【试卷版】专题04《一次函数》(北师大版)
专题04 《一次函数》
1．函数：一般地,在某个变化过程中,有两个变量x 和y,如果给定一个x 的值,相应地就确定了一个y 的值,那么我们称y 是x 的函数,其中x 是自变量,y 是因变量. 2．函数的三种表示方法:列表法、表达式法、图象法. 3．画函数图象的一般步骤:（1）列表，（2）描点，（3）连线.
4．一次函数：若两个变量x,y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k 、b 为常数，k ≠0）的形式,则称y 是x 的一次函数. 当两个变量x,y 满足表达式y=kx(k ≠0),则称y 是x 的正比例函数. 5．一次函数图象及画法
（1）一次函数y=kx+b 的图象是一条直线，这条直线经过(0,b).画一次函数的图象只要确定满足表达式y=kx+b 的两个简单的点即可.
(2)正比例函数y=kx 的图象是一条经过(0,0)和(1,k)点的直线. 6．一次函数的性质: 在一次函数y=kx+b 中,
（1）当k>0时，y 的值随x 值的增大而增大； （2）当k<0时，y 的值随x 值的增大而减小. 补充性质：
（3）当k>0，b>0时，直线y=kx+b 经过一、二、三象限；当k>0，b<0时，直线y=kx+b 经过二、三、四象限；当k<0，>0时，直线y=kx+b 经过一、二、四象限；当k<0，b<0时，直线y=kx+b 经过二、三、四象限.
7．一次函数y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点坐标： （1）与x 轴的交点坐标为(-
k
b
,0);(2)与y 轴的交点坐标(0,b). 8．一次函数y=kx+b 与一元一次方程kx+b=0之间的关系.
一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交点的横坐标的对应值即为一元一次方程kx+b=0的根. 9．一次数图象的应用
利用函数图象解决简单的实际问题，从中体会方程与函数的关系． 二、易混、易忽视概念
1．函数的两个变量之间的对应关系，不能说某一个量是函数.如：在路程、速度和时间关系中，只有当速度
一定时，路程是时间的函数，不能笼统地说路程是函数.
2．注意区分一次函数和正比函数，正比例函数是一次函数，是一次函数的特殊形式.不能说一次函数是正比例函数.
3．在y=kx+b中一定要强调k≠0,k,b为常数时,y才是x的一次函数,否则,y就不一定是x的一定函数. 4．函数y=kx+b(k≠0,k,b为常数)在x取任意数时,它的图象是一条直线,注意当x在某个范围内取值时,函数的图象可能是线段、射线.
考点1：函数图象
例1（2020陕西）变量x，y的一些对应值如下表：
根据表格中的数据规律，当x=-5时，y的值是（）
A．75 B．-75 C．125 D．-125
【答案】D.
【解析】根据表格数据得到函数y=x3，把x=﹣5代入求得即可，
解：根据表格数据画出图象如图：
由图象可知，函数的解析式为：y=x3，
把x=﹣5代入得，x=﹣125，
故选：D.
【名师点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征，图象上的点适合解析式，根据表格数据得到函数的解析式是解题的关键.
考点2：确定函数自变量的取值范围
例2(2020丹东)在函数中，自变量x的取值范围是（）
A. x≤3
B.x=3
C.x≥3
D. x>3
答案：A. 【答案】A.
【解析】根据二次根式的性质，可得被开方数大于等于0，解不等式即可得到x 的取值范围. 解：根据题意得：9﹣3x ≥0， 解得：x ≤3. 故选：A.
【名师点睛】本题考查的是函数自变量取值范围的求法，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整数时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达是分数时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达是二次根式时，被开方数非负. 考点3：正比例函数的定义
例3（2020眉山模拟）若函数||
(1)m y m x =-是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限 ． 【答案】二、四．
【解析】根据正比例函数的定义可得，|m |=1，且m – 1≠0，计算出m 的值，然后可得函数解析式，再根据正比例函数的性质可得答案．
解：由题意得，|m |=1，且m – 1≠0，解得，m= – 1， 函数解析式为：y= – 2x ， ∵k= – 2＜0，
∴该函数的图象经过第二、四象限． 故答案为：二、四．
【名师点睛】此题主要考查了正比例函数的定义和性质，关键是掌握：当k ＞0时，图象经过一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，图象经过二、四象限，y 随x 的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k |越大.
考点4：一次函数的图象
例4（2020济南）若<﹣2，则一次函数y=（m+1）x+1-m 的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D ．
【解析】由m<﹣2得出m+1<0，1-m>0，进而利用一次函数的性质解答即可. 解：∵m<﹣2，
∴m+1<0，1-m>0，
所以一次函数y=（m+1）x+1-m的图象经过一，二，四象限，
故选：D.
