运筹学_实验指导1203

<<运筹学>> 实验指导书

目录

实验一线性规划 (1)

一、实验目的： (1)

二、实验类型：设计型 (1)

三、实验内容: (1)

（1）投资问题 (1)

（2）人力资源分配问题 (1)

（3）生产计划问题 (1)

（4）套裁下料问题（选做） (2)

（5）配料问题（选做） (2)

四、实验步骤及实验要求： (2)

附1：用LINGO解决线性规划问题的例子 (3)

1．确定决策变量和目标函数 (3)

2．确定约束条件 (3)

3．确定数学模型 (3)

4．求解 (4)

实验二运输问题 (6)

一、实验目的： (6)

二、实验类型：设计型 (6)

三、实验内容: (6)

（1）产销平衡的运输问题。 (6)

（2）产销不平衡的运输问题。 (6)

（3）生产与存储问题 (7)

四、实验步骤及实验要求： (8)

附1：运输问题求解举例 (8)

1．确定约束变量和约束条件 (10)

2．建立目标函数 (10)

3．建立数据集 (11)

4．确定数学模型并求解 (12)

附2:使用LINGO解决运输问题的常用操作 (13)

实验三目标规划（选作） (15)

一、实验目的： (15)

二、实验类型：设计型 (15)

三、实验内容: (15)

（1）生产问题目标规划 (15)

（2）运输问题目标规划 (15)

四、实验步骤及实验要求： (16)

提示： (16)

实验四整数规划 (17)

一、实验目的： (17)

二、实验类型：设计型 (17)

三、实验内容: (17)

（1）投资场所的选择 (17)

（2）固定成本问题 (17)

（3）指派问题 (18)

（4）分布系统设计问题 (18)

四、实验步骤及实验要求： (18)

附1：整数变量的语法定义： (18)

附2：整数规划例子 (19)

附3：0-1整数规划 (19)

实验五图与网络分析(选做) (22)

一、实验目的： (22)

三、实验内容: (22)

（1）最短路径问题 (22)

（2）关键路径问题 (22)

四、实验步骤及实验要求： (23)

附1：利用ORMS软件最短通路的方法 (23)

附2：利用ORMS软件求关键路径的方法 (25)

实验六动态规划 (28)

一、实验目的： (28)

二、实验类型：综合设计型 (28)

三、实验内容: (28)

（1）最短路线问题。 (28)

（2）小规模货郎担问题（TSP）。 (28)

四、实验步骤及实验要求： (28)

附1：用动态规划（DP）解最短路线问题 (29)

附2：货郎担问题（TSP）求解 (29)

附3：常用的几个函数简介 (31)

1.变量界定函数 (31)

2.集操作函数 (32)

3.集循环函数 (32)

4.输入和输出函数 (33)

实验一线性规划

一、实验目的：

(1) 熟悉LINGO软件环境；

(2) 了解并熟练掌握LINGO语言的数学模型的结构；

(3) 掌握用LINGO语言来解决线性规划问题。

(4) 了解灵敏度分析的含义。

二、实验类型：设计型

三、实验内容:

采用LINGO软件解决下列实际应用问题。

（1）投资问题

某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，己知：

项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；

项目B，第三年初需要投资，到第五年未能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；

项目C，第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；

项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6％。

该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大?

（2）人力资源分配问题

福安商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析，如下所示：

续的，问应该如何安排售货人员的作息，既满足了工作需要，又使配备的售货人员的人数最少?

（3）生产计划问题

明兴公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，这三种产品都要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可

以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。有关情况见表2；公司中可利用的总工时为：铸造8000小时，机加工12000小时和装配10000小时。公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件?甲、乙两种产品的铸造应多少由本公司铸造?应多少由外包协作?

