三角函数全章教案
第一课时 课题 锐角三角函数
（一）教学目标
一.知识目标: 初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标 : 逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标: 提高学生对几何图形美的认识。 （二）.教材分析：
1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念
2．教学难点:用含有几个字母的符号组sinA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 （三）教学程序 一．探究活动
1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。
sinA= ,cosA= ,tanA=
3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的sinA,cosA,tanA 的值。
二．探究活动二
1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sin 30°cos45 tan60° 归纳结果
2. 求下列各式的值
（1）sin 30°+ cos30° （2）2sin 45°— cos30°(3) +ta60°-tan30° 三．拓展提高
1. P82例4.（略）
2. 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°3,求四．小结
A
C
2
0cos3045sia 12
A ∠的对边斜边A ∠的邻边斜边A A ∠∠的对边的邻边
五．作业
课本p86 2,3,6,7,8,10
第二课时
课题 解直角三角形应用（一）
一．教学目标 (一)知识目标
使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾
1．在三角形中共有几个元素2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢
(1)边角之间关系 sinA=
c a cosA=c b tanA b
a (2)三边之间关系 a 2
+b 2
=c 2
(勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．
以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动
1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢激发了学生的学习热情．
2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元
素的过程，叫做解直角三角形)．
3．例题评析
例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 2 a=6，解这个三角形．
∠=350，解这个三角例2在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b= 20 B
形（精确到）．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形”
答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底．
例 3在Rt△ABC中，a=，b=，解这个三角形．
(三) 巩固练习
∠的平分线AD=43，解此直角三角形。
在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC
解直角三角形是解实际应用题的基础，因此必须使学生熟练掌握．为此，教材配备了练习针对各种条件，使学生熟练解直角三角形，并培养学生运算能力．
(四)总结与扩展
请学生小结：1在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素． 2解决问题要结合图形。
四、布置作业
p96 第1，2题
第三课时
解直三角形应用（二）
一．教学目标
(一)、知识目标
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、能力目标
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
斜边
的邻边
A A ∠=
cos 斜边
的对边A A ∠=sin 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么
2．解直角三角形主要依据什么 (1)勾股定理：a 2
+b 2
=c
2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=
（二）新授概念 1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1
如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1
米)
解：在Rt △ABC 中sinB=AB
AC
∴AB=B AC sin =2843.01200
=4221(米)
答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米．
例年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置这样的最远点与P 点的距离是多少（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ）
分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。将问题放到直角三角形FOQ 中解决。 解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt △ABC 中的∠ABC ，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
O P
Q
的邻边
的对边A A ∠∠斜边
的对边
A ∠
∠和斜边，求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
来解决的两个实际问题即已知α
（三）．巩固练习
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶
部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为600，热气球与
高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确
到`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B
并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
（1）．谁能将实物图形抽象为几何图形请一名同学上黑板画出来．
（2）．请
学生结合
图形独立
完成。
3 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本p96 第 3，.4，.6题
第四课时
解直三角形应用（三）
（一）教学目标
(一)知识目标
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识．
二、教学重点、难点
1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
三、教学过程
1．导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形，在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形，从而使问题得到解决．
2．例题分析
例1．如图6-21，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A-26°，
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米)．
分析：上图是本题的示意图，同学们对照图形，根据题意思考题目中的每
句话对应图中的哪个角或边，本题已知什么，求什么
由题意知，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∠A=26°，AC=5米，
可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB．
学生在把实际问题转化为数学问题后，大部分学生可自行完成
例题小结：求出中柱BC的长为2.44米后，我们也可以利用正弦计
算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结，效果会更好，不仅使学生掌握选何关P
