七天课堂：初中数学经典例题解析

初中数学经典例题解析

【例１】如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4，

E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为

F ． FE 与DC 的延长线相交于点

G ，连结DE ，DF 。 （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ．

（2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由．

（3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？

解析过程及每步分值

1） 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB DG ············ 1分

图10

M

B D

C E F

G

x A

所以,B GCE G BFE ∠=∠∠=∠

所以BEF CEG △∽△ ························· 3分 （2）BEF CEG △与△的周长之和为定值．················· 4分 理由一：

过点C 作FG 的平行线交直线AB 于H ，

因为GF ⊥AB ，所以四边形FHCG 为矩形．所以 FH ＝CG ，FG ＝CH 因此，BEF CEG △与△的周长之和等于BC ＋CH ＋BH

由 BC ＝10，AB ＝5，AM ＝4，可得CH ＝8，BH ＝6，

所以BC ＋CH ＋BH ＝24 ·························· 6分 理由二：

由AB ＝5，AM ＝4，可知

在Rt△BEF 与Rt△GCE 中，有：

4343

,,,5555

EF BE BF BE GE EC GC CE ====，

所以，△BEF 的周长是125BE ， △ECG 的周长是12

5

CE 又BE ＋CE ＝10，因此BEF CEG 与的周长之和是24． ··········· 6分

（3）设BE ＝x ，则43

,(10)55

EF x GC x ==- 所以21143622

[(10)5]2255255

y EF DG x x x x ==-+=-

- ········· 8分 配方得：2655121()2566y x =--+． 所以，当55

6x =时，y 有最大值． ····················· 9分

最大值为121

6

． ······························ 10分

A M x

H G

F

E

D C

B

【例２】如图二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A B C且OA＝

1 OB＝OC＝3 ．

（1）求此二次函数的解析式．

（2）写出顶点坐标和对称轴方程．

（3）点M N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边) 且MN∥x轴求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．

解析过程及每步分值

（1）依题意(10)(30)(03)A B C --，，，，，分别代入2y ax bx c =++

········ 1分 解方程组得所求解析式为223y x x =-- ··················· 4分 （2）2223(1)4y x x x =--=-- ······················ 5分

∴顶点坐标(14)-，

，对称轴1x = ······················ 7分 （3）设圆半径为r ，当MN 在x 轴下方时，N 点坐标为(1)r r +-， ········ 8分

把N 点代入223y x x =--得r =·················· 9分

同理可得另一种情形r =

∴ 10分

【例3】已知两个关于x 的二次函数1y 与当x k =时，217y =；且二次函数2y 的

图象的对称轴是直222112()2(0)612y y a x k k y y x x =-+>+=++，，线1x =-． （1）求k 的值；

（2）求函数12y y ，的表达式；

（3）在同一直角坐标系内，问函数1y 的图象与2y 的图象是否有交点？请说明理由.

解析过程及每步分值

（1）由22112()2612y a x k y y x x =-++=++，

得22222121()612()2610()y y y y x x a x k x x a x k =+-=++---=++--． 又因为当x k =时，217y =，即2

61017k k ++=， 解得11k =，或27k =-（舍去），故k 的值为1．

（2）由1k =，得2222610(1)(1)(26)10y x x a x a x a x a =++--=-+++-， 所以函数2y 的图象的对称轴为26

2(1)

a x a +=-

-，

于是，有26

12(1)

a a +-

=--，解得1a =-，

所以2212212411y x x y x x =-++=++，．

（3）由21(1)2y x =--+，得函数1y 的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1

2)，； 由22224112(1)9y x x x =++=++，得函数2y 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标

为(1

9)-，； 故在同一直角坐标系内，函数1y 的图象与2y 的图象没有交点．

【例4】如图,抛物线24y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB

所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. （1）求点A 的坐标;

（2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标;

（3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S,点P 的横坐标为x,当

46S +≤≤+,求x 的取值范围.

解析过程及每步分值

解：（1）∵4)2(422-+=+=x x x y ∴A(-2,-4)

（2）四边形ABP 1O 为菱形时，P 1(-2,4)

四边形ABOP 2为等腰梯形时，P 1(545

2-，) 四边形ABP 3O 为直角梯形时，P 1(58

54，-)

四边形ABOP 4为直角梯形时，P 1(5

12

56-，)

（3）

由已知条件可求得AB 所在直线的函数关系式是y=-2x-8,所以直线l 的函数关系式是y=-2x

①当点P 在第二象限时，x<0,

△POB 的面积x x S POB 4)2(421

-=-??=? ∵△AOB 的面积8442

1

=??=?AOB

S ， ∴)0(84<+-=+=??x x S S S PO B AO B ∵286264+≤≤+S ， ∴????

