2019年山东临沂中考数学试题(解析版)

山东省临沂市二〇一九年初中学业水平考试

考试时间：120分钟 满分：120分

{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 14小题，每小题3分，共42分． {题目}1．（2019年山东临沂T1）|－2019|＝（ ）

A ．2019

B ．－2019

C ．12019

D ．－1

2019

{答案}A

{解析}本题考查了绝对值的概念，一个负数的绝对值是它的相反数，因此|－2019|＝2019． {分值}3

{章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:绝对值的意义} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:1-最简单}

{题目}2．（2019年山东临沂T2）如图，a ∥b ，若∠1＝110°，则∠2的度数是（ ）

A ．110°

B ．80°

C ．70°

D ．60°

{答案}C

{解析}本题考查了平行线的性质与对顶角的性质．两直线平行，同旁内角互补，又因为对顶角相等，所以∠2＝∠3＝180°－∠1＝180°－110°＝70°．

{分值}3

{章节:[1-5-3]平行线的性质}

{考点:两直线平行同旁内角互补} {考点:两直线平行同位角相等} {考点:对顶角、邻补角} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}3．（2019年山东临沂T3）不等式1－2x ≥0的解集是（ ）

A ．x ≥2

B ．x ≥12

C ．x ≤2

D ．x ≤12

{答案}D

{解析}本题考查了一元一次不等式的解法．移项，得－2x ≥－1，两边都除以－2，得x ≤1

2

，注意，不等式的两边都乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变． {分值}3

{章节:[1-9-2]一元一次不等式} {考点:解一元一次不等式} {类别:常考题}

a

b

c 1 2 1 a

b

c

2

3

{类别:易错题}

{难度:1-最简单}

{题目}4．（2019年山东临沂T4）如图所示，正三棱柱的左视图是（）

A B

C D

{答案}A

{解析}本题考查了识别几何体的三视图．左视图是从左面看几何体得到的平面图形，该正三棱柱的左面是一个正三角形，故它的左视图是正三角形．

{分值}3

{章节:[1-29-2]三视图}

{考点:几何体的三视图}

{类别:常考题}

{难度:1-最简单}

{题目}5．（2019年山东临沂T5）将a3b－ab进行因式分解，正确的是（）

A．a(a2b－b) B．ab(a－1)2C．ab(a+1)(a－1) D．ab(a2－1)

{答案}C

{解析}本题考查了因式分解．把一个多项式分解因式时一般先提公因式，然后再考虑套用公式，分解因式一定要彻底．a3b－ab＝ab(a2－1)＝ab(a+1)(a－1)．

{分值}3

{章节:[1-14-3]因式分解}

{考点:因式分解－提公因式法}

{考点:因式分解－平方差}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:1-最简单}

{题目}6．（2019年山东临沂T6）如图，D是AB上的一点，DF交AC于点E，DE＝EF，FC∥AB．若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2

A

F

D E

B C

{答案}B

{解析}本题考查了平行线的性质与全等三角形的判定与性质．∵FC∥AB，∴∠A＝∠ECF，∠ADE ＝∠F．又∵DE＝EF，∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝3，∴BD＝AB－AD＝4－3＝1．

{分值}3

{章节:[1-12-2]三角形全等的判定}

{考点:两直线平行内错角相等}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}

{类别:常考题}

{难度:2-简单}

{题目}7．（2019年山东临沂T7）下列计算错误的是（）

A．(a3b)·( ab2) ＝a4b3B．(－mn3)2＝m2n6 C．a5÷a2-＝a3 D．xy2－1

5

xy2＝

4

5

xy2

{答案}C

{解析}本题考查了幂的运算性质与整式的运算．a5÷a2-＝a)2(5--＝a7，所以C错误．

{分值}3

{章节:[1-14-1]整式的乘法}

{考点:合并同类项}

{考点:积的乘方}

{考点:单项式乘以单项式}

{考点:同底数幂的除法}

{类别:常考题}

{类别:易错题}

{难度:2-简单}

{题目}8．（2019年山东临沂T8）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口时，一辆向右转，一辆向左转的概率是（）

A．2

3

B．

2

9

C．

1

3

D．

1

9

{答案}B

{解析}本题考查了概率的求法．求随机事件发生的概率，常用的方法有直接列举法、列表法与画树

右转，一辆向左转的概率是2

9

．

{分值}3

{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件放回}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}9．（2019年山东临沂T9）计算