A
B
65
340
系式，更重要的是知道为什么选这个关系式，以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，形成良好的学习习惯．
另外，本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题，渗透了转化的数学思想．
例2．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东650方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南东340方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到海里)
．
引导学生根据示意图，说明本题已知什么，求什么，利用哪个三角形来求解，
用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便
3巩固练习
为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠
ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．
首先请学生结合题意画几何图形，并把实际问题转化为数学问题．
Rt△ACD中，∠D=Rt∠，∠ACD=52°，CD=BE=15米，CE=DB=1.72米，求AB
(三)总结与扩展
请学生总结：通过学习两个例题，初步学会把一些实际问题转化为数学问题，
通过解直角三角形来解决，具体说，本节课通过让学生把实际问题转化为数学问
题，利用正切或余切解直角三角形，从而把问题解决．
本课涉及到一种重要教学思想：转化思想．
四、布置作业
1．某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米，求烟囱的高(精确到0.1米)．2．如图6-24，在高出地平面50米的小山上有一塔AB，在地面D测得塔顶A和塔基B的仰面分别为50°和45°，求塔高．
3．在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．
第五课时
解直三角形应用（四）
一．教学目标
(一)知识目标
使学生懂得什么是横断面图，能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
(三)情感目标
培养学生用数学的意识；渗透转化思想；渗透数学来源于实践又作用于实践的观点．
二、教学重点、难点
1．重点：把等腰梯形转化为解直角三角形问题；
2．难点：如何添作适当的辅助线．
三、教学过程
1．出示已准备的泥燕尾槽，让学生有感视印象，将其横向垂直于燕尾槽的平面切割，得横截面，请学生通过观察，认识到这是一个等腰梯形，并结合图形，向学生介绍一些专用术语，使学生知道，图中燕尾角对应哪一个角，外口、内口和深度对应哪一条线段．这一介绍，使学生对本节课内容很感兴趣，激发了学生的学习热情．
2．例题
例燕尾槽的横断面是等腰梯形，图6-26是一燕尾槽的横断面，其
中燕尾角B是55°，外口宽AD是180mm，燕尾槽的深度是70mm，求它
的里口宽BC(精确到1mm)．
分析：(1)引导学生将上述问题转化为数学问题；等腰梯形ABCD中，
上底AD=180mm，高AE=70mm，∠B=55°，求下底BC．
(2)让学生展开讨论，因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形，从而利用解直角三角形的知识来求解．学生对这一转化有所了解．因此，学生经互相讨论，完全可以解决这一问题．
例题小结：遇到有关等腰梯形的问题，应考虑如何添加辅助线，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题．
3．巩固练习
如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米)．
分析：(1)请学生审题：因为电线杆与地面应是垂直的，那么图6-27中△ACD是直角三角形．其中CD=5m，∠CAD=60°，求AD、AC的长．
(2)学生运用已有知识独立解决此题．教师巡视之后讲评．
(三)小结
请学生作小结，教师补充．
本节课教学内容仍是解直角三角形，但问题已是处理一些实际应用题，在这些问题中，有较多的专业术语，关键是要分清每一术语是指哪个元素，再看是否放在同一直角三角形中，这时要灵活，必要时还要作辅助线，再把问题放在直角三角形中解决．在用三角函数时，要正确判断边角关系．
四、布置作业
1．如图6-28，在等腰梯形ABCD中，DC∥AB， DE⊥AB于E，
AB=8, DE=4, cosA= , 求CD的长.2．教材课本习题P96第6，7，8题
第六课时
解直三角形应用（五）
一．教学目标
(一)知识目标明
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)德育目标
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、教学重点、难点和疑点
1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．
2．难点：解决实际问题．
3．疑点：株距指相邻两树间的水平距离，学生往往理解为相邻两树间的距离而造成错误．
三、教学过程
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1 如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
5 3
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线
这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．
由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．∴DE=BD·cosD
=520×=≈(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，
提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片．
练习P95 练习1，2。
补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间(精确到1分)．
学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：
(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．
此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．
补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向
东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，
又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没
有触礁的危险
如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．
若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
四、布置作业
课本习题P97 9，10
第六课时
解直三角形应用
一、教学目标：
(一)知识目标
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
(二)能力目标
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法． (三)德育目标
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点． 二、教学重点、难点和疑点
1．重点：解决有关坡度的实际问题． 2．难点：理解坡度的有关术语．
3．疑点：对于坡度i 表示成1∶m 的形式学生易疏忽，教学中应着重强调，引起学生的重视． 三、教学过程
1．创设情境，导入新课．
例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义． 介绍概念 坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h 和水
平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。即ｉ＝
l h
，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系 答：i ＝ ＝tan
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
l
h
