【精准解析】陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高一上学期第三次考试数学试卷(B卷)

咸阳市高新一中2020—2021学年度第一学期高一年级第三次

考试 数学B 卷

第Ⅰ卷

一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合{|12}A x x =<<，{|}B x x a =<，若A B ?，则a 的取值范围为（ ） A. 2a ≥ B. 1a ≤

C. 1a ≥

D. 2a ≤

【答案】A 【解析】 【分析】

根据A B ?确定集合A 与集合B 区间端点的大小关系求解. 【详解】若A B ?，则只需满足2a ≥， 故选：A.

【点睛】本题考查利用集合间的关系求参数的取值范围，属于简单题. 2. 函数(

)1

3

f x x =-的定义域是（ ） A. [)2,3 B. ()3,+∞

C. [)()2,33,+∞

D. ()()2,33,+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

使得二次根式下被开方数非负且分母不为0即可．

【详解】由题意20

30x x -≥??-≠?

，解得2x ≥且3x ≠．

故选：C ．

3. 已知函数()12log ,03,0

x x x f x x >??

=??≤?，则()()4f f 的值为（ ）

A. 19

-

B.

19

C. 9-

D. 9

【答案】B 【解析】 【

分析】

根据函数()12log ,03,0x x x f x x >??

=??≤?，先求得()4f ，再求()()4f f 即可. 【详解】因为函数()12log ,0

3,0

x x x f x x >??

=??≤?， 所以()2

112214log 4log 22f -??

===- ???

，

所以()()()2

1

423

9

f

f f -=-==， 故选：B

4. 若二次函数的二次项系数为1，图像开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0，0)，则此二次函数的解析式为( ) A. f(x)＝x 2－1

B. f(x)＝－(x －1)2＋1

C. f(x)＝(x －1)2＋1

D. f(x)＝(x －1)2－1

【答案】D 【解析】

设二次函数的解析式为()()2

1f x x c =-+,将()0,0代入,解得1c =-,即()()2

11f x x =--,

故选D.

5. 如果a 、b 是异面直线，且//a 平面α，那么b 与α的位置关系是（ ） A. //b α B. b 与α相交

C. b α?

D. 不确定

【答案】D 【解析】 【分析】

在正方体中构建模型，对选项中三种位置关系逐一判断说明即可.

【详解】a 、b 是异面直线，且//a 平面α，如图所示：正方体中，,,M N E 是对应棱上的中点，对角面11BDD B 是平面α，直线1AA 是a ，满足题意，则b 是MN 时，//b α，b 是1EC 时b 与α相交，b 是直线11B D 时，b α?，故b 与α的位置关系不确定.

故选：D.

6. 设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系（ ） A. a b c << B. b a c << C. c b a << D. c a b <<

【答案】C 【解析】 【分析】

判断,,a b c 与0,1大小关系，即可得到答案.

【详解】因为0.30221a =>=，2000.30.31b <=<=，22log 0.3log 10c =<=， 所以c b a <<. 故选：C.

【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的性质，关键是与中间量0,1进行比较，然后得三个数的大小关系，属于基础题. 7.

若一个几何体正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是（ ） A. 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 球体

【答案】C 【解析】

解：因为若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则这个几何体可能是圆锥，选C

8. 函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（ ） A. ()2,3-

B. ()1,7-

C. ()1,10-

D.

()10,4--

【答案】C 【解析】 【分析】

先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【详解】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.

9. 函数2log ||y x =的图像大致是（ ）

A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 【分析】

根据函数的对称性与单调性即可得到结果.

【详解】函数2log y x =是偶函数，且在()0,∞+上为增函数，结合各选项可知A 正确． 故选A

【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值

进行排除是解决本题的关键．

10. 函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最大值3，最小值为2， m 的取值范围是 A. (,2]-∞ B. [0,2] C. [1,2] D. [1,)+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

本题利用数形结合法解决，作出函数()f x 的图象，如图所示，当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，欲使函数2()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上的上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围要大于等于1而小于等于2即可． 【详解】解：作出函数()f x 的图象，如图所示， 当1x =时，y 最小，最小值是2，当2x =时，3y =，

函数2

()23=-+f x x x 在闭区间[0，]m 上上有最大值3，最小值2， 则实数m 的取值范围是[1，2]． 故选：C ．

【点睛】本题考查二次函数的值域问题，其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题．

11. 函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

【答案】C 【解析】

试题分析：可以求得，所以函数的零点

在区间(2,3)内．故选C ． 考点：零点存在性定理．

12. 已知函数()2

1f x mx mx =--，对一切实数x ，()0f x <恒成立，则m 的范围为（ ）

A. ()4,0-

B. (]4,0-

C. ()(),40,-∞-+∞

D.