2

1

1

a

a

a

--

-

的结果正确的是（）

A．

1

1

a

-

-

B．

1

1

a-

C．

21

1

a

a

-

-

-

D．

21

1

a

a

-

-

{答案}B

{解析}本题考查了分式的运算．

2

1

1

a

a

a

--

-

＝

1

2

-

a

a

－(a＋1)＝

1

2

-

a

a

－

1

1

2

-

-

a

a

＝

1

1

a-

．

{分值}4

{章节:[1-15-2-2]分式的加减} {考点:两个分式的加减} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}10．（2019年山东临沂T10）小明记录了临沂市五月份某周每天的最高气温（单位：℃），列成下表：

天数（天）

1 2 1 3 最高气温（℃） 22

26 28 29 A ．26.25℃ B ．27℃ C ．28℃ D ．29℃ {答案}B

{解析}本题考查了加权平均数计算公式．这周最高气温的平均值是＝7

3

292822622?++?+＝

7

189

＝27（℃）． {分值}4

{章节:[1-20-1-1]平均数}

{考点:加权平均数（权重为整数比）} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}11．（2019年山东临沂T11）如图，⊙O 中，??AB AC =，∠ABC ＝75°，BC ＝2，则阴影部分

的面积是（ ）

A ．22+

3π B ．22+3+3π C ．24+3π D ．42+3

π

{答案}A

{解析}本题考查了圆心角与圆周角的性质、扇形的面积、等边三角形的判定与性质．连接OA ，OB ，

OC ，∵??AB AC =，∴AB ＝AC ，∠ACB ＝∠ABC ＝75°，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，又∵OB

＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴OA ＝OB ＝BC ＝2．延长AO 交BC 于点D ，由对称性可知AD

⊥BC ，则BD ＝2

1

BC ＝1．于是S

阴影＝ S 扇形OBC + S △OAB +S △OAC ＝

3602602?π+21×2×1+2

1

×2×1＝2+3

2π．

{分值}4

{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {考点:等边三角形的性质} {考点:等边三角形的判定} {考点:扇形的面积} {类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}12．（2019年山东临沂T12）下列关于一次函数y＝kx+b(k＜0，b＞0)的说法，错误的是（）A．图象经过第一、二、四象限B．y随x的增大而减小

C．图象与y轴交于点(0，b) D．当x＞－b

k

时，y＞0

{答案}D

{解析}本题考查了一次函数的图象与性质．直线y＝kx+b(k＜0，b＞0)经过第一、二、四象限，与x

轴的交点坐标是(－b

k

，0)，因此，当x＞－

b

k

时，y＜0，故选项D错误．

{分值}4

{章节:[1-19-2-2]一次函数}

{考点:一次函数的图象}

{考点:一次函数的性质}

{类别:常考题}

{难度:3-中等难度}

{题目}13．（2019年山东临沂T13）如图，在□ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）

A．OM＝1

2

AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND

{答案}A

{解析}本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形性质、矩形的判定．在□ABCD中，OA＝

OC，OB＝OD，又∵BM＝DN，∴OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形．当OM＝1

2

AC时，

则OA＝OM＝OC，∴∠OAM＝∠OMA，∠OCM＝∠OMC，∴∠AMC＝180°÷2＝90°，∴□AMCN 是矩形．

{分值}4

{章节:[1-18-2-1]矩形}

{考点:平行四边形对角线的性质}

{考点:对角线互相平分的四边形是平行四边形}

{考点:等边对等角}

{考点:矩形的性质}

{考点:矩形的性质}

{类别:常考题}

{难度:4-较高难度}

{题目}14．（2019年山东临沂T14）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：

①小球在空中经过的路程是40m；

②小球抛出3秒后，速度越来越快；

③小球抛出3秒时速度为0；

④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s.