练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角α______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问： (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系举例说明． (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
答：(1)如图，铅直高度AB 一定，水平宽度BC 增加，α将变小，坡度减小，
因为 tan α＝BC AB
，
AB 不变，tan α随BC 增大而减小
(2)与(1)相反，水平宽度BC 不变，α将随铅直高度增大而增大，tan α也随之增大，因为tan α= 不变时，tan α随AB 的增大而增大 2．讲授新课
引导学生分析例题，图中ABCD 是梯形，若BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，梯形就被分割成Rt △ABE ，矩形BEFC 和Rt △CFD ，AD=AE+EF+FD ，AE 、DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF=BC=6m ，从而求出AD ． 以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，在Rt △ABE 和Rt △CDF 中， ∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD==×23=(m)．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+=(m)．
因为斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝31
≈，查表得α≈18°26′
BC
AB
答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
3．巩固练习
(1)教材P124. 2
由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．
(2)利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35
阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶，渠道底面宽BC为0.5
米，求：
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD
3．土方数=S·l
∴AE=×=(米)．
∵等腰梯形ABCD，∴FD=AE=(米)．∴AD=2×+=(米)．
总土方数=截面积×渠长=×100=80(米3)．
答：横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
(四)总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
四、布置作业
1．看教材，培养看书习惯，作本章小结．
2．课本习题P96第5，8题
解直角三角函数复习·教案
一、知识点回顾
1、锐角∠A的三角函数（按右图Rt△ABC填空）
∠A的正弦：sin A = , ∠A的余弦：cos A = ,
∠A的正切：tan A = , ∠A的余切：cot A =
2、锐角三角函数值，都是实数（正、负或者0）；
3、正弦、余弦值的大小范围：＜sin A＜；＜cos A＜
4、tan A?cot A = ； tan B?cot B = ；
5、sin A =cos（90°- ）；cos A = sin（ -）
tan A =cot（）； cot A =
6、填表
7、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，AB＝c,BC＝a，AC＝b,
1）、三边关系（勾股定理）：
2）、锐角间的关系：∠+∠= 90°
3）、边角间的关系：sin A = ； sin B = ；
cos A = ； cos B= ；
tan A = ； tan B = ；
cot A = ；cot B =
8、图中角 可以看作是点A的角,也可看作是点B的角；
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的高度（h）和长度（l）的比。
记作i,即i = ；
（2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i＝
l
h
=tanα
（3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越，坡面就越
（1）
二、巩固练习
（1）、三角函数的定义及性质
1、在△ABC 中,,900
=∠C 13,5==AB AC ,则cos B 的值为
2、在Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝10，AC ＝4，则______tan _____,cos ==A B ；
3、Rt △ABC 中,若,900=∠C 2,4==BC AC ,则tan ______=B
4、在△ABC 中，∠C ＝90°，1,2==b a ，则=A cos
5、已知Rt △ABC 中,若,900
=∠C cos 24,13
5
==
BC A ,则._______=AC 6、Rt △ABC 中,,900
=∠C 3
5
tan ,3=
=B BC ，那么.________=AC 7、已知32sin -=m α，且a 为锐角，则m 的取值范围是 ；
8、已知：∠α是锐角，?=36cos sin α，则α的度数是 9、当角度在?0到?90之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ） A ．正弦和正切 B ．余弦和余切 C ．正弦和余切 D ．余弦和正切 10、当锐角A 的2
2
cos >
A 时，∠A 的值为（ ） A 小于?45
B 小于?30
C 大于?45
D 大于?60
11、在Rt ⊿ABC 中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A 的正弦址与余弦值的情况（ ） A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定
12、已知α∠为锐角，若030cos sin =α，αtan ＝ ；若1tan 70tan 0
=?α，则_______=∠α； 13、在△ABC 中,,900
=∠C sin 2
3
=
A , 则cos
B 等于( ) A 、1 B 、
23 C 、22 D 、2
1 （2）、特殊角的三角函数值
1、在Rt △ABC 中，已知∠C ＝900
，∠A=450
则A sin =
2、已知：α是锐角，221
cos =
α，tan α=______； 3、已知∠A 是锐角，且______2
sin
,3tan ==
A
A 则；
4、在平面直角坐标系内P 点的坐标（?30cos ，?45tan ），则P 点关于x 轴对称点P ／
的坐标为 （ ） A ． )1,23(
B ． )23,1(-
C ． )1,23
(- D ． )1,2
3(-- 5、下列不等式成立的是（ ）
A ．?
B ．?
C ．?
D ．?
6、若1)10tan(30
=+α，则锐角α的度数为（ ）
A ．200
B ．300
C ．400
D ．500
7、计算
（1）_______60cot 45tan _______,60cos 30sin 0
=+=+； （2）?-?+?+
?-?30sin 30cos 30tan 4
1
45sin 60cos 22
(3)000045tan 30tan 145tan 30tan ?-+ (4))60sin 45(cos 30sin 60
cos 2330cos 45sin 0
000
00---+ （3）、解直角三角形
1、在△ABC 中,,900
=∠C 如果4,3==b a ，求A ∠的四个三角函数值. 解：（1）∵ a 2
+b 2
＝c
2
∴ c =
∴sin A = cos A =
∴tan A = cot A =
2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1）已知a ＝43，b ＝23，则c= ； （2）已知a ＝10，c ＝102，则∠B= ； （3）已知c ＝20，∠A ＝60°，则a= ； （4）已知b ＝35，∠A ＝45°，则a= ；
3、若∠A = ?30，10=c ，则___________,==b a ；
4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．
7、设Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，根据下列所给条件求∠B 的四个三角函数值.
