高三理科数学期末试卷及答案

澄海区2008-2009学年度第一学期期末考试

高三理科数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答第一部分(选择题)前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．

3．考生务必将第二部分(非选择题)的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．

4．考试结束后，监考员将第一部分的答题卡和第二部分的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：

柱体的体积公式Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积公式Sh V 3

1

=

，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第一部分（选择题，共40分）

一、选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把它选出后在答题卡上规定的位置上用铅笔涂黑．

1．已知集合}|{},023|{2

a x x N x x x M >=>-+=，若N M ?，则实数a 的取值范围是

A ．),3[+∞

B ．),3(+∞

C ．]1,(--∞

D ． )1,(--∞ 2．函数4

sin 1)(2

x

x f +=的最小正周期是 A ．

2

π

B ．π

C ．π2

D ．π4 3．函数x

x y 1

42+=的单调递增区间是

A ．),0(+∞

B ．),21(+∞

C ．)1,(--∞

D ．)2

1

,(--∞

4．已知|a |=3，|b |=5，且12=?b a ，则向量a 在向量b 上的投影为

A ．

5

12

B ．3

C ．4

D ．5 5．若tan 2α=，则sin cos αα的值为

A ．12

B ．23

C ．1

D ．25

6．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若||||113a a =，且公差0

A ．4或5

B ．5或6

C ．6或7

D ．7或8

7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；

②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ；

O

O '

M

Q

P N B

A

③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β． 其中正确命题的序号是

A ．①和②

B ．②和③

C ．③和④

D ．①和④

8．若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2，且当[]1,0∈x 时，(),x x f =，则函数

()x x f y 3log -=的零点个数是

A ．多于4个

B ．4个

C ．3个

D ．2个

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分. （一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若431,,a a a 成等比数列，则

3

52

3S S S S --的值为 ．

10．

2

20

(42)(43)x x dx --=?

．

11．右图表示一个几何体的三视图及相应数据，则该几何体的体积是 ．

12．如果过点(0,1)斜率为k 的直线l 与圆04my kx y x 2

2=-+++ 交

于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x+y=0对称，那么直线l 的斜率

k=__________；不等式组??

?

??≥≤-≥+-0y 0,my kx ,

01y kx 表示的平面区域的面积

是 ．

（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得分． 13．（坐标系与参数方程选做题）曲线??

?==θ

θ

sin cos y x (θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值

是 ．

14．（不等式选讲选做题）不等式5|2||1|<++-x x 的解集是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如右图，⊙'

O 和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙'

O 于Q 和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3,NQ ＝

15，则

PN ＝__________．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤

16．(本小题满分13分)

已知数列}{n a 中，02,311=-=+a a a n n ,数列}{n b 中，())( 1*N n a b n

n n ∈-=?．

（Ⅰ）求数列}{n a 通项公式；

（Ⅱ）求数列}{n b 通项公式以及前n 项的和． 17．(本小题满分13分)

已知ABC ?中，1=?，若ABC ?的面积为S ，且2

3

63≤

≤S (Ⅰ)求角B 的取值范围； (Ⅱ)设)

4

sin(1

2cos 2sin )(π

+

++=

B B B B f ，求)(B f 的值域．

18．(本小题满分14分)

如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且

BC AC =．

(Ⅰ)求证：⊥AM 平面EBC ；

(Ⅱ)求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； (Ⅲ)求二面角C EB A --的大小． 19．(本小题满分14分)

已知实数a

≠0，函数()()R x x ax x f ∈-=22)(．

(Ⅰ)若函数)(x f 有极大值32，求实数a 的值；

(Ⅱ)若对]1,2[-∈?x ，不等式9

16

)(

20．(本小题满分14分)

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n a 是1与n S 的等差中项． (Ⅰ)求证}1{+n S 是等比数列，并求出n a 的表达式； (Ⅱ)若)1(2log 1≥=+n b n a n ，求1

2)5()(+++=n n b n b n f 的最大值及取得最大值时n 的值．

21．(本小题满分12分)

设函数2

()(1)2ln(1)f x x x =+-+．

（Ⅰ）若在定义域内存在0x ，而使得不等式0()0f x m -≤能成立，求实数m 的最小值； （Ⅱ）若函数2

()()g x f x x x a =---在区间

[]0,2上恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．

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高三理科数学参考答案

一、选择题

CDBA DCAB 二、填空题

9、

21或2； 10、8； 11、348π+； 12、1，4

1； 13、2； 14、)2,3(-； 15

、

B

M

E

D

C

A

三、解答题

16、(本小题满分13分) 解：（1）∵021=-+n n a a

∴

)1(21

≥=+n a a n

n -----------2分 又31=a

∴{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列 -----------4分 ∴*)(2

31

N n a n n ∈?=- -----------6分

（2）∵())( 1*N n a b n n n ∈-=?