()[),40,-∞-?+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

由()2

10f x mx mx =--<对一切实数x 恒成立，分0m =， 0m <，利用判别式法求解.

【详解】因为()2

1f x mx mx =--，对一切实数x ，()0f x <恒成立，

当0m =时，10-<，成立， 当0m <时，2

40m

m ?

，解得40m -<<，

综上：m 的范围是(]4,0-， 故选：B

二．填空题

13. 232

a a

=?______．

【答案】5

6a 【解析】 【分析】

直接利用根式和指数幂的运算法则求解. 22213

2

3

2

a a a

a a

=

??,

7

52266

76

a a

a a

-=

==

故答案为：5

6a

14. 若0＜a ＜1，b ＜-1，则函数f （x ）=a x +b 的图象不经过第___象限． 【答案】一 【解析】 【分析】

利用指数函数的单调性和恒过定点，再结合图像的平移变换即可得到答案.

【详解】函数y=a x （0＜a ＜1）是减函数，图象过定点（0，1），在x 轴上方，过一、二象限，函数f （x ）=a x +b 的图象由函数y=a x 的图象向下平移|b|个单位得到，∵b ＜-1，∴|b|＞1，∴函数f （x ）=a x +b 的图象与y 轴交于负半轴，如图，函数f （x ）=a x +b 的图象过二、三、四象限． 故答案为:一．

【点睛】本题考查指数函数的图象和性质，考查图象的平移变换． 15. 函数f （x ）=log 2（x 2﹣5x+6）的单调减区间为______． 【答案】（﹣∞，2）

【解析】

f （x ）=lo

g 2（x 2﹣5x+6）是复合函数，外层是对数函数，内层是二次函数，外层是单调递增的

函数，要求整体的单调减区间，则找内层的减区间即可；2

250

(,2)560x x x ﹣-≤??-∞?+>?

. 故最后结果

（﹣∞，2）.

点睛：此题考查的是复合函数单调性的问题，首先求函数单调性需要在定义域范围内求，单调区间一定是定义域的子区间，再就是，复合函数单调性的判断方法，同增异减，分析内外层函数的模型找出内外层函数的单调性，和定义域取交集即可； 16. 下列命题中，

①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； ②棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；

③棱柱的侧面是平行四边形，但底面不是平行四边形； ④棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形. 其中错误的有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】

构造合适的图形，结合棱柱的定义可判断①②③④的正误. 【详解】由棱柱的定义可知，只有④正确，分别构造图形如下：

图1 图2 图3

图1中平面ABCD 与平面1111D C B A 平行，但四边形ABCD 与1111D C B A 不全等，故①错；图2中正六棱柱的相对侧面11ABB A 与11EDD E 平行，但不是底面，②错； 图3中直四棱柱底面ABCD 是平行四边形，③错. 故答案为：①②③.

三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 化简求值：

（10113

6

30.0625)248

π-+- （2）7

lg142lg

lg 7lg183

-+-． 【答案】（1）1336

4

+； （2）0. 【解析】 【分析】

（1）利用指数运算的法则进行计算可得答案；

（2）利用对数运算的法则进行计算可得答案； 【详解】解：（1

）原式510.25122=

+++-=

． （2）原式

2

147lg

lg10

7183?===??

? ???

．

【点睛】本题主要考察有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质，熟练掌握指数运算和对数运算的性质是解答本题的关键.

18. 设集合{|(21)(2)0}A x x m x m =-+-+<，{|114}B x x =≤+≤. （1）若1m =，求A B ?；

（2）若A B A ?=，求实数m 的取值集合.

【答案】（1）{|01}A B x x ?=≤<；（2）{}1,2- . 【解析】 试

题

分

析

：

易

得

{}

|03B x x =≤≤．（1）由

1m =?{}|11A x x =-<

（2）A B A ?=?A B ?，然后利用分类讨论思想对1m =-、1m >-和1m <-分三种情况进行讨论. 试题解析：集合{}|03B x x =≤≤．

（1）若1m =，则{}|11A x x =-<<，则{}|01A B x x ?=≤<． （2）A B A ?=，∴A B ?， 当A =?，即1m =-时，成立； 当A ≠?，即1m ≠-时，

（i ）当1m <-时，(21,2)A m m =--，要使得A B A ?=，A B ?， 只要210,{

23,m m -≥-≤解得1

52

m ≤≤，所以m 的值不存在；

（ii ）当1m >-时，(2,21)A m m =--，要使得A B ?，

只要20,{213,

m m -≥-≤解得2m =．

综上，m的取值集合是{}

1,2

-．

考点：集合的基本运算.