【名师点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系. 解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k，b的符号有直接的关系. k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限. b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交.
考点5：一次函数图象的性质
例5（2020镇江）一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，它的图象不经过的象限是（）
A．第一B．第二C．第三D．第四
【答案】D ．
【解析】根据一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，可以得到k>0，与y轴的交点为（0,3），然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限，从而可以解答本题.解：∵一次函数y=kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k>0，该函数过点（0, 3），
∴该函数的图象经过第一、二=三象限，不经过第四象限.
故选：D.
【名师点睛】此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．主要利用了当k＞0时，y 随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
考点6：一次函数图象与几何变换
例6（2020日照）将函数y=2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（）
A. y=2x+3
B. y=2x-3
C. y=2（x+3）
D. y=2（x-3）
【答案】A．
【解析】直接利用一次函数“上甲下减”的平移规律即可得出答案.
解：∵将函数y=2x的图象向上平移3个单位，
∴所得图象的函数表达式为：y=2x+3.
故选：A.
【名师点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
考点7：求一次函数解析式
例7（2020北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点（1, 2）.
（1）求这个一次一次函数的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）y=x+1;（2）m≥2．
【解】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A（1,2）代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）根据点（1,2）结合图象即可求得.
解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象由直线y=x平移得到，
∴k=1，
将点（1,2）代入y=x+b，
得1+b=2，解得b=1，
一次函数的解析式y=x+1
（2）把点（1,2）代入y=mx（m≠0）的值大于一次函数y=x+1的值，
∴m≥2.
【名师点睛】本题考查一次函数和几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键.
考点8：一次函数与一元一次方程
例8（2020济宁模拟）已知关于x的方程mx+3=4的解为x=1，则直线y=（m﹣2）x﹣3一定不经过第______象限．
【答案】一
【解析】关于x的方程mx+3=4的解为x=1，于是得到m+3=4，求得m=1，得到直线y=﹣x﹣3，于是得到结论．
解：∵关于x的方程mx+3=4的解为x=1，
∴m+3=4，∴m=1，
∴直线y=（m ﹣2）x ﹣3为直线y=﹣x ﹣3， ∴直线y=（m ﹣2）x ﹣3一定不经过第一象限， 故答案为：一．
【名师点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，求得m 的值是解题关键． 考点9： 一次函数的应用
例9 （2020牡丹江、鸡西）A ，B 两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C 市，甲车从A 市到B 市，乙车从C 市到A 市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C 市的路程y (单位：千米)与驶的时间t (单位：小时)的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车的速度是________千米/时，在图中括号内填入正确的数；
（2）求图象中线段MN 所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围； （3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C 市的路程之和是460千米.
【答案】（1）60，10；（2）y = 80t －320；（3）甲车出发1
3
小时或9小时时，两车距C 市的路程之和是460千米．
【解析】（1）由图象分析可得甲车行驶480km480km 用时为8小时，即可求解其速度，进而乙车速度也可知，则图中括号内的数字也可求解； （2）利用待定系数法即可求解；
（3）分析整个运动过程，分三种情况进行讨论，分别求出对应的t 即可求解．
（1）由图象可知甲车在t=8时行驶到C 市，此时行驶的路程为480km ，故速度为60km/h ， ∴乙车的行驶速度为80km/h ， ∴乙车由C 市到A 市需行驶6h ， ∴图中括号内的数为：4+6=10， 故答案为：60，10；
y /千米 O 480
4
8
( ) t /小时
M
E
F
N
一、选择题（每小题3分,共计30分）
1．（2020湖州模拟）下列函数中，是一次函数的是（ ） A ．y =
3x B ．y =x 2+3 C ．y =3x －1 D ．y =1
1
x - 2．（2020荆州一模）下列函数中，不是正比例函数的是( ) A ．(0)x
y k k
=
> B ．y = kx （k <0） C ．y = kx （k ＞0） D ．y =3x 2?x （x +3）
3．（2020烟台模拟）一次函数y =
2
3
x +2中，当x = 9时，y 值为（ ） A ．－4 B ．－2 C ．6 D ．8
4．如果点P (－1，3)在过原点的一条直线上，那么这条直线是（ ） A ．y =－3x B ．y =
1
3
x C ．y =3x －1 D ．y =1－3x 5．（2020桂林一模）当x 逐渐增大，y 反而减小的函数是（ ） A ．y =x B ．y =0．001x C ．y =
