基于MATLAB的二阶系统分析

基于MATLAB 的二阶系统分析

凡是以二阶微分方程描述运动方程的控制系统，称为二阶系统。在控制工程中，不仅二阶系统的典型应用极为普遍，而且不少高阶系统的特性在一定条件下可用二阶系统的特性来表征。因此，着重研究二阶系统的分析和计算方法，具有较大的实际意义。 1. 典型二阶系统的暂态分析

典型二阶系统的暂态分析是从时域方面对二阶系统进行分析。时域分析具有非常直观的分析效果，例如：给系统输入端加上阶跃信号观察系统的输出状况即二级系统的单位阶跃响应，能够很直观、很全面的对所研究的二阶系统作出全面了解。但在计算机尚未普及之前，对二阶系统单位阶跃响应曲线的绘制全依赖于人们的手工描绘，所以，对简单的、低阶系统尚能用时域法进行分析，但对于高阶系统的单位阶跃响应曲线就很难依赖手工绘制。因此，这位系统的暂态分析提出了很大挑战。然而，随着计算机技术的发展，用计算机设计的控制系统的计算机辅助设计软件层出不穷，这为控制系统的暂态分析提供了方便。因此，基于MATLAB 的二阶系统分析，就是利用现在在控制系统分析、系统仿真等领域中应用非常广泛的MATLAB 语言作为分析工具。

1.1典型二阶系统的数学模型分析

在研究典型的二阶系统时常用的数学模型有：

)()()(2)(2

22

t r t c dt t dc T dt

t c d T =++ξ （1）

2

2

2222121

)()()(n

n n s s Ts s T s R s C s ωξωωξ++=++==Φ （2） 其中，ξ为系统的阻尼比，n ω为无阻尼自然震荡频率。 公式（1）是对二阶系统的微分方程描述，公式（2）是对二阶系统的传递函数描述。

1.2典型二阶系统的单位阶跃响应

典型二阶系统的特征方程为：

02)(2

2=++=n n s s s D ωξω （3）

特征根为：n n s ωξξω122,1-±-= （4）

由公式（4）可以看出，特征根的分布主要取决于系统的阻尼比ξ。而系统在零初始条件下，典型二阶系统的单位阶跃响应：

s

s s s s s C n n n 1

21)()(2

2

2

ωξωω++=Φ= （5） 单位阶跃响应的特征主要取决于特征根的分布，当s rad n 1=ω时，取不同的阻尼比ξ时的到得阶跃响应曲线如下所示：

2

4

6

8

10

12

图1不同阻尼比下的阶跃响应

因此，根据系统的阻尼比ξ的不同，把二阶系统分为几种不同的状态如下：

1.2.1 1=ξ，临界阻尼状态分析

当1=ξ时，特征根为重负实根n s ω-=2,1，系统的单位阶跃响应曲线如下图所示：

0510********

0.10.20.30.40.50.6

0.70.80.9

1Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图2二阶系统临界阻尼状态

由临界阻尼状态下系统的单位阶跃响应曲线可看出，当0=t 时，响应过程的变化率为零；当0>t 时，响应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当∞→t 时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常数1。

1.2.2 1>ξ，过阻尼状态分析

当1>ξ时，特征根为两个不相等的负实根，系统的单位阶跃响应曲线如下所示：

0510********

0.10.20.30.40.50.6

0.70.80.9

1Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图3 二阶系统过阻尼状态

由过阻尼状态下系统的单位阶跃响应曲线可看出，系统的单位阶跃响应与临界阻尼状态相似，但响应速度比临界阻尼状态缓慢。 1.2.3 10<<ξ，欠阻尼状态分析

当10<<ξ时，特征根为一对共轭复数22,11ξωξω-±-=n n j s ，系统的单位阶跃响应曲线如下所示：

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图4二阶系统欠阻尼状态

由欠阻尼状态下系统的单位阶跃响应曲线可以看出，欠阻尼状态下的响应曲线有两个特征：衰减振荡和振荡频率不变。

由于二阶系统的欠阻尼状态在工程实践中具有广泛应用，因此，对二阶系统的欠阻尼状态的暂态性能指标做如下论述：

对公式（5）作拉普拉斯逆变换的单位阶跃响应为：

)sin(11)(12

?ωξ

σ+--

=-t e t c d t （6）

其中21ξωω-=n d （7）

d ω称为有阻尼振荡频率。

①上升时间r t

对于欠阻尼系统来说当系统第一次到达稳态值时所用的时间即为上升时间。所以，有1)(=t c 结合公式（6）得：

n

r t ω?