∴n n n a b 1

)1(?

-==12

31)1(-??-n n -----------8分 ∴1

212

31

)1(23131-??-+???+?+-

=+???++=n n n n b b b S -----------10分 =2

11)21(131+???

???---n

=-??

?

???--n )21(192

=??

?

???--1)21(92n -----------13分 17、(本小题满分13分)

解：（Ⅰ）设ABC ?的三边分别是c b a ,,

∵1=?

∴1cos =B ac ，即B

ac cos 1

= -----------2分 又

23

63≤

≤S ∴23

sin 2163≤

≤B ac -----------4分 ∴3tan 3

3

≤≤B -----------6分

∴

3

6

π

π

≤

≤B ---------- 7分

（Ⅱ）)

4

sin(1

2cos 2sin )(π

+

++=

B B B B f

)cos (sin 2

2

cos 2cos sin 22B B B B B ++=

B cos 22= -----------9分

∵

36π

π

≤

≤B

∴2

3

cos 21≤≤B -----------11分

∴6)(2≤≤B f -----------12分

∴)(B f 的值域是]6,2[ ----------13分

18、(本小题满分14分)

解法一：(Ⅰ)∵四边形ACDE 是正方形，

EC AM AC EA ⊥⊥∴, -----------1分

∵平面⊥ACDE 平面ABC ，AC BC ⊥

，

⊥∴BC 平面EAC ． -----------2分

?AM Θ平面EAC ，

⊥∴BC AM ． -----------3分

又C EC BC =I

⊥∴AM 平面EBC ． -----------4分

(Ⅱ)连结BM ，

⊥AM Θ平面EBC ，

ABM ∠∴是直线AB 与平面EBC 所成的角． -----------5分 设a BC AC EA 2===，则

a AM 2=，a AB 22=， -----------7分

2

1

sin ==

∠∴AB AM ABM ， ?=∠∴30ABM ．

即直线AB 与平面EBC 所成的角为?30． -----------9分 (Ⅲ)过A 作EB AH ⊥于H ，连结HM ． ⊥AM Θ平面EBC ， EB AM ⊥∴．

⊥∴EB 平面AHM ．

AHM ∠∴是二面角C EB A --的平面角． -------10分

∵平面⊥ACDE 平面ABC ， ⊥∴EA 平面ABC ．

⊥∴EA AB ． --------11分

在EAB Rt ?中， EB AH ⊥，有AH EB AB AE ?=?． 由(Ⅱ)所设a BC AC EA 2===可得

B

M E

D

C

A H B

M

E D

C

A

a AB 22=，a EB 32=，

3

22a

EB AB AE AH =

?=

∴． 2

3

sin ==

∠∴AH AM AHM ． ?=∠∴60AHM ． -----------13分

∴二面角C EB A --等于?60． -----------14分 解法二: ∵四边形ACDE 是正方形 ，

EC AM AC EA ⊥⊥∴,，

∵平面⊥ACDE 平面ABC ，

⊥∴EA 平面ABC ， -----------2分

∴可以以点

A 为原点，以过A 点平行于BC 的直线为x 轴，分别以直线AC 和AE 为y 轴和z 轴，建

立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 设2===

BC AC EA ，则

),0,2,2(),0,0,0(B A )2,0,0(),0,2,0(E C ，

M Θ是正方形ACDE 的对角线的交点，

)1,1,0(M ∴． -----------4分

(Ⅰ)= )1,1,0(，)2,2,0()2,0,0()0,2,0(-=-=，

)0,0,2()0,2,0()0,2,2(=-=，

0,0=?=?∴CB AM EC AM ， -----------6分 ⊥∴AM 平面EBC ． -----------7分 (Ⅱ) ⊥AM Θ平面EBC ，

AM ∴为平面EBC 的一个法向量， )0,2,2(),1,1,0(==AB AM Θ，

2

1==

∴AM

AB ．

?=60．

∴直线AB 与平面EBC 所成的角为?30． -----------10分 (Ⅲ) 设平面EAB 的法向量为),,(z y x =，则⊥且⊥，

0=?∴AE n 且0=?AB n ．???=?=?∴.0),,()0,2,2(,0),,()2,0,0(z y x z y x 即?