其中正确的是（）

A ．①④

B ．①②

C ．②③④

D ．②③

{答案}D

{解析}本题考查了．由图象可知小球竖直向上达到最大高度40m 后再下落回来，因此小球在空中经过的路程是80m ，故①错误；小球抛出3秒时，速度为0，然后回落地面，速度越来越快，故②与③均正确；当小球的高度h ＝30m 时，即y ＝30，此时函数图象对称轴两侧各有一点纵坐标为30，也就是说存在两个时间点使小球的高度为30m(小球上升与回落)，故④错误，事实上设抛物线的解析式为y ＝a(x －3)2+40，把(6,0)代入，得0＝9a+40，解得a ＝940-，∴y ＝9

40-(x －3)2+40，当y ＝30时，9

40

-

(x －3)2+40＝30，解得x 1＝1.5，x 2＝3.5，即当t ＝1.5s 或t ＝3.5s 时，小球的高度h ＝30m ． {分值}4

{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:足球运动轨迹问题} {考点:代数选择压轴} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}

{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分． {题目}15．（2019年山东临沂T15）计算：

2

1

×6－tan45°＝ ． {答案31

{解析}本题考查了二次根式的乘法运算与特殊角的三角形函数值．两个二次根式相乘，把被开方数相乘，再化简．

2

1×6－tan45°＝621

?－131． {分值}3

{章节:[1-16-2]二次根式的乘除} {考点:二次根式的乘法法则} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}16．（2019年山东临沂T16）在平面直角坐标系中，点P(4，2)关于直线x ＝1的对称点的坐标是 ． {答案}(－2，2)

{解析}本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的对称性．点P(4，2)与关于直线x ＝1的对称点的坐标，它们到直线的x ＝1的距离相等，且纵坐标不变，故点P(4，2)关于直线x ＝1的对称点的坐标是(－2，2)．对于该类问题，通过画图得解更直观． {分值}3

{章节:[1-7-2]平面直角坐标系} {考点:平面直角坐标系} {考点:点的坐标}

{类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}17．（2019年山东临沂T17）用1块A 型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B 型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品．要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A 、B 两种型号的钢板共 块． {答案}11

{解析}本题考查了二元一次方程组的实际应用．设恰好需用A 、B 两种型号的钢板分别为x 块、y 块，根据题意，得??

?=+=+.

182,

3734y x y x 两式相加，得5x+5y ＝55，∴x+y ＝11．即恰好需用A 、B 两种型

号的钢板共11块． {分值}3

{章节:[1-8-3]实际问题与一元一次方程组} {考点:二元一次方程组的应用} {类别:常考题} {类别:思想方法} {难度:3-中等难度}

{题目}18．（2019年山东临沂T18）一般地，如果x 4＝a (a ≥0)，则称x 为a 的四次方根．一个正数a

的四次方根有两个，它们互为相反数，记为

＝10，则m ＝ ． {答案}±10

{解析}本题考查了方根的知识．根据题意，得

)4＝104，即m 4＝104，∴m ＝±10． {分值}3

{章节:[1-6-1]平方根}

{考点:算术平方根的平方} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}19．（2019年山东临沂T19）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 ．

{答案}83

{解析}本题考查了平行线分线段成比例定理，解直角三角形的知识．过点A 作AE ⊥BC 交其延长线于点E ，又∵DC ⊥BC ，∴AE ∥DC ，∴EC ：CB ＝AD ：DB ，又∵AD ＝BD ，∴EC ＝CB ＝4．∵∠ACB ＝120°，∴∠ACE ＝60°，∴AE ＝EC ·tan60°＝43，∴S △ABC ＝21BC ·AE ＝2

1

×4×43＝83．

C

A D

B

C

A D

B

E

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {考点:平行线分线段成比例} {考点:正切}

{考点:几何填空压轴} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共7个小题，共63分． {题目}20．（2019年山东临沂T20）解方程：

25 x ＝x

3

． {解析}本题考查了解分式方程，一般思路是通过去分母转化为整式方程求解，注意解分式方程一定要验根．

{答案}解：方程两边都乘以x(x －2)，得5x ＝3(x －2)．

去括号，得5x ＝3x －6．

移项、合并同类项，得2x ＝6． 系数化为1，得x ＝3．

经检验，x ＝3是原方程的解． 所以，原方程的解为x ＝3． {分值}7

{章节:[1-15-3]分式方程}

{考点:解含两个分式的分式方程} {类别:常考题} {难度:1-最简单}

{题目}21．（2019年山东临沂T21）争创全国文明城市，从我做起，某学校在七年级开设了文明礼仪校本课程．为了解学生的学习情况，学校随机抽取30名学生进行测试，成绩如下（单位：分）

78 83 86 86 90 94 97 92 89 86 84 81 81 84 86 88 92 89 86 83 81 81 85 86 89 93 93 89 85 93 整理上面的数据得到频数分布表和频数分布直方图：