（1）a =3,b =4; （2）a =6,c =10.
8、在Rt △ABC 中，∠C ＝90゜，BC ：AC ＝3：4，求∠A 的四个三角函数值.
9、△ABC 中,已知0
045,60,22=∠=∠=C B AC ，求AB 的长
（4）、实例分析
1、斜坡的坡度是3:1，则坡角.____________=α
2、一个斜坡的坡度为1=ι︰3，那么坡角α的余切值为 ；
3、一个物体A 点出发，在坡度为7:1的斜坡上直线向上运动到B ，当30=AB m 时，物体升高 （ ） A
730m B 8
30
m C 23m D 不同于以上的答案 4、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度3:1=i ，坝外斜坡的坡度1:1=i ，则两个坡角的和为 （ ） A ?90 B ?60 C ?75 D ?105
5、电视塔高为350m ，一个人站在地面，离塔底O 一定的距离A 处望塔顶B ，测得仰角为0
60，若某人的身高
忽略不计时，__________=OA m.
6、如图沿AC 方向修隧道,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时进行.已知∠ABD=1500
,BD=520m,∠B=600,那么开挖点E 到D 的距离DE=____m 时,才能使A,C,E 成一直线.
7、一船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的南偏东0
60，距
离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A 18海里/小时
B 318海里/小时
C 36海里/小时
D 336海里/小时
8、如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高。
9、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形ABCD ，斜坡BC 的坡度为3:2=ι，路基高AE 为3m ，底CD 宽12m ，
求路基顶AB 的宽
10、如图，已知两座高度相等的建筑物AB 、CD 的水平距离BC ＝60米，在建筑物CD 上有一铁塔PD ，在塔顶P 处观察建筑物的底部行俯角0030,45==βα
，求建筑物AB 的
B 和顶部A ，分别测高。（计算过程和结
果一律不取近似值）
11、如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，
以每小时107千米的速度向北偏东60o的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
（1） 问A 城是否会受到这次台风的影响为什么
（2） 若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长
解直角三角形总复习答案
二、巩固练习
（1）三角函数的定义和性质 1、
1312 2、29295 、 2
5
3、2
4、55
5、10
6、5
7、25.1< 8、540 9、B 10、 A 11、C 12、3 13、B （2）特殊角的三角函数值 1、 22 2、1 3、2 1 4、A 5、D 6、A A C D B 7、（1）1、 333+ （2）12523-或12536-（3）32+ (4) 2 3 （3）解直角三角形 1、5=c 53sin = A 54cos =A 43tan =A 3 4 cot =A 2、（1）152 （2）10 （3）310 （4）35 3、 5 、25 4、10=a 35=b 5、310=c 10=d 6、 3 3 34 3317=f 7、（1）5=c 54sin = B 53cos =B 34tan =B 4 3 cot =B （2）8=b 54sin =B 53cos =B 34tan =B 4 3cot =B 8、解：设BC=3k ，AC=k ?=∠90C Θk AB 5=∴54cos ,53sin ==∴A A 3 4 cot ,43tan ==A A 9、解：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D 。 ?=∠=∠90ADB ADC Θ 22,45=?=∠AC A Θ2=∴AD 2,60=?=∠AD B Θ3=∴AB （4）实例分析 1、?30 2、3 3、C 4、C 5、 6、 3 3 350- 7、B 8、解：设铁塔AB 高x 米 ?=∠30B Θ 314cot =+== ∠∴AB BD AB BC C 在ABD RT ?中 ?=∠45ADB Θ 即 314=+x x 课题锐角三角函数——正弦 一、教学目标 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 二、教学重点、难点 重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 三、教学过程 （一）复习引入 操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。 你想知道小明怎样算出的吗？ 师：通过前面的学习我们知道，利用相似三角形的方法可以测 算出旗杆的大致高度； 实际上我们还可以象小明那样通过测量一些角的度数和一些线 段的长度，来测算出旗杆的高度。 这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。 下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦 （二）实践探索 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o,为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 分析： 问题转化为，在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=30o，BC=35m,求AB 根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半”，即 34 1米 10米 ? 任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos = a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以 第1课时§1.1 任意角 【教学目标】 一、知识与技能 1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；象限角、坐标轴上的角的概念；终边相同角的表示方法． 2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法． 二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想，考虑问题要细致，说理要明确 三、情感、态度与价值观：体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念。 【教学重点难点】：（1）正角、负角、零角的定义；（2）终边相同的角的表示方法 【教学过程】 【问题情境】通过周期运动的实例引人三角函数．让学生对本章有一个初步印象． 【学生活动】初中我们已给角下了定义．我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角α．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置的图形(先后用教具和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)． 讲解新课： 1．角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 一条射线OA绕着______________________，就形成角α．____ _叫做角α的始边，______叫做角α的终边，_____叫做角α的顶点． ⑵．