1
3
D ．y =－5x 6．（2020广州期中）如图1,函数y=－mx （m>0）的图象是( )
7．（2020广西一模）一次函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限，则( ) A ．k>0，b>0 B ．k>0，b<0 C ．k<0，b>0
D ．k<0，b<0
8．（2020鄂州一模）已知变量y 与x 之间的函数关系的图象如图 2，它的解析式是( )
A ．)30(2
32≤≤+
-=x x y B ．223
+-=x y C ．)30(223≤≤+-
=x x y D ．23
2
+-=x y 9．（2020荆州模拟）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 图2描述了他上学的情景，下列说法中错误．．
的是( )
A ．修车时间为15分钟
B ．学校离家的距离为2000米
C ．到达学校时共用时间20分钟
D ．自行车发生故障时离家距离为1000米
10．若函数y =2x +3与y =3x －2b 的图象交x 轴于同一点，则b 的值为( ) A ．－3
B ．－
2
3
C ．9
D ．－
4
9
二、填空题（每空3分，共30分）
图2
11．（2020天门一中模拟）已知一次函数y =kx +5过点P (－1，2)，则k =______；函数y 随自变量x 的增大而_____．
12．（2020襄阳模拟）已知一次函数y =2x +4的图象经过点(m ，8)，则m =_____．
13．（2020宜昌模拟）已知y 与x +1成正比例，当x =5时，y =12，则y 关于x 的函数解析式是____． 14．某林场现有森林面积为1560平方千米，计划今后每年增加160平方千米的树林，那么森林面积y （平方千米）与年数x 的函数关系式为______，6年后林场的森林面积为______．
15．（2020随州模拟）用5G 手机从武汉向北京打长途电话，设通话时间x (分)，需付电话费y (元)，通话3分以内话费为3．6元．请你根据如图4所示的y 随x 的变化的图象，找出通话5分钟需付电话费____元．
16．已知矩形的周长为40cm ，设其中一边长为xcm ，面积为2Scm ，则S 关于x 的函数关系式为_______，自变量x 的取值范围是_____．
17．（2020深圳一模）若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，则=k ______． 18．（2020合肥模拟）已知一次函数3
2
1
+-
=x y 与m x y -=2交于点（2，n ），则=+n m ______． 19．（2020深圳模拟）如图5，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 ．
20．将直线y ＝2x 向右平移2个单位所得的直线的解析式是_________． 三、解答题（共60分）
21．（6分）（2020广西模拟）如图6，下面有三个关系式和三个图象，哪一个关系式与哪一个图象能够表示同一个一次函数？
图4
O 图5
x
y 1 P y=x+b
y=ax+3
（1）y =1?x 2； （2）a +b =3； （3）s =2t ．
22．（6分）（2020长沙模拟）已知y 是x 的一次函数 (1)根据下表写出函数表达式； (2)补全下表
x 1
3 4 9 31 y
1
5
23．（6分）（2020广州一模）作出函数y =1－x 的图象，并回答下列问题． (1)随着x 值的增加，y 值的变化情况是_________；
(2)图象与y 轴的交点坐标是_________，与x 轴的交点坐标是_________； (3)当x _________时，y ≥0．
24．（8分）（2020鄂州一中模拟）小明和小亮进行百米赛跑，小明比小亮跑得快．如果两人同时起步，小明肯定赢．现在小明让小亮先跑若干米．如图7中l 1，l 2分别表示两人的路程与小明追赶时间的关系．
(1)哪条线表示小明的路程与时间的关系？ (2)小明让小亮先跑了多少米？ (3)谁将赢得这场比赛？
25．（8分）（2020湖州模拟）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书
图6
图7
图9
60
40
40
150
30
单位：cm
A
B B
卡，使用这两种卡租书，租书金额y (元)与租书时间x (天)之间的关系如图8所示．
(1)分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y (元)与租书时间x (天)之间的函数关系式． (2)两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？(x ≤100)
26．（8分）（2020郑州模拟）有一批货，如果月初出售，可获利1000元，并可将本利和再去投资，到月末获利1.5%；如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费．
（1）请表示出这批货物的成本a （元）与月初出售到月末的获利额p （元）之间的关系； （2）请问这批货在月初还是月末售出好？
27．（8分）（2020洪湖一模）我市粮食储备中心为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗霉功能的A 、B 两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A 库的容量为70吨，B 库的容量为110吨。从甲、乙两库到A 、B 两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
甲库乙库甲库乙库A库
20151212B库
2520
108路程（千米)运费（元/吨·千米）
（1）若甲库运往A 库粮食x 吨，请写出将粮食运往A 、B 两库的总运费y （元）与x （吨）的函数关系式 （2）当甲、乙两库各运往A 、B 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
28．（10分）（2020黄冈一模）某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm ．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图9是裁法一的裁剪示意图）
裁法一 裁法二 裁法三
A 型板材块数 1 2 0
B 型板材块数
2
m
n
设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用．
（1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；
图8
（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材