??=+=.0,

0y x z

取1-=y ，则1=x ， 则)0,1,1(-=． -----------12分

又∵为平面EBC 的一个法向量，且)1,1,0(=，

21-==∴AM

n ，

设二面角C EB A --的平面角为θ，则2

1

cos cos =

=θ

， ?=∴60θ．

∴二面角C EB A --等于?60． -----------14分

19、(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）ax ax ax x ax x f 44)2()(2

32+-=-=Θ

)2)(3

2(3483)( 2--=+-=∴x x a a ax ax x f -----------2分

令

f x '()=0得0)2)(3

2(3=--x x a

∴x =

2

3

或x =2 -----------4分 ()Θf x ax x x R ()()=-∈22

有极大值32，又f ()20=

∴

f x ()在3

2

=

x 时取得极大值 -----------6分 273227

32)32(===∴a a f ， -----------7分

（Ⅱ）由)2)(3

2

()( --=x x a x f 知：

当0>a 时，函数f x ()在]32,2[-上是增函数，在]1,3

2

[上是减函数

此时，a f y 27

32

)32(max == -----------8分

又对]1,2[-∈?x ，不等式9

16

)(

∴9162732

3

3

0<

当0

2

[上是增函数

又a f 32)2(-=-，a f =)1(，

此时，a f y 32)2(max -=-= -----------11分

又对]1,2[-∈?x ，不等式9

16

)(

1->a ∴018

1

<<-

a -----------13分 故所求实数的取值范围是)2

3

,0()0,181(Y - -----------14分

20、(本小题满分14分)

证明：（Ⅰ）∵n a 是1与n S 的等差中项

∴n n S a +=12 -----------1分

又n n a a a S +???++=21 ∴当2≥n 时，1--=n n n S S a

∴)2(1)(21≥+=--n S S S n n n ，即)2(121≥+=-n S S n n -----------3分 ∴)2)(1(211≥+=+-n S S n n

∴

)2(21

1

1≥=++-n S S n n

又1112S a +=，则111==a S

∴}1{+n S 是首项为2，公比为2的等比数列 -----------5分

解：由前述知数列}1{+n S 是首项为2，公比为2的等比数列．

∴n

n S 21=+ ∴12-=n

n S

∴当11

122

2,2---=-=-=≥n n n n n n S S a n 时 ∴)1(21

≥=-n a n n -----------8分

（Ⅱ）解：∵1

2-=n n a

∴n

n a 21=+ -----------9分

∴2log 1+=n a n b

n

1

=

-----------11分 ∵01

4

,01>+>+n n ，

∴1

2

)5()(+++=

n n b n b n f

51

4

)1(1

+++

+=

n n 9

1

≤

-----------13分 当且仅当n = 1时，取等号 ∴)(n f 的最大值是

9

1

． -----------14分 21、(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)要使得不等式0()0f x m -≤能成立，只需min ()m f x ≥

求导得：

12(2)

()2(1)2

11x x f x x x x +'=+-=

++

-----------2分 ∵函数()f x 得定义域为(1,)-+∞， 当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，

∴函数()f x 在区间(1,0)-上是减函数； -----------3分 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，

∴函数()f x 在区间(0，+∞)上是增函数． -----------4分 ∴min ()(0)1f x f ==，

∴1m ≥，故实数m 的最小值为1． -----------6分 (Ⅱ)由2

()(1)2ln(1)f x x x =+-+得：

22()(1)2ln(1)()12ln(1)g x x x x x a x x a =+-+-++=+-+- -----------7分

∵函数2

()()g x f x x x a =---在区间[]0,2上恰有两个不同的零点

∴方程(1)2ln(1)x x a +-+=在区间[]0,2上恰有两个相异实根．-----------8分

设()(1)2ln(1)h

x x x =+-+

∵()21

111

x h x x x -'=-=++， 列表如下：

∵()()021(32ln3)2(ln31)2(ln 1)0h h e -=--=->-= ∴()()02h

h >

从而有()max 1h

x =，()min 22ln 2h x =- -----------10分 画出函数()h

x 在区间[]0,2上的草图（见右下）

易知要使方程()h

x a =在区间[]0,2上恰有两个相 异实根，

只需：22ln 232ln3a -<≤-， 即：(]22ln 2,32ln3a ∈

-- -----------12分