?+≤+≥2

862

64S S

即?????+≤+-+≥+-2

868426484x x ∴???

????-≤-≥224122

32S x

∴x 的取值范围是

2

2322241-≤≤-x

②当点P 在第四象限是，x>0,

过点A 、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A ′、P ′ 则四边形POA ′A 的面积

44)2(2

1

)2(224+=??-+?+=

-='?'''x x x x x S S S O P P A A P 梯形P A A PO ∵△AA ′B 的面积4242

1

=??=

'?B A A S ∴)0(84>+=+='?'x x S S S B A A A A PO ∵286264+≤≤+S ，

∴?????+≤+≥286264S S 即?????+≤++≥+2

868426484x x ∴???

?

???-≤-≥2

12422

23S x ∴x 的取值范围是2

1

242223-≤

≤-x

【例4】随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。

某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的

利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润2y 与投资量

x 成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资量的单位：万元）

（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

解析过程及每步分值

解：（1）设1y =kx ,由图①所示，函数1y =kx 的图像过（1，2），所以2=1?k ，2=k 故利润1y 关于投资量x 的函数关系式是1y =x 2；

因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =2

ax ，由图12-②所示，函数2y =2

ax 的图像过（2，2），

所以2

22?=a ，2

1=

a 故利润2y 关于投资量x 的函数关系式是2

2

1x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉x 万元（80≤≤x ），

则投入种植树木（x -8）万元，他获得的利润是z 万元，根据题意，得

z =)8(2x -+221x =162212+-x x =14)2(2

1

2+-x

当2=x 时，z 的最小值是14；

因为80≤≤x ，所以622≤-≤-x

所以36)2(2≤-x

所以18)2(21

2≤-x 所以32141814)2(2

12

=+≤+-x ，即32≤z ，此时8=x

当8=x 时，z 的最大值是32.

【例5】如图，已知(4,0)

B，现以A点为位似中心，相似比为9:4，

A ，(0,4)

将OB向右侧放大，B点的对应点为C．

（1）求C点坐标及直线BC的解析式;

（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所

有满足到直线AB距离为P．

解析过程及每步分值

解:（1）过C 点向x 轴作垂线，垂足为D ，由位似图形性质可知：

△ABO∽△ACD， ∴

4

9

AO BO AD CD ==． 由已知(4,0)A -，(0,4)B 可知： 4,4AO BO ==． ∴9AD CD ==．∴C 点坐标为(5,9)． 直线BC 的解析是为： 40

9450

y x --=-- 化简得： 4y x =+

（2）设抛物线解析式为2

(0)y ax bx c a =++>，由题意得：24925540c a b c b ac =??=++??-=?

，

解得： 111

144a b c =??

=-??=?222125

454a b c ?=??

?=

??

=???

∴解得抛物线解析式为2

144y x x =-+或2214

4255

y x x =

++． 又∵2214

4255

y x x =

++的顶点在x 轴负半轴上，不合题意，故舍去． ∴满足条件的抛物线解析式为2

44y x x =-+ （准确画出函数2

44y x x =-+图象）

（3） 将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交与另一点P ，设P 到 直线AB 的距离为h ， 故P 点应在与直线AB

平行，且相距1l 和2l 上． 由平行线的性质可得：两条平行直线与y 轴的交点到直线BC

的距离也为 如图，设1l 与y 轴交于E 点，过E 作EF⊥BC 于F 点， 在Rt△BEF

中EF h ==45EBF ABO ∠=∠=

， ∴6BE =．∴可以求得直线1l 与y 轴交点坐标为(0,10) 同理可求得直线2l 与y 轴交点坐标为(0,2)- ∴两直线解析式1:10l y x =+；2:2l y x =-．

根据题意列出方程组： ⑴24410y x x y x ?=-+?=+?；⑵244

2y x x y x ?=-+?=-?

∴解得：11616x y =??=?；2219x y =-??=?；33

20x y =??=?；443

1x y =??=?

∴满足条件的点P 有四个，它们分别是1(6,16)P ，2(1,9)P -，3(2,0)P ，4(3,1)P .

【例6】如图，抛物线21:23L y x x =--+交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于M 点.抛物线1L 向

右平移2个单位后得到抛物线2L ，2L 交x 轴于C 、D 两点. （1）求抛物线2L 对应的函数表达式；

（2）抛物线1L 或2L 在x 轴上方的部分是否存在点N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P 是抛物线1L 上的一个动点（P 不与点A 、B 重合），那么点P 关于原点的对称点Q 是否在抛物线2L 上，请说明理由.

解析过程及每步分值