π-=

（8） 由公式（8）值知，在ξ一定时，上升时间r t 与有阻尼振荡频率d

ω成反比。

②超调时间p t

超调时间p t 为系统从初始时刻到达到最大值时的时间，所以只需对公式（6）进行求导使导数为零得p t 为：

d

p t ωπ

=

（9） 由p t 的计算公式知p t 只与d ω有关且成反比。 ③超调量%p δ

由计算超调时间时可知%p δ为：

%100*%2

1ξξπ

δ--

=e

p （10）

由%p δ的计算公式知%p δ只与ξ有关。 ④调节时间s t

调节时间s t 与调节精度有关因此有： 当2=?时T t n

s 44

==ξω （11）

当5=?时T t n

s 33

==

ξω （12）

对欠阻尼状态下各性能指标在单位阶跃响应曲线中的位置如下图所示：

Time (sec)

A m p l i t u d e

0510********

图5欠阻尼状态下暂态性能指标

1.2.4 0=ξ，无阻尼状态分析

当0=ξ时，特征根为一对纯虚数n j s ω±=2,1，系统的单位阶跃响应曲线如下所示：

0510********

0.20.40.60.811.2

1.41.61.8

2Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

图5二阶系统无阻尼状态

由无阻尼状态下系统的单位阶跃响应曲线可看出，单位阶跃响应为等幅振荡，此时系统处于临界稳定状态。 2. 典型二阶系统的根轨迹分析

控制系统的闭环极点在复平面上随系统参数变化的轨迹称为控制系统的根轨迹。以根轨迹放大系数k 为参变量的根轨迹称为常义根轨迹。现以常义根轨迹来分析欠阻尼系统如下：

通过根轨迹放大系数k 的变化，通过MATLAB 作图，可以很容易的看出欠阻尼系统的闭环极点在复平面上随系统参数变化，通过观察欠阻尼系统的闭环极点在复平面的根轨迹变化可以很容易判断出系统的稳定性。

若控制系统的闭环传递函数为：11

)(2++=

Φs s s （13）

则该系统的开环传递函数为：s

s s G +=21

)( （14）

得该系统的根轨迹如下图所示：

Root Locus

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

图6根轨迹曲线

由上图的根轨迹曲线可以看出随着开环放大系数k 的变化，系统的根轨迹始终都在复平面虚轴的左侧，系统稳定，这与暂态分系统中由单位阶跃响应曲线中的到的结论一致。 3. 典型二阶系统的频域分析

前面的时域分析法和根轨迹分析法在低阶系统中尚能灵活应用，担当系统是高阶系统时，系统的微分方程求解和根轨迹绘制都变得非常困难。

因此，在经典控制理论中还用频域分析法对控制系统的稳定性和稳定裕度进行分析。所以，以下还是用以上的欠阻尼系统应用频域分析法对其分析如下：

首先，利用MATLAB 绘制欠阻尼系统的奈奎斯特曲线，再由奈奎斯特判据判断其稳定性如下所示：

Nyquist Diagram

Real Axis

I m a g i n a r y A x i s

图7奈奎斯特曲线

由欠阻尼系统的奈奎斯特曲线可以看出z=0即闭环极点位于右半平面极点的个数为灵。所以，系统稳定，与以上两种方法判断结果一致。

利用奈奎斯特曲线和奈奎斯特判据仅能判断出系统是否稳定，要想进一步知道稳定裕度还要用伯德图进行判定。

所以，以下是用伯德图法对欠阻尼系统进行分析，从伯德图中读出系统的幅值裕度相位裕度。

二阶欠阻尼系统的伯德图如下图所示：

M a g n i t u d e (d B )10

-2

10

-1

10

10

1

10

2

P h a s e (d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

图8二阶欠阻尼系统的伯德图

二阶欠阻尼系统的伯德图中可以看出该系统对数幅频特性的低频段是0dB/dec 的水平线，大约在=ω 2.9处出现拐点，此后ω趋向正到无穷时，L(ω)=0,πω?-=)(。所以系统稳定，与以上判定一致。

通过以上几种方法分析可知，无论用哪种方法进行分析，对同一系统来说其结果都是一致的，且各种分析方法都有其各自的优点。