“正角”与“负角”“0角” 我们把_______________________叫做正角，把_______________________叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°， 并把这个角叫 ⑶意义 用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分2角可以任意大 3可以为零角 2．“象限角及轴线角” 建立平面直角坐标系,角的顶点重合于___________，角的始边重合于_______，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限,称之为________） 3．终边相同的角 (1)在平面直角坐标系中作出30, 390，330角 ⑴观察：390，330角，它们的终边都与________角的终边相同 ⑵探究：终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) (Z k k∈个周角的和： 390=______+____360330=______+_____360 ⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合： } {__________ = =β β S 例题分析： 例1、在0到360度范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角 (1)120(2)640(3)95012' -??-? 例2、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360~720 -??间的角写出来：（1）60?（2）21 -?（3）36314 ?'。 锐角三角函数 中考主要考查点： 1． 锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值； 2． 解直角三角形；解直角三角形的应用； 3． 直角三角形的边角关系的应用 ? 知识点1. 直角三角形中边与角的关系 中，∠C=90° （1）边的关系： （2）角的关系： （3）边与角的关系： sinA = cosA= tanA= cotA= sinA ＝cosB ＝ a c ， cosA ＝sinB ＝ b c ，tanA ＝＝a b ， tanB ＝b a , cotA=b a ? 知识点2. 特殊角的三角函数值 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下： α sinα cosα tanα 30° 1 2 33 45° 22 22 1 60° 1 2 斜边 的对边 A ∠斜边 的邻边A ∠邻边的对边A ∠ 对边的邻边A ∠2 3 233 ? 知识点3. 三角函数的增减性 已知∠A 为锐角，sinA 随着角度的增大而 增大 ，tanA 随着角度的增大而 增大 ， cosA 随着角度的增大而 减小 。 例1. 已知∠A 为锐角，且cosA≤ 2 1 ，那么（ ） （A ） 0°＜A≤60°（B ）60°≤A ＜90°（C ）0°＜A≤30°（D ）30°≤A ＜90° ? 知识点4. 同角三角函数与互为余角的三角函数之间的关系。 1. 同角三角函数的关系 1cos sin 22=+A A A A A cos sin tan = 1cot tan =?A A 2. 互为余角的三角函数之间的关系90=+B A B A B A sin cos cos sin == ?=47cos 43sin ο 1tan tan =?B A ? 知识点5. 直角三角形的解法 直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的依据，因此，解直角三角形的关键是 正确选择直角三角形的边角关系式，使两个已知元素（其中至少有一个元素是边）. 重要类型: 1.已知一边一角求其它。 2.已知两边求其它。 例2. 在中，∠C=90°，，∠A －∠B=30°，试求的值。 A C B 锐角三角函数全章教案 单元要点分析 内容简介 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用． 相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础． 本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．教学目标 1．知识与技能 （1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值． （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角． （3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题． （4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法 贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中． 3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形培养学生数形结合的思想． 重点与难点 1．重点 （1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，?应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 （1）锐角三角函数的概念． （2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，?解决问题的能力． 教学方法 在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．?讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点： 1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题． 2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，?再加以探索认识． 3．对实际问题，注意联系生活实际． 4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，?增加探索性问题的比重．课时安排 本章共分9课时． 28．1 锐角三角函数4课时 28．2 解直角三角形4课时 小结1课时 28．1 锐角三角函数 内容简介 本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 【锐角三角函数全章教案】 锐角三角函数（第一课时） 教学三维目标： 一.知识目标：初步了解正弦、余弦、正切概念；能较正确地用siaA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比；熟记功30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 二.能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析，概括的思维能力。 三.情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教材分析： 1．教学重点: 正弦，余弦，正切概念 2．教学难点:用含有几个字母的符号组siaA 、cosA 、tanA 表示正弦，余弦，正切 教学程序： 一．探究活动 1．课本引入问题，再结合特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角形的边角关系。 2．归纳三角函数定义。 siaA= 斜边的对边A ∠,cosA=斜边的邻边A ∠,tanA=的邻边 的对边 A A ∠∠ 3例1.求如图所示的Rt ⊿ABC 中的siaA,cosA,tanA 的值。 