函数易错题

函数易错题

易错点1 求函数定义域时条件考虑不充分 【例1】 求函数

y =

+0(1)x +的定义域．

【错解】由题意得2320x x --≥，解得31x -≤≤，所以原函数的定义域为[3,1]-． 【错因】忽视分母不为零；误以为0(1)x +=1对任意实数成立．在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集．

【正解】由题意得2320

10x x x ?-->?+≠?，解得

31

1

x x -<

≠-?，所以原函数的定义域为)(()3,11,1---．

【纠错训练】（2015湖北高考）函数256

()lg 3

x x f x x -+-的定义域为（ ）

A ．(2,3)

B ．(2,4]

C ．(2,3)(3,4]

D ．(1,3)(3,6]-

【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：4||0x -≥，256

03x x x -+>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，

故应选C ．

易错点2 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 【例2】 已知函数()[]3log 2,1,9f x x x =+∈，求函数()[]()

22

x f x f y +=的值域．

【错解】设3l o g t x =，

[][]1,9,0,2x t ∈∴∈，266y t t ∴=++，[]0,2t ∈，

[]6,22∴函数的值域是．

【错因】求函数()[]()

22

x f x f y +=定义域时，应考虑2

19

19

x x ≤≤??

≤≤?. 【正解】因为()f x 的定义域为[]1,9，2

1919

x x ≤≤??≤≤?，解得()[]()2

2x f x f y +=的定义域为[1,3]，设3log t x =，

[][]1,3,0,1x t ∈∴∈，266y t t ∴=++，[]0,1t ∈，∴函数

()[]()

22

x f x f y +=的值域为[]6,13．

【纠错训练】奇函数()f x )是定义在(1,1)-上的减函数，且(1)(21)0f a f a -+-<，求实数的取值范围.

【解析】由(1)(21)0f a f a -+-<，得(1)(21)f a f a -<-- ∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴(1)(12)f a f a -<-

又∵()f x 是定义在(1,1)-上的减函数，∴1111121112a a a a -<-

-<--?

，解得01a <<．

即所求实数的取值范围是01a <<．

易错点3 判断函数奇偶性时忽视定义域

【例3】 判断函数1()(1)

1x

f x x x

-=++的奇偶性. 【错解】∵1()(1)

1x f x x x -=++＝

221(1)11x

x x x

-+=-+ ∴22

()1()1()f x x x f x -=--=-= ∴1()(1)

1x

f x x x

-=++是偶函数 【错因】对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 【正解】1()(1)

1x f x x x

-=++有意义时必须满足

10111x

x x -≥?-<≤+即函数的定义域是｛｜11x -<≤｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 【纠错训练】（2015高考北京，文3）下列函数中为偶函数的是（ ）

A ．2

sin y x x = B ．2

cos y x x = C ．ln y x = D ．2x

y -= 【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B .

【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。 （2）函数

()f x 具有奇偶性，则()()f x f x =-或()()f x f x =--是对定义域内x 的恒等式。常常

利用这一点求解函数中字母参数的值。

易错点4 求复合函数单调区间时忽视定义域

【例4】 函数20.5log (43)y x x =+-的单调递增区间是______________．

【错解一】∵外层函数为减函数，内层函数243u x x =+-减区间为3

[,)2

+∞，∴原函数增区间为3[,)2

+∞．

【错解二】∵2430x x +->，函数定义域为()1,4-，又内层函数243u x x =+-在 3(1,]2

-为增函数，在3[,)2+∞为减函数，∴原函数增区间为3(1,]2

-．

【错因】解法一，基础不牢，忽视定义域问题；解法二，识记不好，对复合函数单调性法则不熟练．求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间．解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错．

【正解】∵2430x x +->，函数定义域为()1,4-，外层函数为减函数，内层函数

243u x x =+-在 3(1,]2-为增函数，在3[,4)2为减函数，∴原函数增区间为3

[,4)2

．

【纠错训练1】 函数254y x x =--_________．

【解析】254y x x =--的定义域是[5,1]-，又2()54g x x x =--在区间[5,2]--上增函数，在区间[2,1]-是减函数，所以y=2

45x x --的增区间是[5,2]--．

【纠错训练2】已知)2(log ax y a -=在0，1]上是的减函数，则的取值范围是 ． 【解析】：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又＞0．

∴ax u -=2在0，1]上是的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数， ∴＞1，又由于在0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可，∴＜2综上可知所求的取值范围是1＜＜2．

易错点5 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论

【例5】函数2

()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与轴只有一个交点，求实数m 的取值范

围．

【错解】由0?=解得03m m ==-或．

【错因】知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑10m -=的情况．

【正解】（1）当10m -=时，即1m =，()41f x x =-与轴只有一个交点，满足题意； （2）10m -≠时，24(1)4(10)(1)0m m ?=+-?-?-=，解得03m m ==-或； 综上所述，实数m 的取值范围是{}3,0,1-．

【纠错训练】已知集合2{|440,,}A x ax x x R a R =++=∈∈只有一个元素，求的值与集合A.

【解析】当a ＝0时，x ＝－1；当0a ≠时，?＝16－4×4a ＝0，a ＝1，此时x ＝－2． 综上所述： a ＝1时，集合A ={－2}；a ＝0时，集合A ={－1}． 易错点6 用函数图象解题时作图不准

【例6】 求函数2()f x x =的图象与直线()2x f x =的交点个数． 【错解】两个．

【错因】忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响．我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案．

【正解】作图可得在区间(1,0)-有一个交点，还有(2,4)，(4,16)这两个交点，共三个． 【纠错训练1】（2015高考湖南，文14）若函数()|22|x

f x b =--有两个零点，则实数的取值范围是_____.