（4）套裁下料问题（选做）

某工厂要做100套钢架，每套用长为2．9m，2．1m和1．5m的园钢各一根。已知原料每根长7．4m，问应如何下料，可使所用原料最省。

（5）配料问题（选做）

某工厂要用三种原料1，2，3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，已知产品的规格要求、产品的单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价，分别见表3和表4。该厂应如何安排生产，使利润收入为最大?

四、实验步骤及实验要求：

（1）确定各个问题的变量，建立各个问题的约束条件，目标函数；

（2）建立各个问题的数学模型；

（3）将该数学模型描述为LINGO语言，求解其结果；

（4）灵敏度分析；

（5）完成实验报告。

[注：LINGO软件的缺省值是不进行灵敏度分析，因此我们需要改变系统原有的默认值。过

程如下：点击LINGO菜单中的Options，选中General Solver，在Dual computations中选中Rrices&Range即可。]

附1：用LINGO解决线性规划问题的例子

某公司可以生产两种品牌的计算机：STANDARD计算机和TURBO计算机，生产一台STANDARD计算机可获利100元，生产一台TURBO计算机可获利150元。STANDARD计算机生产线每天可以生产100台STANDARD计算机，TURBO计算机生产线每天可以生产120台计算机。但是生产一台STANDARD计算机所需人力1小时.人，生产一台TURBO计算机所需人力2小时.人，该公司共有人力为160小时.人。问如何安排生产使得该公司的获利最大。

通常情况下，最优化数学模型包括三部分：

决策变量：每一个问题都用一组决策变量来表示某一个方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。最优化的目标就是找到一组决策变量的值，使得其目标函数达到最优值，并要求这组决策变量的值符合约束条件。

目标函数：目标函数一各公式，其目的用来表达你所希望达到的最优目标，一般他都是用决策变量的线性函数来表示，按照问题的不同，一般都是求目标函数的最大化或者最小化。

约束条件：限定模型中变量所取值的范围，这些限制条件一般是用一组线性等式或者不等式表示。

求解方法如下：

1．确定决策变量和目标函数

令，变量STANDARD和TURBO分别表示该公司每天应该生产STANDARD计算机和TURBO 计算机的台数，则该公司可获得最大利润的目标函数用LINGO语言表示为:

MAX = 100 * STANDARD + 150 * TURBO;

注意:LINGO语言的每一条逻辑上行应该以分号(;)结束。否则会出现语法错误。

2．确定约束条件

下一步就应该对生产线和劳力进行约束。因为STANDARD计算机生产线每天可以生产100台STANDARD计算机，TURBO计算机生产线每天可以生产120台计算机。用LINGO语言可以如下表示：

STANDARD <= 100;

TURBO <= 120;

注意：在LINGO语言中，可以用<来表示<=；同样地，我们也可以用>来表示>=。

对劳力的约束条件我们可以如下地表示：

STANDARD + 2 * TURBO <= 160;

3．确定数学模型

这样我们可以得到整个问题的数学模型：

!Here is the total profit objective function;

MAX = 100 *STANDARD + 150 * TURBO;

!Constraints on the production line capacity;

STANDARD <=100;

TURBO <= 120;

!Our labor supply is limited;

STANDARD + 2 * TURBO <= 160;

其中！表示注释行的开始。

注意：在LINGO中，所有变量名是字母开头，数字与字母以及下化线”_”的符号串，且符号串的长度步超过32位。

4．求解

将上面的数学模型输入到LINGO中，点击菜单中的LINGO选项,再点击Solve，如果该数学模型不存在语法错误，则输出一些相关的数据以及计算结果,如下图：

其中Objective value为计算结果，即最优值为14500，即该公司获得的最大利润为14500元。Global optimal solution found at iteration: 2表示通过两次迭代获得结果.中间栏的value表示当STANDARD的取值为100，TURBO的取值为30时，目标值取得最大值。Reduced Cost表示如果该栏中某项的值为X，即如果该项相对应的变量的值增加1，那么相应最优值会减少X.Slack和Surplus分别表示松弛量和剩余量。该栏的第三项为90，即表示源程序中非注释行第三行即TURBO的实际值比所允许的值差90。Dual Price为影子价格，该栏第4项的值为75，即表示如果源程序中非注释行第4行右端的值增加1，那么最优值会增加75。

其中Module:LP表示该问题为线形规划问题.等等.