4.学生练习P21练习1，2，3 二．探究活动二 1.让学生画30°45°60°的直角三角形,分别求sia 30°cos45° tan60° 2. 求下列各式的值 （1）sia 30°+cos30°（2）2sia 45°-21cos30°(3)0 4530cos sia +ta60°-tan30° 三．拓展提高P82例4.（略） 1. 如图在⊿ABC 中,∠A=30°,tanB=2 3 ,AC=23,求AB 四．小结 五．作业课本p85－86 2,3,6,7,8,10 解直角三角形应用（一） 一．教学三维目标 (一)知识目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． (二)能力训练点 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． (三)情感目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：直角三角形的解法． 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用． 3．疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边． 三、教学过程 (一)知识回顾 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系 sinA=c a cosA=c b tanA=b a (2)三边之间关系 a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理) (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°． 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用． （二） 探究活动 1．我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情． 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题评析 人教A版必修4 第一章三角函数教学设计 一、教材分析 三角函数是基本初等函数，它是用来描述客观世界的周期现象，也，是刻画这种现象的重要数学模型。本章是解决实际问题的有利工具，在数学和其他领域中都具有重要的作用。学生将通过单位圆的性质，归纳、学习三角函数、图象及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律问题中的作用。 1. 本单元教学内容的范围 1.1 任意角和弧度制； 1.2 任意角的三角函数； 1.3 三角函数的诱导公式； 1.4三角函数的图象与性质； 1.5 函数 y = Asin(ωx+φ) 的图象； 1.6 三角函数模型的应用 本章知识结构如下: 2．本单元教学内容在模块体系中的地位与作用 本单元学习的主要内容是三角函数的定义、图象、性质及应用。 “三角函数”、“三角恒等变换”和“解三角形”构成高中“三角”知识的主 体。“三角”部分的知识是基础知识和工具性知识，三角函数是基本初等函数，学习三角函数是对函数模型的丰富、函数概念的深化。 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，是高中函数知识的重要组成部分，在数学和其他领域中具有重要的作用。在本单元中，学生将通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 3．本单元教学内容的特点 （1） 突出单位圆与三角函数的密切关系，体现数形结合思想的重要作用。 （2） 通过信息技术的使用，增强了对三角函数图象的直观性认识。 （3） 重视三角函数的应用，体现数学的应用价值。 （4） 提供积极思考、自主探索的空间，使学生主动地学习 。 4．本单元教学内容总体教学目标 （1） 任意角和弧度制 了解任意角的概念。 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化。 （2） 任意角的三角函数 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 理解同角三角函数的基本关系式： 1cos sin 22=+x x ，x x x tan cos sin = （3） 三角函数的诱导公式 能利用单位圆中的三角函数线推导出 απ±2，απ± 的正弦、余弦、正切 的诱导公式。 （4） 三角函数的图像和性质 能画出 x y sin =，x y cos =，x y tan = 的图像，了解三角函数的周期性。 借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π，正切函数在区间 《锐角三角函数》教案 教学目标 1．知识与技能： （1）经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切正弦、余弦的意义和与现实生活的联系． （2）能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度（坡比）等． （3）能够根据直角三角形的边角关系，用正切、正弦、余弦进行简单的计算． 2．过程与方法： 体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题． 3．情感态度与价值观： 进一步锻炼学生用数学的观点来解释身边的事物，形成良好的数学思维习惯和思维品质． 教学重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系． 教学难点 理解正切、正弦、余弦的意义，并用它来表示两边的比． 教学过程 第一环节创设问题情境 活动内容：观察梯子的倾斜程度 梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的？为了描述梯子的这种倾斜程度，先给大家介绍三个简单的概念：倾斜角，铅垂高，水平宽．1．图1—1和图1—2中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你是如何判断的？ 2．图1—3中，这里摆放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡一些吗？你又是如何判断的？ 对于图1—3，学生可能难于下手，这时老师可以借助几何画板的动态演示，引导学生比较对边与邻边的比值，即比较表一中的1t 与2t 大小，当12t t >、12t t <、12t t 时，借助几何画板直观的验证梯子的倾斜程度，以突破学生认识上的障碍．（为了方便研究，表格中的数据精确到十分位）． 活动目的：先让学生从图1-1和图1-2中直观感受梯子的倾斜程度，再让学生理性思考该如何寻找方法判断图1-3中梯子的倾斜程度．这样学生会感到知识上的匮乏，从而对数学产生好奇心和求知欲．让他们从实例中体会不同情况下比较梯子的倾斜程度只靠直观感受是不够的，还需要其他方法——用边的比进行比较． 第二环节 探求新知 活动内容1：在小明家的墙角处放有一架较长的梯子，墙很高，又没有足够长的尺来测量，你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢？ 图1— 1 图1—2 图1— 3 表 1 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 第一章三角函数 1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角. 2.能在0o到360o范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角. 3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合. 一、自主学习 （预习教材P2~ P5，找出疑惑之处） 体操跳水比赛中有“转体720o”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720o在这里表示什么？ 