回答下列问题：

（1）以上30个数据中，中位数是 ；频数分布表中a ＝ ，b ＝ ； （2）补全频数分布直方图；

（3）若成绩不低于86分为优秀，估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数． {解析}本题考查了频数分布表和频数分布直方图、中位数、用样本估计总体等知识．（1）把30个数据按大小顺序排列，位于中间两个数的平均数即为中位数；根据频数分布表和频数分布直方图易于得到a 与b 的值，也可通过直接数30个数据得到a 与b 的值；（2）根据（1）中得到的a 与b 的值补全频数分布直方图即可；（3）先通过所抽取的30个数据计算优秀率，然后再估计该校七年级的优

{答案}解：（1）中位数是86，a ＝6，b ＝6. 解析：30个数据按大小顺序排列后位于第15、16位置处两个数据均为86，所以该组数据的中位数为86；由频数分布表和频数分布直方图可知b ＝6，∴a ＝30－5－11－6－2＝6．

（2）补全频数分布直方图如图所示；

（3）所抽取的30名学生中，成绩不低于86分的有11+6+2＝19人，优秀率为30

19

，可估计该校七年级300名学生中，达到优秀等级的人数为300×

30

19

＝190人． {分值}7

{章节:[1-10-2]直方图} {考点:频数（率）分布表} {考点:频数（率）分布直方图} {考点:中位数}

{考点:用样本估计总体} {类别:常考题} {难度:2-简单}

{题目}22．（2019年山东临沂T22）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D （A ，C ，D 共线）处同时施工．测得∠CAB ＝30°，AB ＝4km ，∠ABD ＝105°，求BD 的长．

{解析}本题考查了解直角三角形的实际应用．过点B 作BE ⊥AD 于点E ，则构造了具有特殊角的两个直角三角形，在Rt △ABE 中先求得BE 的长，再在Rt △BDE 中求得BD 的长． {答案}解：如图，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，则∠ABE ＝90°－30°＝60°，∠DBE ＝105°－60°＝45°． 在Rt △ABE 中，∠A ＝30°，AB ＝4km ，∴BE ＝

2

1

AB ＝2（km ）； 在Rt △BDE 中，BD ＝2

222 ＝22（km ）．

答：BD 的长为22km ．

{分值}7

{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}

{考点:解直角三角形的应用—测高测距离} {考点:特殊角的三角函数值} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}23．（2019年山东临沂T23）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过点O 作OD ⊥AB ，交BC 的延长线于点D ，交AC 于点E ，F 是DE 的中点，连接CF ． （1）求证：CF 是⊙O 的切线． （2）若∠A ＝22.5°，求证：AC ＝DC ．

{解析}本题综合考查了圆的切线的判定，圆周角定理的推论，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．（1）欲证CF 是⊙O 的切线，只需证明OC ⊥CF ，即证∠ACO+∠FCE ＝90°，再证∠FCE ＝∠AEO 易于获得结论；或者通过证明∠FCE ＝∠OCB 获得结论．（2）欲证AC ＝DC ，可通过证明△ACB 与△DCE 全等得到．显然两个三角形的对应角易证相等，还需证明一组边相等．而当∠A ＝22.5°，则∠COF ＝∠COB ＝2∠A ＝45°，得FC ＝OC ．这样可知DE ＝2FC ＝2OC ＝AB ，思路得以沟通，问题获解． {答案}解：（1）证明：方法1：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． 在Rt △DCE 中，CF 是斜边的中线，∴FC ＝FE ，∴∠FCE ＝∠FEC ． ∵∠FEC ＝∠AEO ，∴∠FCE ＝∠AEO ． ∵OD ⊥AB ，∴∠A+∠AEO ＝90°，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ， ∴∠ACO+∠AEO ＝90°，∴∠ACO+∠FCE ＝90°，即∠FCO ＝90°，∴OC ⊥CF ，∴CF 是⊙O 的切线． 方法2：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠D+∠DEC ＝90°． ∵OD ⊥AB ，∴∠B+∠D ＝90°，∴∠B ＝∠DEC ．

