14简单三角恒等变换典型例题
简单三角恒等变换
一、公式体系
1、和差公式及其变形：
（1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±=μ （3）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(μ±=
± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+
)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=-
2、倍角公式的推导及其变形：
（1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+=
?ααα2sin 2
1
cos sin =
?2)cos (sin 2sin 1ααα±=±
（2）ααααααααα2
2
sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+=
)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=?
1
cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα
αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα
2cos 2
2cos 1=+ 【因为α是
2α
的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2
cos 2cos 12α
α=+
因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα
2cos 2
4cos 12=+】
α
ααααα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2
sin 22cos 1=- 或
αα
2sin 2
2cos 1=- 【因为α是
2
α
的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2
sin 2cos 12α
α=-
因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成
αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα
2sin 2
4cos 12=-】
二、基本题型
1、已知某个三角函数，求其他的三角函数：
注意角的关系，如)4
()4(,)(,)(π
βαπ
βααβαβββαα-++=+-+=-+=等等 （1）已知βα,都是锐角，13
5
)cos(,54sin =+=βαα，求βsin 的值
（2）已知,4
0,1312)45sin(,434,53)4
cos(π
ββππαπαπ
<<-=+<<=
-求)sin(βα+的值
2、已知某个三角函数值，求相应的角：只要计算所求角的某个三角函数，再由三角函数值求角，注意选择合适的三角函数
（1）已知βα,都是锐角，10
103cos ,55sin ==βα，求角βα+的弧度
3、)(βα+T 公式的应用
（1）求)32tan 28tan 1(332tan 28tan 0
000+++的值
（2）△ABC 中，角A 、B 满足2)tan 1)(tan 1(=++B A ，求A+B 的弧度
4、弦化切，即已知tan ，求与sin ，cos 相关的式子的值：化为分式，分子分母同时除以αcos 或α2
cos 等 （1）已知2tan =α，求
ααα
αα
ααααα2cos 2sin 3,2cos 2sin 12cos 2sin 1,cos sin 3cos 5sin +-++++-的值
5、切化弦，再通分，再弦合一
（1）、化简：① )10tan 31(50sin 0
+ ② 0
35
sin 10cos )110(tan ?-
（2）、证明：
x x
x x x tan )2
tan tan 1(cos 22sin =+
6、综合应用，注意公式的灵活应用与因式分解结合 化简4cos 2sin 22+-
7、 a,b 型化简
8、降幂公式
1. 已知函数1cos sin 2cos 2)(2
++-=x x x x f ，(R x ∈)．
（1）求函数 ()f x 的最小正周期；（2）求函数 ()f x 的最大值，并求此时自变量x 的集合．
2. 已知函数()2sin()cos f x x x π=-.
（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,62ππ??
-
????
上的最大值和最小值.
3.已知函数2()1cos 2cos f x x x x =-++
（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调减区间.
4.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．
（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84
??????
，上的最小值和最大值．
5.设函数.cos cos sin 3)(2m x x x x f ++=
（1）写出函数的最小正周期及单调递增区间； （2）若]3
,6[π
π-
∈x 时，函数()f x 的最小值为72，求此时()f x 的最大值，并指出x 为何值时，()f x 取得最大值.
6.已知函数).,(2cos )6
2sin()6
2sin()(为常数a R a a x x x x f ∈++-
++
=π
π
（1）求函数的最小正周期；（2）若.,2)(,]2
,0[的值求的最小值为时a x f x -∈π
7．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2+-=
（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数?
?
????∈32,245)(ππx x f 在的值域. （3）对称轴和对称点
巩固练习
1、sin 20cos 40cos 20sin 40+o
o
o
o
的值等于（ ）
11
2、若tan 3α=，4
tan 3
β=
，则tan()αβ-等于（ ） A .3- B .3 C .13- D .1
3
3、cos
5
π
cos
5
2π的值等于（ ）
A ．
41 B ．
2
1 C ．
2 D ．4
4、 已知02A π
<<
，且3
cos 5
A =
，那么sin 2A 等于（ ）
A .425
B .725
C .1225
D .2425
5、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4
tan(π
α+的值等于 （ ）
A ．1813 B.223 C.2213 D.18
3
6、sin165o= （ ） A ．
21
B ．23
C ．426+
D ．
4
2
6- 7、sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（ ）
A ．
23 B ．21 C ．23 D ．2
1
- 8、已知(,0)2
x π
∈-，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ） A ．
247 B ．247- C ．724 D ．7
24- 9、化简2sin （
4π－x ）·sin （4
π
+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 10、sin
12π—3cos 12
π
的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ．
2 D ． 2 sin
12
5π
11、
)( 75tan 75tan 12的值为?
?
-
A ．32
B ．332
C ． 32-
D ．3
3
2-