实验二运输问题

一、实验目的：

(1) 进一步熟悉LINGO软件环境；

(2) 掌握如何建立运输问题的数学模型；

(3) 了解并掌握如何LINGO来解决运输问题；

(4) 掌握LINGO语言中@FOR,@MIN，@MAX以及@SUM的使用。

二、实验类型：设计型

三、实验内容:

采用LINGO软件解决下列几种运输问题

（1）产销平衡的运输问题。

某公司从两个产地A1，A2将物品运往三个销地B1，B2，B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运注各销地的每件物品的运费如下表所示：

（2）产销不平衡的运输问题。

设有三个化肥厂供应四个地区的农用化肥。假定等量的化肥在这些地区使用效果相同。各化肥厂年产量、各地区年需求量及从各化肥厂到各地区运送单位化肥的运价如下表，试求出总的运费员节省的化肥调拨方案。

（3）生产与存储问题

光明仪器厂生产电脑绣花机是以销定产的。已知1至6月份各月的生产能力、合同销量和单台电感绣花机平均生产费用见下表。又已知上年末库存103台绣花机，又如果当月生产出来的机器当月不交货，则履要运到分厂库房，每台增加运输成本0.1万元，每台机器每月的平均仓储费、维护费为0.2万元，在7-8月份销售淡季，全厂停产1个月，因此在6月份完成销售合同后还要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本1万元。问应如何安排1-6月份的生产使总的生产(包括运输、仓储、维护)费用最少?

（4）转运问题

腾飞电子仪器公司在大连和广州有两个分厂，大连分厂每月生产400台某种仪器，广州分厂每月生产600台某种仪器。该公司在上海与天津有两个销售公司负责对南京、济南、南昌与青岛四个城市的仪器供应，又因为大连与青岛相距较近，公司同意大连分厂也可以向青岛接供货，这些城市问的每台仪器的运输费用我们标在两个城市间的弧上，单位为百元，问应该如何调运仪器．使得总的运输费最低。

四、实验步骤及实验要求：

(1) 确定各个问题的变量；

(2) 建立各个问题的约束条件；

(3) 写出各个问题的目标函数；

(4) 建立各个问题的数学模型；

(5) 将该数学模型描述为LINGO语言，求解其结果。

(6)完成实验报告。

附1：运输问题求解举例

运输问题是线性规划的一类特殊问题，在求解运输问题的过程中，我们也可以采用单纯型方法。比如对于上述的产销平衡的运输问题，我们可以这样求解。

设X ij表示从产地A j调运到B j的运输量(i＝1，2;j＝1，2，3)，例X12表示由A1调运到B2的物品

满足产地产量的约束条件为：

X11十X12十X13＝200

X21十X22十X23＝300

满足销地销量的约束条件为：

X11十X21=150，

X12十X22=150，

X13十X23=200．

使运输费最小的目标函数为：

min f ＝6X11十4X12十6X13十6X21十5X22十5X23

所以此运结问题的线性规划的模型如下：

目标函数：min f ＝6X11十4X12十6X13十6X21十5X22十5X23

约束条件：X11十X12十X13＝200

X21十X22十X23＝300

X11十X21=150，

X12十X22=150，

X13十X23=200．

Xij>=0.(I =1,2;j=1,2,3)

将上述模型按照实验一的方法转化为LINGO语言之后，求解可以得到最优值。

上面这个例子的数据非常少，我们很容易建立起数学模型，但是在很多情况下，我们需要处理很多数据，按照这种方法建立其数学模型显然是非常单调枯燥的。下面一个例子来说明：

例设W公司有六个仓库可以提供给八个客户存储货物，每个仓库所装的货物不能超过它的容量，同时每个客户对仓库也有一定的要求。现需要计算每个如何装配货物使得装配的费用最少。每个仓库的容量如下:

