; 7、 点 的 坐 标 与 点 到 坐 标 轴 的 距 离 之 间 的 关 系 , 8、 坐 标 平 面 内 线 段 长 度 与 线 段 两 端 点 坐 标 之 间 的 关 系 ; 9、 面 积 割 补 法 ; 10 、 绝 对 值 的 性 质 ; 11 、 图 形 面 积 公 式 ; 12 、 平 移 的 性 质 ; 二、基本思想方法: 1、 思 想 : 数 形 结 合 思 想 、 分 类 讨 论 思 想 、 方 程 思 想 、 算 术 法 。 2、 方 法 : 画 示 意 图 、 平 移 。 三、典型题目 (一)基础知识训练 1 .如 图 ,数 轴 上 A , B 两 点 表 示 的 数 分 别 是 1 和 2 ,点 A 关 于 点 B 的 对 称 点 是 点 C ,则 点 C 所 表 示 的 数 是 点距离为 5 的坐标 分 别 为 ( 4, 1) , ( 1 , -2 ) ; ( 2 )在( 1 )的 条 件 下 ,过 点 B 作 x 轴 的 垂 线 ,垂 足 为 点 M ,在 BM 的 延 长 线 上 截 取 MC=BM . ①写出点 C 的坐标; ② 平 移 线 段 AB 使 点 A 移 动 到 点 C , 画 出 平 移 后 的 线 段 CD , 并 写 出 点 D 的坐标. (注:本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系,请尝试总结出公式) . .在 x 轴 上 ,到 原
2.( 1 )请 在 下 面 的 网 格 中 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ,使 得 A , B 两 点 的 坐 标
1

中考数学专题之数形结合

中考数学专题 数形结合 知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的. 华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休.”这充分说明了数形结合数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想. 典型例题 一、在数与式中的应用 【例1】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2 a a b +-=_________. 【分析】 由数轴上a ,b 的位置可以得到a <0,b>0且a ??->?的整数解共有2个,则a 的取值范围是___________. 【分析】解不等式组得解集为2 x a x >??

《数形结合思想》专题(整理)doc初中数学

《数形结合思想》专题(整理)doc 初中数学 知识综述 〔1〕函数几何综合咨询题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型,这类试题将几何咨询题与函数知识有机地结合起来,重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识,通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合咨询题的能力,此类试题倍受命题者青睐,究其缘故,它是几何与代数的综合题,构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中,通过函数图象为纽带,将数与形有机结合,并往往以开放题的形式显现。 〔2〕解答此类咨询题必须充分注意以下咨询题: a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 明白得二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点,横坐标是对应方程的根。 d. 熟练把握几个距离公式: 点P 〔x ,y 〕到原点的距离PO x y =+22 AB x x a =-= |||| 12? e. 具备扎实的几何推理论证能力。 一、填空题〔每空5分,共50分〕 1. 假如a ,b 两数在数轴上的对应点如下图: 那么化简:||||a b a b ++-=__________。 2. A ,B 是数轴上的两点,AB=2,点B 表示数-1,那么点A 表示的数为__________。 3. △ABC 的三边之比是752::,那么那个三角形是__________三角形。 4. 点A 在第二象限,它的横坐标与纵坐标之和是1,那么点A 的坐标是__________。〔写出符合条件的一个点即可〕 5. 如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,E 为CD 的中点,△BCE 的面积为1,那么△ACD 的面积为__________。 6. 二次函数y ax bx c =++2 的图象如下图,那么由抛物线的特点写出如下含有系数a ,