在Rt △DCE 中，CF 是斜边的中线，∴FC ＝FE ，∴∠FCE ＝∠FEC ． ∴∠FCE ＝∠B ．∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB ，∴∠FCE ＝∠OCB ． ∵∠ACB ＝∠ACO+∠OCB ＝90°，∴∠ACO+∠FCE ＝90°， 即∠FCO ＝90°，∴OC ⊥CF ，∴CF 是⊙O 的切线． （2）∵∠A ＝22.5°，∴∠COB ＝2∠A ＝45°，∴∠COF ＝45°， 由（1）得∠FCO ＝90°，∴∠CFO ＝∠COF ＝45°，∴FC ＝OC ． 在Rt △DCE 中，CF 是斜边的中线，∴DE ＝2CF ， ∵AB ＝2OC ，∴AB ＝DE ．

A

B

O

C F

D E

E

∵∠A+∠B ＝90°，∠B+∠D ＝90°，∴∠A ＝∠D ． 又∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴△ACB ≌△DCE （AAS ）， ∴AC ＝DC ． {分值}9

{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:等边对等角}

{考点:直角三角形两锐角互余} {考点:等腰直角三角形}

{考点:直角三角形斜边上的中线} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:直径所对的圆周角} {考点:切线的判定} {考点:圆的其它综合题} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}24．（2019年山东临沂T24）汛期到来，山洪暴发．下表记录了某水库20h 内水位的变化情况，其中x 表示时间（单位：h ），y 表示水位高度（单位：m ）．当x ＝8（h ）时达到警戒水位，开始开闸

（1（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式；

（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到6m ？

{解析}本题考查了一次函数与反比例函数的实际应用．（1）把表中数对分别描在坐标系中即可；（2）观察平面直角坐标系中所描的点，猜想开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式分别为一次函数与反比例函数，利用待定系数法分别求得函数解析式，然后把其余点代入解析式中进行验证，以确定猜想正确与否；（3）把y ＝6代入开闸放水后的函数解析式，即可求得相应的时间． {答案}解：（1）描点如图所示；

y

（2）根据描点，可以猜想开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式分别为一次函数与反比例函数．

设开闸放水前函数的解析式为y ＝kx +b (k ≠0)，把x ＝0时y ＝14，x ＝2时y ＝15代入，得

???=+=,152,14b k b 解得??

?

??==,21

,

14k b ∴一次函数的解析式为y ＝21x +14(0≤x ≤8)． 当x ＝4时，y ＝21×4+14＝16；当x ＝6时，y ＝21×6+14＝17；当x ＝8时，y ＝2

1

×8+14＝18．均

符合题意．所以开闸放水前的函数解析式为y ＝2

1

x +14．

设开闸放水后的函数解析式为y ＝x k (k ≠0)，把x ＝12时y ＝12，代入得k ＝12×12＝144，∴y ＝x

144

．

把x ＝10，14，16，18，20分别代入，得y ＝14.4，10.3，8，7.2，均符合题意．∴开闸放水后的函

数解析式为y ＝

x 144

(x ＞8)． （3）当y ＝6时，x

144

＝6．解得x ＝24．

答：预测24时水位达到6m ． {分值}9

{章节:[1-26-2]实际问题与反比例函数} {考点:待定系数法求一次函数的解析式} {考点:分段函数的应用}

{考点:生活中的反比例函数的应用} {类别:高度原创} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}

{题目}25．（2019年山东临沂T25）如图，在正方形ABCD 中，E 是DC 边上一点，（与D 、C 不重合），连接AE ，将△ADE 沿AE 所在的直线折叠得到△AFE ，延长EF 交BC 于点G ，连接AG ，作GH ⊥AG ，与AE 的延长线交于点H ，连接CH ．显然AE 是∠DAF 的平分线，EA 是∠DEF 的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角的平分线），并说明理由．

y

{解析}本题综合考查了正方形的性质，互为余角的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质等知识．由折叠及正方形的性质，极易得到Rt △ABG 与Rt △AFG 全等，进而可得AG 与GA 为角平分线，再通过图形直观观察，可发现GH 与CH 也是角平分线，进一步思考，利用等角的余角相等，易得∠HGE ＝∠HGC ；过点H 作HN ⊥BC 于点N ，再通过证△ABG ≌△GNH ，得△HCN 是等腰直角三角形，得到CH 是∠DCM 的平分线．

{答案}解：AG 是∠BAF 的平分线，GA 是∠BGF 的平分线，GH 是∠EGC 的平分线，CH 是∠DCM 的平分线．证明如下：

∵四边形ABCD 为正方形，∴∠D ＝∠B ＝90°，AB ＝AD ．

∵△ADE 沿AE 翻折至△AFE ，∴AD ＝AF ，∠D ＝∠AFE ＝90°， ∴AB ＝AF ．又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）． ∴∠BAG ＝∠FAG ，∠BGA ＝∠FGA ，