仓库容量

1 60

2 55

3 51

4 43

5 41

6 52

客户总容量要求

1 35

2 37

3 22

4 32

5 41

6 32

7 43

8 38

每个单元商品的装配费用为：

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8

Wh1 6 2 6 7 4 2 5 9

Wh2 4 9 5 3 8 5 8 2

Wh3 5 2 1 9 7 4 3 3

Wh4 7 6 7 3 9 2 7 1

Wh5 2 3 9 5 7 2 6 5

Wh6 5 5 2 2 8 1 4 3

按照实验一的方法，我们可以建立如下目标函数：

MIN = 6 * VOLUME_1_1 + 2 * VOLUME_1_2 + 6 * VOLUME_1_3 + 7 * VOLUME_1_4 + 4 * VOLUME_1_5 +8 * VOLUME_6_5 + VOLUME_6_6 + 4 * VOLUME_6_7 +3 * VOLUME_6_8;

其中变量VOLUME_I_J表示为每个客户J分配的仓库I所装配widgets的数量，很明显，按照这种方式来写目标函数是非常枯燥的，并且非常容易出错。

求解方法如下：

1．确定约束变量和约束条件

该模型有两个约束条件：第一个约束是每个客户对仓库容量的要求，我们称之为要求约束条件（demand constraints）；第二个叫容量约束（capacity constraint），即，所有某仓库所装的商品的所占用的总的空间不能超过该仓库的容量。我们以第一个客户的要求为例，应该为第一个客户分配的仓库的所有空间的总和应该等于35。这样，如果用基于标量的符号，可以创建出下列约束：

VOLUME_1_1+VOLUME_2_1+VOUUME_3_1+VOLUME_4_1+VOLUME_5_1+VOLUME_6_1 =35；

然后，对其他七个客户建立类似的要求约束。显然这个过程非常冗长而容易出错，同样我们可以用LINGO建模语言来简化其描述方式。使用数学符号，我们可以用一个语句表述所有这八个要求约束：

∑i VOLUMEij = DEMANDj, for all j in VENDORS

用LINGO语言表述为：

@FOR( VENDORS( J):

@SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) =

DEMAND( J));

其含义为对每个投资者，分配给同一个投资者的仓库总容量应该等于投资者的需求。其数学表示和LINGO语法表示的对照如下：

数学概念LINGO 语法

for all j inVENDORS @FOR( VENDORS( J):

∑i @SUM( W AREHOUSES( I):

VOLUME ij VOLUME( I, J))

= =

DEMAND j D EMAND( J));

同样的，我们可以用数学公式表示其容量约束：

∑j VOLUME ij <= CAP i , for all i in WAREHOUSES

用LINGO语言表述为：

@FOR( WAREHOUSES( I):

@SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J))<=

CAPACITY( I));

其含义为对每个仓库J，分配给客户的容量之和应该小于其总容量。

那么整个约束条件为：

MODEL:

MIN = @SUM( LINKS( I, J):

COST( I, J) * VOLUME( I, J));

@FOR( VENDORS( J):

@SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) =

DEMAND( J));

@FOR( WAREHOUSES( I):

@SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J)) <=

CAPACITY( I));

END

2．建立目标函数

下面我们建立目标函数。对此我们可以用数学公式Minimize ∑ij COST ij * VOLUME ij。

LINGO也可以用类似的方法来表达此含义：

MIN = @SUM( LINKS(I,J): COST(I,J) * VOLUME(I,J));

其意义为：对每个客户J和每个仓库I,如果存在LINKS关系，那么就求COST(I,J) * VOLUME(I,J)使得他们的和最小。显然，此表达式简单直观。下表是目标函数的数学表示和LINGO语法表示的对照：