19. 某质点在30s内运动速度v是时间t的函数，它的图象如图，解析法表示出这个函数，并求出9s时质点的速度．

【答案】()

10,05

3,510

30,1020

390,2030

t t

t t

v t

t

t t

+≤<

?

?≤<

?

=?

≤<

?

?-+≤≤

?

，9s时速度为27/s

cm．

【解析】

【分析】

利用待定系数法结合一次函数的解析式可求得v关于t在每段的函数解析式，然后将9

t=代入函数解析式可求得9s时质点的速度．

【详解】当05

t

≤<时，此时v关于t函数图象为线段，

设11

v k t b

=+，由题意可得1

11

10

515

b

k b

=

?

?

+=

?

，解得1

1

1

10

k

b

=

?

?

=

?

，此时，10

v t

=+；

当510

t时，设

22

v k t b

=+，由题意可得22

22

515

1030

k b

k b

+=

?

?

+=

?

，解得2

2

3

k

b

=

?

?

=

?

，此时，3

v t

=；当1020

t

≤<时，由图象可得30

v=；

当2030t ≤≤时，设44v k t b =+，由题意可得44442030300k b k b +=??

+=?，解得44

3

90k b =-??=?，此时，390v t =-+.

所以：()10,05

3,51030,1020390,2030

t t t t v t t t t +≤

=?≤

20. 是否存在实数a ，使函数221x x y a a =+-（0a >且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14？ 【答案】存在，a 的值为3或13

． 【解析】 【分析】

先利用换元法将指数型函数转化成二次函数，再讨论1a >和01a <<两种情况确定t 的范围，利用二次函数对称轴与区间的位置研究最值问题即可.

【详解】解：设x t a =，则()()2

22112y f t t t t ==+-=+-，对称轴是1t =-，

当1a >时，10a t a -<≤≤，故t a =时2

max 21y a a =+-，

由22114a a +-=，得3a =或5a =-，由1a >，知3a =；

当01a <<时，1,t a a -??∈??，故1

t a -=时()

2

11max 21y a

a --=+-．

由题设212114a a --+-=得13a -=或15a -=-，故13a =或1

5

a =-， 由01a <<，知1

3

a =

， 综上，存在实数a 的值为3或

13

． 【点睛】指数型函数研究最值时，先进行换元x t a =，得到一般的常见函数()y f t =，再研究单调性求最值即可，解含参数的题时要注意讨论参数1a >和01a <<两种情况.

21. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P ，Q ，且AP DQ =．求证：//PQ 平面BCE ．

【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】

作//PM AB 交BE 于M ，作//QN AB 交BC 于N ，连接MN ，证明出四边形PQNM 为平行四边形，可得出//PQ MN ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.

【详解】如图所示，//PM AB 交BE 于M ，作//QN AB 交BC 于N ，连接MN ．

正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，AE BD ∴=． 又AP DQ =，PE QB ∴=． 又////PM AB QN ，PM PE QB AB AE BD ∴

==，QN BQ DC BD =，PM QN

AB DC

∴=．

//PM QN ∴且PM QN =，即四边形PMNQ 为平行四边形，//PQ MN ∴．

又MN ?平面BCE ，PQ ?平面BCE ，//PQ ∴平面BCE ． 【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有： （1）通过面面平行得到线面平行；

（2）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.

22. 已知函数()22x

x

f x -=+．

（1）求方程()2

f x =的

根；

（2）若()3f x =，求()2f x ；

（3）若对任意x ∈R ，不等式()()26f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值． 【答案】（1）0x =；（2）7；（3）4． 【解析】 【分析】

（1）将方程()2f x =进行合理转化即可解得x 的值.

（2）由()3f x =，将2x 代入()f x 的解析式，并进行合理转化即可求得()2f x 的值； （3）将m 单独移至不等式的一边，根据（2）中的结论构造关于()f x 的新函数()g x ，求出

()g x 的最小值即可得到m 的取值范围，进而得解．

【详解】解：（1）方程()2f x =，即222x x -+=， 亦即()2

22210x

x -?+=，

所以(

)

2

21

0x -=，

于是21x =，解得0x =． （2）()(

)

2

222222222327x x x x

f x --=+=+-=-=

（3）由（II ）知()()

()()2

2

222222222x x x x

f x f x --=+=+-=-．

因为()()26f x mf x ≥-对于任意x ∈R 恒成立，且()0f x >，

所以()()

()

()()

2

4

4

f x m f x f x f x +≤

=+

对于任意x ∈R 恒成立． 令()()()

4

g x f x f x =+

，显然当()2f x =时，()g x 取得最小值，且()min 4g x =， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4．

【点睛】本题考查指数式方程、指数函数的性质、利用基本不等式解决恒成立问题，属于中档题．