即GA 是∠BGF 的平分线，GH 是∠EGC 的平分线． ∵GH ⊥AG ，∴∠AGH ＝90°，∴∠AGE+∠HGE ＝90°，∠AGB+∠HGC ＝90°， 又∵∠AGB ＝∠AGE ，∴∠HGE ＝∠HGC ， 即GH 是∠EGC 的平分线．

如图，过点H 作HN ⊥BC 于点N ，则∠GNH ＝∠ABG ＝90°． ∵∠AGB+∠HGC ＝90°，∠AGB+∠BAG ＝90°，∴∠HGC ＝∠BAG ． ∵∠GAE ＝

2

1

∠BAD ＝45°，∠AGH ＝90°，∴∠AHG ＝45°，∴AG ＝GH ， ∴△ABG ≌△GNH （AAS ），∴BG ＝HN ， GN ＝AB ＝BC ， ∴BG ＝CN ，∴CN ＝HN ，∴∠HCN ＝45°，∴∠ECH ＝45°， 即CH 是∠DCM 的平分线．

{分值}11

{章节:[1-18-2-3] 正方形} {考点:角平分线的定义}

{考点:直角三角形两锐角互余} {考点:互余}

{考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:全等三角形的判定HL} {考点:等角对等边} {考点:等边对等角} {考点:正方形的性质}

{考点:正方形有关的综合题}

A B

F

H

D E A

B

F

H

D E M

{考点:几何综合} {类别:常考题} {难度:4-较高难度}

{题目}26．（2019年山东临沂T26）在平面直角坐标系中，直线y ＝x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＜0)经过点A ，B ． （1）求a ，b 满足的关系式及c 的值；

（2）当x ＜0时，若y ＝ax 2+bx+c(a ＜0)的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围；

（3）如图，当a ＝－1时，在抛物线上是否存在点P ，使△PAB 的面积为1，若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

{解析}本题综合考查了二次函数y

抛物线上几何图形的存在性问题．（1）根据直线y ＝x+2的解析式，先求得点A ，B 的坐标，进而可求c 的值与a ，b 满足的关系式；（2）根据对称轴方程x ＝a

b

2-

及二次函数的增减性易于得到a 的取值范围；（3）利用抛物线上三角形面积的常见求法，即设P (x ，－x 2－x ＋2)，过点P 作与x 轴的垂线，交直线y ＝x +2于点C ，根据S △P AB ＝

2

1

OA ·PC 判断点P 是否存在，以及存在时求解点P 的坐标．

{答案}解：（1）当x ＝0时，y ＝x +2＝2，∴B (0，2)； 当y ＝0时，x +2＝0，x ＝－2，∴A (－2，0)．

因为抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＜0)经过点A ，B ，故把B (0，2)代入，得c ＝2； 把A (－2，0)代入，得4a －2b+2＝0， ∴a ，b 满足的关系式为2a －b ＋1＝0．

（2）由题意，得a b 2-

≥0，即a a 212+-≥0， 又∵a ＜0，∴a ≥21-且a ＜0，即2

1

-≤a ＜0．

（3）当a ＝－1时，2×(－1)－b ＋1＝0，解得b ＝－1．∴y ＝－x 2－x ＋2．

设P (x ，－x 2－x ＋2)，过点P 作与x 轴的垂线，交直线y ＝x +2于点C ，则C (x ，x +2)． 于是S △P AB ＝

21OA ·PC ＝2

1

×2·|(－x 2－x ＋2)－(x +2)|＝1． ∴|－x 2－2x |＝1，∴x 2＋2x ＝1，或x 2＋2x ＝－1． 解得，x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2，x 3＝x 4＝－1． 当x ＝－1－2时，y ＝－2； 当x ＝－1＋2时，y ＝2；

当x ＝－1时，y ＝2．

综上可知，在抛物线上存在点P ，使△PAB 的面积为1，此时点P 的坐标为（－1－2，－2）

2，2）或（－1，2）．

或（－1＋

{章节:[1-22-1-4]二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质} {考点:待定系数法求一次函数的解析式}

{考点:其他一次函数的综合题}

{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}

{考点:其他二次函数综合题}

{考点:代数综合}

{类别:常考题}

{难度:5-高难度}