二、新课导学 ※释疑解难 问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？ 问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？ （2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？ 问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念） 问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？ 210o-150o-660o 问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同. 问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60o角的终边相同的角的集合吗？ ※合作探究 例1：在0o到360o的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： （1）650o（2）-150o（3）-990o151 （1）终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x轴上呢？变式训练： （2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？ 例2:若α与240o角的终边相同 （1）写出终边与α的终边关于直线y=x对称的角β的集合. （2）判断2 α是第几象限角. 变式训练：若α是第三象限角，则-α， 2α，2α分别是第几象限角. 例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）. 变式训练： （1）第一象限角的范围 （2）第二、四象限角的范围是 ______________. ※ 巩固训练 1.已知A={第一象限角}，B={锐角}， C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ） A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ?C D ．A=B=C 2.下列结论正确的是（ ） A.三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同 D ． { }Z k k ∈±?=,90360| αα = x 第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2 初中数学 三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3 4 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α= =。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。 :i h l =h l α 本章复习与小结（1课时） 教学目标： 知识与技能 （1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的解题方法，形成较好的能力。 过程与方法 三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。 情感态度与价值观 通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为洋浦的开发建设贡献力量。 二、教学重、难点 重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质 难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用 三、学法与教学用具 师生共同整理本章的知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。 教学用具：投影仪、三角板 四、教学思路 【知识的初步整合】 【知识的概括与引申】 1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。 2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另一种三角函数值。 23.1锐角的三角函数 1. 锐角的三角函数 第一课时正切 教学目标 ◆知识与技能 1.初步了解角度与数值的一一对应的函数关系。 2.会求直角三角形中某个锐角的正切值。 3.了解坡度的有关概念。 ◆过程与方法 让学生经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法，培养学生理性思维习惯，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。 ◆情感态度 通过探究活动激发学生学习的积极性和主动性，引导学生自主探索，合作交流，培养学生的创新意识。 教学重点： 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。 教学难点： 锐角三角函数的概念的理解。 教学准备 多媒体课件制作 教学设计 一、导入新课 导语：因为这座桥的设计让它成为了旅游新热点，火起来的原因不是因为怪异的设计或者美不胜收的景色，而是大家都很好奇这个桥的坡度到底有多陡？陡峭堪比过山车！ 不少人给这座桥赋予了极不靠谱的数据，实际上这个坡的斜率仅为6.1%，如果按咱们口头常用单位来讲还不足4度。 大家看到这个图片后一定很吃惊，那我们要想了解这副图的背景故事，我们就要来学习这里出现的数据6.1%和4度代表了什么? （导入课题锐角三角函数） 二、推进新课 1．交流合作 【问题1】在图23－2中有两个直角三角形，直角边AC与A 1C 1 表示水平面，斜 边AB与A 1B 1 分别表示两个不同的坡面，哪个更陡？你是怎么判断的？ 学生可由水平长度相等，铅直高度不同进行判断． 【问题2】当水平长度和铅直高度都不相等时，类似的在图23－3中，坡面AB 与A 1B 1 哪个更陡？你又是如何判断呢？ 人教版高中数学三角函数 全部教案 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020 三角函数 第一教时 教材：角的概念的推广 目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角” “终边相同的角”的含义。 过程：一、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义 的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。 二、角的概念的推广 1．回忆：初中是任何定义角的（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2．讲解：“旋转”形成角（P4） 突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边” “始边”往往合于x轴正半轴 3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。 记法：角α或α ∠可以简记成α 4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。 1角有正负之分如：=210=150=660 2角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080） 3还有零角一条射线，没有旋转 三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：是第Ⅰ象限角30060是第Ⅳ象限角 5851180是第Ⅲ象限角2000是第Ⅱ象限角等 四、关于终边相同的角 1．