数学公式LINGO语法

Minimize MIN =

∑ij @SUM( LINKS( I, J): )

COST ij COST(I,J)

* *

VOLUME ij VOLUME(I,J)

从上面的约束条件可以看出，我们没有给变量分配数据，为此，我们需要定义数据集。

3．建立数据集

在实际建模时，总是发现存在一组或多组相互关联的目标。这些相关联的目标可以用一个集合的形式来表示。LINGO中可以定义相关对象的集合。集合以关键字SETS开始,集合以关键字ENDSETS结束。一旦定义了数据集合，在LINGO中我们用一组循环函数(比如：@FOR)来对集合的每个成员进行操作。

下面我们看看如何定义集合：

在上面的例子中我们需要定义如下3个集合:

1. 仓库集合；

2. 客户集合；

3. 仓库与客户的笛卡儿积的映射

其相应的数据集和可以LINGO语言如下地表示:

SETS:

WAREHOUSES / WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6/:CAPACITY;

VENDORS / V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 /:DEMAND;

LINKS (WAREHOUSE,VENDORS):COST,VOLUME;

ENDSETS

上面的第二行表示 WAREHOUSES有六个数据成员，分别为WH1， WH2， WH3， WH4， WH5 和WH6，并且每个成员都有一个属性称为CAPACITY。类似的我们上面的第三行定义了八个客户，每个客户都具有一个称为DEMAND的属性。

最后一个集合LINKS是仓库与客户的笛卡儿积的映射，共有6*8＝48个成员，每个成员均有两个属性COST和VOLUME。定义这种集合的语法不同于前面的定义。

LINKS (WAREHOUSE,VENDORS)指出了LINKS集合是集合WAREHOUSE和集合VENDORS的派生。在本例中LINGO可以生成48个(warehouse,vendor)这样的序偶对，每个序偶对都是集合LINKS的元素。为了进一步说明这个问题，我们列出一些成员，如下表：

成员索引所对应的成员

1 （WH1，V1）

2 （WH2，V2）

3 （WH3，V3）

… …

47 （WH47，V47）

48 （WH8，V8）

数据输入

LINGO允许用户以独立的方式来输入数据，比如在上面的例子中，可以采用如下的方式来输

入数据：

DA TA:

CAPACITY = 60 55 51 43 41 52;

DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38;

COST = 6 2 6 7 4 2 5 9

4 9

5 3 8 5 8 2

5 2 1 9 7 4 3 3

7 6 7 3 9 2 7 1

2 3 9 5 7 2 6 5

5 5 2 2 8 1 4 3;

ENDDATA

采用这种方式来输入数据的时候，以关键字DATA开始,集合以关键字ENDDATA结束。这样就初始化了集合W AREHOUSES的属性CAPCITY和集合VENDORS的属性DEMAND。对于二维向量的集合LINKS，首先初始化COST(WH1,V1)，即COST(WH1,V1)＝6,然后初始化COST(WH1,V2), 即COST(WH1,V2)＝2，再初始化COST(WH1,V3)，即COST(WH1,V3)＝6，等等。

在本例中，我们直接将数据放在模型的数据块中。很多情况下我们可以从外部文件，比如ODBC中导出数据。

4．确定数学模型并求解

本例的整个模型为：

MODEL:

! A 6 Warehouse 8 Vendor Transportation Problem;

SETS:

WAREHOUSES / WH1 WH2 WH3 WH4 WH5 WH6/: CAPACITY;

VENDORS / V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8/ : DEMAND;

LINKS( WAREHOUSES, VENDORS): COST, VOLUME;

ENDSETS

! The objective;

MIN = @SUM( LINKS( I, J):

COST( I, J) * VOLUME( I, J));

! The demand constraints;

@FOR( VENDORS( J):

@SUM( WAREHOUSES( I): VOLUME( I, J)) =

DEMAND( J));

! The capacity constraints;

@FOR( WAREHOUSES( I):