中考总复习数学专题优化训练数形结合思想

专题训练五 数形结合思想 一、选择题 1.已知在第二象限内,点P 到x 轴的距离是2,到y 轴的距离是3,则P 点的坐标是 A.(2,3) B.(-2,3) C.(-3,2) D.(3,2) 2.把不等式组? ??≤->+01,01x x 的解集表示在数轴上,正确的是 图2-3 3.若M(-21,y 1)、N(-41,y 2)、P(21,y 3)三点都在函数y=x k (k <0)的图象上,则y 1、y 2、y 3的大小关系为 A.y 2>y 3>y 1 B.y 2>y 1>y 3 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 1 4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2-4所示,则a 、b 、c 满足 图2-4 A.a <0,b <0,c >0 B.a <0,b <0,c <0 C.a <0,b >0,c >0 D.a >0,b <0,c >0 5.已知二次函数y=x 2-2x-3,当_______________时,y 随x 的增大而增大;当_______________时,y 的值小于0 A.x <1;-1<x <3 B.x >1;x <-1或x >3 C.x >1;-1<x <3 D.x <-1;x <-1或x >3 二、填空题 6.实数a 、b 在数轴上的位置如图2-5所示,化简2a +∣a-b ∣=__________________. 图2-5 7.若不等式组???->+<1 2,1m x m x 无解,则m 的取值范围是________________.

8.青岛市是严重缺水地区,自来水公司为了鼓励市民节约用水,采取分段收费标准,若某户居民每月应交水费是用水量的函数,其图象如图2-6所示: 观察函数图象,回答自来水公司采取的收费标准______________________________________ _______________________________________________________________________________ . 图2-6 9.观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律: (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式; 图2-7 (2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式为___________________. 10.如图2-8,在同一直角坐标系中,二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3),一次函数的图象与抛物线交于B、C两点. 图2-8 (1)二次函数的解析式为_______________________. (2)当自变量x_______________时,两函数的函数值都随x增大而增大. (3)当自变量_______________时,一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量x_______________时,两函数的函数值的积小于0. 三、解答题 11.某广电局与长江证券公司联合推出广电宽带网业务,用户通过宽带网可以享受新闻点播、影视欣赏、股市大户室等项服务,用户交纳上网费的方式有:方式一,每月80元包干;方式二,每月上网时间x(小时)与上网费y(元)的函数关系用图2-9中的折线表示;方式三,以0小时为起点,每小时收费1.6元,月收费不超过120元.若设一用户每月上网x小时,月上网费为y元.

中考数学专题复习_数形结合思想

中考数学专题复习——数形结合思想 一、知识梳理 数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索,使抽象思维和形象思维相结合,通过“以形助数”或“以数解形”可使复杂问题简单化,抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,从而起到优化计算的目的。 华罗庚先生曾指出:“数与形本是相倚依,焉能分作两边飞;数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重要性,是中考数学的一个最重要数学思想。 二、典型例题 (一)在数与式中的应用 例1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简2 ||a a b +-=_________。 (二)在方程、不等式中的应用 例2、已知关于x 的不等式组0 20x a x ->?? ->? 的整数解共有2个,则a 的取值范围是____________。 例3、用图象法解某二元一次方程组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象(如图所示),则所解的二元一次方程组是( ) A .203210x y x y +-=??--=?, B .2103210x y x y --=??--=? , C .2103250x y x y --=?? +-=? , D .20210x y x y +-=?? --=? , (三)在锐角三角函数中的应用 例4、画△ABC ,使cosA=2 1 ,AB =2cm ,∠A 的对边可以在长为1cm 、2cm 、3cm 中任选,这 样的三角形可以画_______个。 (四)在函数中的应用 例5、如图为二次函数2y ax bx c =++的图象,在下列说法中: ①0ac <;②方程20ax bx c ++=的根为11x =-,23x =; ③0a b c ++>;④当1x >时,y 随着x 的增大而增大. a b 0 · P (1,1) 1 1 2 2 3 3 -1 -1 O x y x y O 3 -1

中考数学数与式专题测试卷(附答案)

中考数学数与式专题测试卷(附答案) 一、单选题(共12题;共24分) 1.下列各式中正确的是() A. B. C. D. 2.下列各式中,计算正确的是() A. B. C. D. 3.2019年12月12日,国务院新闻办公室发布,南水北调工程全面通水5周年来,直接受益人口超过1.2亿人,其中1.2亿用科学记数法表示为() A. B. C. D. 4.要使分式有意义,则x的取值范围是() A. B. C. D. 5.-3相反数是() A. 3 B. -3 C. D. 6.下列式子运算正确的是() A. B. C. D. 7.已知,则a+2b的值是() A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8.﹣3的相反数是() A. ﹣3 B. ﹣ C. D. 3 9.近年来,华为手机越来越受到消费者的青睐.截至2019年12月底,华为5G手机全球总发货量突破690万台.将690万用科学记数法表示为() A. 0.69×107 B. 69×105 C. 6.9×105 D. 6.9×106 10.若有意义,则a的取值范围是() A. a≥1 B. a≤1 C. a≥0 D. a≤﹣1 11.下列计算正确的是() A. B. C. D. 12.下列等式成立的是() A. B. C. D. 二、填空题(共6题;共12分) 13.计算:________.