观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同 2．终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与) k∈个周角的和 k (Z 390=30+360)1 k (= 330=30360)1 (= k = (- k30=30+0×360)0 第一课时任意角的三角函数的定义 知识与技能： 1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 过程与方法： 1理解并掌握任意角的三角函数的定义； 2树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； 3通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 情感态度与价值观： 1使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式 2学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象限内的符号以及诱导公式一 教学难点：任意角三角函数的定义． 一．复习引入 思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？ ——————————————第 1 页（共6页）—————————————— ——————————————第 2 页 （共 6页）—————————————— 结论：在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦， 余弦，正切依次为：,,a b a sinA cosA tanA c c b === 锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数 思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合 ,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b . 则sin MP b OP r α= =; cos OM a OP r α= =; tan MP b OM a α==. 思考2：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么? 根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点P 的位置的改变而改变大小. 我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM a α==. 单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,圆. 上述P 点就是α的终边与单位圆的交点, 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 二新课讲授 1.任意角的三角函数的定义 结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数. 6.1锐角三角函数⑴教学设计 一.教学目标： 1.知识与技能： 了解三角函数的概念，理解正弦、余弦、正切的概念； 掌握在直角三角形之中，锐角三角函数与两边之比的对应关系； 掌握锐角三角函数的概念并会求一个锐角的三角函数值. 2.过程与方法： ⑴ 通过经历三角函数概念的形成过程,丰富学生的数学活动经验； ⑵ 渗透数形结合的数学思想方法. 3.情感态度与价值观： ⑴ 让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历； ⑵ 培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神. 二.重点、难点： 重点：锐角三角函数的概念. 难点：锐角三角函数概念的形成. 三.教学过程： （一）、创设情境，激趣设疑 通过创设“生活中测量塔的高度、山坡上修建的扬水站需要的水管 ”的情境，让学生思考利用直角三角形的边角关系能否求物体的高度和长度. 设计意图：从生活中的实例出发，设置疑问，激发学生的求知欲. （二）、合作探究，引出新知 1．实践：已知一个45°的∠A ，在角的一边上任意取一点B ，作BC ⊥AC 于点C.量出BC ，AB 的长度（精确到1毫米）.计算AB BC 的值（结果保留2个有效数字），并将所得的结果与你同伴所得的结果进行比较. 设计意图：通过动手操作、合作、交流，直观感知比值AB BC 非常接近，大小和点B 的位置无关，并由此猜想比值是个定值。在活动的过程中，教给学生探 究的常用方法：观察、测量、比较、归纳、猜想等，有效培养学生的探究能力，丰富学生的数学活动经验。同时学生的实践活动，让他们经历了三角函数的概念的初步形成过程. 教师引导学生验证:对于给定一锐角α，比值AB BC 是一定值. ① 利用相似三角形的性质，说明“对于每一个确定的锐角α，在角的一边上任取一点B,作BC ⊥AC 于点C,比值AB BC 都是一个确定的值,与点B 在角的边上的位置无关”. ② 出示几何画板，演示对应于不同大小的角度，总有相应的比值AB BC ，让学生直观感知比值AB BC 与角度的对应. 设计意图：利用相似三角形对应边成比例的性质,验证第一环节的猜想是正 确的,即:当角度确定时,比值AB BC 是个定值.同时利用几何画板的直观演示,让学生 进一步感知:对应于每一个不同的角度, AB BC 都会有一个确定的值.至此，锐角三角函数的概念已是呼之欲出. 教师引导学生发现当锐角α确定时,AB AC ,AC BC 的比值也是定值,并说明理由. 设计意图： 先给出比值AB BC 是定值的验证，然后类比2的验证过程得出另两个比值也是定值，这样的设计可以降低难度，并渗透“类比”的数学思想方法和探究方法. 4.新知应用、变式1、变式2于学生掌握新知，为本节课的后续学习打下基础。 5.教师引导学生说出锐角α与AB BC ,AB AC ,AC BC 九年级数学教案 第二十八章锐角三角函数 教材分析： 本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。 本章内容与已学"相似三角形""勾股定理"等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。 学情分析： 锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号 sinA 、 cosA 、 tanA 表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。 28．1 锐角三角函数（1） 第一课时 教学目标： 知识与技能： 1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 2、能根据正弦概念正确进行计算 3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。 过程与方法： 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力． 情感态度与价值观： 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 重难点： 1．重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 2．难点与关键：难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实． 教学过程： 一、复习旧知、引入新课 【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片） 小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。第28章_锐角三角函数全章教案
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