@SUM( VENDORS( J): VOLUME( I, J)) <=

CAPACITY( I));

! Here is the data;

DATA:

CAPACITY = 60 55 51 43 41 52;

DEMAND = 35 37 22 32 41 32 43 38;

COST = 6 2 6 7 4 2 5 9

4 9

5 3 8 5 8 2

5 2 1 9 7 4 3 3

7 6 7 3 9 2 7 1

2 3 9 5 7 2 6 5

5 5 2 2 8 1 4 3;

ENDDATA

END

将上述模型输入到LINGO中，点击菜单栏中的LINGO的Solve将得到得到运行结果，最佳的目标值为664。

附2:使用LINGO解决运输问题的常用操作

通过运行上述例子，我们可以看到模型中有许多属性的值为0，常常，我们只需要查看非0属性的值，为此，可以采用如下操作。使用快捷键CTRL+O,将会出现下图：

选中其中的Nonzeros Only如下图

这样就可得到所有的非0的元素，如下图：

实验三目标规划（选作）

一、实验目的：

(1) 了解并熟练掌握LINGO语言的数学模型；

(2) 熟练掌握如何用LINGO语言来解决目标规划问题。

二、实验类型：设计型

三、实验内容:

采用LINGO软件解决下列实际目标规划应用问题。

（1）生产问题目标规划

某工厂生产I，II两种产品，巳知有关数据见下表

其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于56元．求决策方案．

（2）运输问题目标规划

已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量和单位运价，见表二．有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：

P1——B4是重点保证单位，必须全部满足其需要；

P2——A5向Dj提供助产量不少于100；

P3——每个销地的供应量不小于其需要量的80%；

P4——所订调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%

P5——因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4；

P6——给B1和B3的供应率要相同；

P7——力求总运费最省．

试求满意的调运方案．

四、实验步骤及实验要求：

(1) 确定各个问题的变量；

(2) 建立各个问题的约束条件；

(3) 写出各个问题的目标函数；

(4) 建立各个问题的数学模型；

(5) 将该数学模型描述为LINGO语言，求解其结果。

(6)完成实验报告。

提示：

虽然LINDO和LINGO不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。

例如算：min a=((d1_+d1),(2d2+d3))

G1:x1-10x2+d1_-d1=50

G2:3x1+5x2+d2_-d2=20

G3:8x1+6x2+d3_-d3=100

xi(i=1,2),dj_,dj(j=1,2,3)>=0

先求目标函数的最优值

min = d1_+d1

x1-10x2+d1_-d1=50

3x1+5x2+d2_-d2=20

求得D1_+D1 的最优值为0

然后再求

min = 2d2+d3

x1-10x2+d1_-d1=50

3x1+5x2+d2_-d2=20

8x1+6x2+d3_-d3=100

d1_+d1=0

即可算得第二级最优值2d2+d3

实验四整数规划

一、实验目的：

(1) 熟悉LINGO软件环境；

(2) 了解并熟练掌握LINGO语言的数学模型；

(3) 熟练掌握如何用LINGO语言来解决整数问题。

二、实验类型：设计型

三、实验内容:

采用LINGO软件解决下列实际整数规划应用问题。

（1）投资场所的选择

京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有10个位置Ai(i=1，2，3，…，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：在东区由A1，A2，A3三个点至多选择两个；

在西区由A4，A5两个点中至少选一个；

在南区由A6，A7两个点中至少选一个；

在北区由A8，A9，A10。三个点中至少选两个。

Ai各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表1所示。

（2）固定成本问题

假设某公司可以生产6中型号的飞机，生产每一架飞机可以获得如下的利润，生产每一类型的飞机需要一定的固定资本。

Plane Profit Setup

Rocket 30 35

Meteor 45 20

Streak 24 60

Comet 26 70

Jet 24 75

Biplane 30 30

并且每生产一架飞机需要的材料以及共有的材料如下：