14.因式分解:x3y﹣4xy3=________. 15.若多项式是关于x,y的三次多项式,则________. 16.关于x的分式方程的解为正实数,则k的取值范围是________. 17.计算:=________. 18.计算的结果是________. 三、计算题(共3题;共25分) 19. (1)计算:; (2)先化简,再从中选择合适的值代入求值. 20. (1)计算:| ﹣3|+2 cos60°﹣× ﹣(﹣)0. (2)先化简,再求值:(x+2+ )÷ ,其中x=﹣1. 21.先化简,再求值:,其中. 四、综合题(共4题;共39分) 22.用※定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定,如: . (1)求; (2)若,求m的取值范围,并在所给的数轴上表示出解集. 23.阅读以下材料,并解决相应问题: 小明在课外学习时遇到这样一个问题: 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=2x2﹣3x+1的旋转函数,小明是这样思考的,由函数y=2x2﹣3x+1可知,a1=2,b1=﹣3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的旋转函数. 请思考小明的方法解决下面问题: (1)写出函数y=x2﹣4x+3的旋转函数. (2)已知函数y=2(x﹣1)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试求证:经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”. 24.已知

专题七“数形结合”在初中数学中的运用

专题七“数形结合”在初中数学中的运用 一、以数助形 “数(代数)”与“形(几何)”是中学数学的两个主要研究对象,而这两个方面是紧密联系的.体现在数学解题中,包括“以数助形”和“以形助数”两个方面.“数”与“形”好比数学的“左右腿”.全面理解数与形的关系,就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会.此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性,相互补充.“数缺形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事非.”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要,“数形结合”是一种非常重要的数学方法,也是一种重要的数学思想,在以后的数学学习中有重要的地位. 要在解题中有效地实现“数形结合”,最好能够明确“数”与“形”常见的结合点,,从“以数助形”角度来看,主要有以下两个结合点:(1)利用数轴、坐标系把几何问题代数化(在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化);(2)利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题,例如:利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等. 例1.已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ,和22()B x y ,之间的距离可以用公式AB =计算.利用这个公式计算原点到直线210y x =+的距离. 解:设( 210)P x x +,是直线210y x =+上的任意一点,它到原点的距离是 当4x =-时,OP =最小 所以原点到直线210y x =+的距离为 【说明】建立坐标系,利用坐标及相关公式处理一些几何问题,有时可以避免添加辅助线(这是平面几何的一大难点).在高中“解析几何”里,我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化. 例2.已知ABC ?的三边长分别为22m n -、2mn 和22 m n +(m 、n 为正整数,且m n >).求ABC ?的面积(用含m 、n 的代数式表示). 【分析】已知三角形三边求面积一般称为“三斜求积”问题,可用“海伦公式”计算,但运用“海伦公式”一般计算比较繁,能避免最好不用.本题能不能避免用“海伦公式”,这要看所给的三角形有没有特殊之处.代数运算比较过硬的人可能利用平方差公式就可以心算出来:2 22 2 22 2 2 2 ()()(2)(2)(2)m n m n m n mn +--==,也就是说, ABC ?的三边满足勾股定理,即ABC ?是一个直角三角形. “海伦公式”:三角形三边长为a 、b 、c ,p 为周长的一半,则三角形的面积S 为: S 解:由三边的关系:2 22 2 2 22 ()(2)()m n mn m n -+=+. 所以ABC ?是直角三角形. 所以ABC ?的面积22221 ()(2)()2 m n mn mn m n = ?-=-. 【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法.另外,熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用.代数运算是学好数学的一个基本功,就像武侠小说中所说的“内功”,没有一定的内功,单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的.

相关文档
最新文档