【解析】由函数()|22|x

f x b =--有两个零点，可得|22|x

b -=有两个不等的根，从而可得函数|22|x

y =-函数y b =的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b <<，故答案为：

02b <<.

【纠错训练2】(2015贵阳市高三上期末)函数1

33-=x x y 的图象大致是（ ）

【解析】由题意得，0x ≠，排除A ，当0x <时，3

0x <，310x

-<，∴3

031

x

x >-，排除B ，又∵x →+∞时，3

031

x

x +→-，排除D ，故选C. 易错点7 忽视分段函数各段的取值范围

【例7】已知函数()22,1,

22,1,

x x f x x x -?≤-=?+>-?，不等式()2f x ≥的解集为 ．

【错解】由22

2x

-≥，得1

2

x ≤-

；由222x +≥，得0x ≥，所以()2f x ≥的解集为1

(][0,)2

-∞-+∞．

【错因】解第一个不等式时，忽略了“1x ≤-”这个大前提． 【正解】2(2)

4

(2)2

216f -?--===,()(2)216234f f -=?+=；由21

22

x

x -≤-??≥?，得1x ≤-，由1222

x x >-??+≥?，得0x ≥，所以不等式()2f x ≥的解集为(1][0,)-∞-+∞．

【纠错训练1】设函数()220,

,0,

x x x f x x x ?+≤?=?->??， 若()()2f f t ≤，则实数t 的取值范围是

A.(

-∞

B.)

+∞ C.(].2-∞- D.[)2.-+∞

【解析】令)(t f m =，则2)(≤m f ，则???≤+≤2

02

m m m 或??

?≤->2

02

m m ，即02≤≤-m 或0>m ，

即2-≥m ；

则2)(-≥t f ，即???-≥+≤202t t t 或???-≥->2

2t t ，即0≤-t 或20≤≤t ，即2≤t ，故选A .

【纠错训练2】（2015上海普陀区三模）已知函数??

?

??≤->-=)0(1)

0(log )(22x x x x x f ，则不等式

0)(>x f 的解集为_____．

【解析】试题分析：当0>x 时，1log 0log 22=>-x ，解得;10<x f 的解集为(1,1)-．

易错点8 分段函数单调性问题，忽略分界点函数值的比较

【例8】已知()211()1x

a x x f x a

x ?-+

【错因】只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视()f x 在分界点附近函数值大小关系．

【正解】要使得()f x 在R 上是增函数，则两个函数()()21g x a x =-+与()x h x a =均为增函

数，并且还要满足在1x =处，有(1)(1)g f ≤，即20

121a a a a

->??

>??-+≤?

，解得322a <<，所以的取

值范围是3,2)2

???．

【纠错训练】已知函数?

??≥<+-=1,log 1

,4)13()(x x x a x a x f a 在R 是单调函数，则实数的取值范围

是 ．

【解析】若函数??

?≥<+-=1,

l o g 1

,4)13()(x x x a x a x f a 在R 是单调递增函数，需满足

??

?

?

?≤+?->>-1

log 41)13(10

13a a a a a ，无解；若函数???≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 在R 是单调递减函数，

需满足??

???≥+?-<<<-1

log 41)13(100

13a a a a a ，解得3171<≤a ，所以实数的取值范围是1173??

????，．

易错点9 误解“函数的零点”意义

【例9 】 函数23)(2+-=x x x f 的零点是（ ）

A ．()0,1

B ．()0,2

C ．()0,1，()0,2

D ．1，2 【错解】C

【错因】错误的原因是没有理解零点的概念，＂望文生义＂，认为零点就是一个点．而函数的零点是一个实数，即使()0=x f 成立的实数，也是函数()x f y =的图象与轴交点的横坐标． 【正解】由()0232=+-=x x x f 得，＝1和2，所以选D ．

易错点10 函数零点定理使用不当

【例10】若函数()f x 在区间-2,2]上的图象是连续不断的曲线，且()f x 在（-2,2）内有一个零

点，则(2)(2)f f -?的值 （ ）

A 大于0

B 小于0

C 等于0

D 不能确定 【错解】由函数零点存在定理知(2)(2)0f f -?<，故选B ．

【错因】没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数()f x 在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则(2)(2)0f f -?<，否则(2)(2)0f f -?≥．函数零点定理是指如果函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有()()0f a f b <，那么函数

()f x 在区间(,)a b 内有零点．函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理

仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力．

【正解】()f x 可能在端点处取得零点，即(2)(2)f f -?可以等于0；2

()f x x =在0x =处取得零点，但(2)(2)0f f -?>；()f x x =在0x =处取得零点，但(2)(2)0f f -?<，故选D ． 【纠错训练】函数()x

x x f 1

+

=的零点个数为 （ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【解析】函数的定义域为()()+∞?∞-,00,，当0>x 时，()0>x f ，当0

=+x

x 得012=+x 方程无实数解．

【错题纠正巩固】

1．判断函数

()2lg 1()22

x f x x -=

--的奇偶性．

解析：由函数的解析式知x 满足2

10

22x x ?->??-≠±??

即函数的定义域为()

()1,00,1-定义域关于原点对称，在

定义域下

()()2lg 1x f x x

-=

-易证

()()f x f x -=-即函数为奇函数。

2．判断下列函数的奇偶性：

①()f x =

()(1f x x =-()1sin cos 1sin cos x x

f x x x ++=+-

解析：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数