高中数学必修5《正弦定理》说课稿

正 弦 定 理

人教A 版普通高中课程标准实验教科书（必修5）

第一章第一节《正弦定理》（第一课时）

正弦定理是三角形边角关系的量化，是解三角形的重要依据之一。这一内容仅一课时，我主要针对正弦定理的发现、证明与应用谈谈我对教学的理解与设计，敬请各位专家斧正。

一、教材分析

1.1教材的地位与作用 三角形是最基本的几何图形，有着极其广泛的应用。在实际问题中，经常遇到解任意三角形的问题，因此必须进一步学习任意三角形的边角关系和解任意三角形的基本方法。本节课是在学生已经于初中学习了直角三角形的边角关系和解直角三角形的方法，在高中学习了三角函数与平面向量的基础上的深化拓展。故在此引入正弦定理，使得“解三角形”的学习变得合情合理，学生在思想上易于接受。 1.2教材的主体结构

编者从四个层次阐述正弦定理，层层递进，不断深化。

编者的意图如何呢？通过提出问题：如何量化“大边对大角，小边对小角”，引发学生思考；从特殊的三角形——直角三角形入手，将结论推广到一般的情况——任意三角形，让学生感受“由特殊到一般”的数学思想方法；分三种情况证明定理，让学生体会“分类讨论”和“先猜想，后证明”的方法。从而建立严谨的数学知识体

如何量化“大边对大角，小边对小角”

直角三角形的边角关系

正弦定理的证明 定理应用

推广 猜想

系，使得探究的过程变得简单而有效。

1.3教学的重点难点

重点:正弦定理的发现与证明，及利用定理解三角形。

难点:锐角三角形中正弦定理的证明；已知“两边及其一边对角”解三角形的情况。难点依据：在证明方面，锐角和钝角的情况需要类比直角三角形，而学生在理论证明中的转化能力较弱；在应用方面，解两边及其一边对角的情况时，需要应用正弦函数的图像，学生综合判断能力不强。因此构成了学生对本节课学习的难点。

1.4教学的三维目标

1.知识与能力目标:①掌握正弦定理,能利用正弦定理解三角形,判断解的个数;

②培养学生归纳、猜想、论证的能力；

③培养学生的创新意识与逻辑思维能力。

目标分析：此目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，符合新课标的要求．

2.过程与方法目标:①分析研究正弦定理的探索过程；

②体验先猜想后证明，由特殊到一般，分类讨论的数学思想方法。目标分析：此目标体现了知识的演绎过程与数学思想方法的渗透，以达到培养学生良好思维品质，发展数学能力的目的。

3.情感态度价值观目标:通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，激发学生的求知欲望，给学生成功的体验，感受数学活动的探索与创造，数学的严谨性以及数学结论的确定性。

目标分析：此目标是在教学过程中通过以上两个目标实现的，体现了使学生获得知识、培养能力的同时，更加注重情感态度的体验，与价值观的正确导向。

二．教法分析

建构主义认为:教师的角色是学生建构知识的引导者和帮助者。在教学过程中，学生为主体,教师为主导。教师通过创设问题情境，引导学生质疑、探索、反思，为学生的学习搭建支架。学生由问题开始，以"正弦定理的发现"为基本内容，从而得出猜想、证明猜想，并逐步得到深化。

因此为了有效的突出重点，突破难点达到三维教学目标，本节课主要采用支架式教学法。

在这里问题支架的核心，通过提出问题，分析问题，解决问题，来演绎知识的发生，发展和应用，组织并推动学生的学习。

三．学法分析

教与学是和谐统一的整体，是相互促进的体系。学生以自主探究,合作交流为主要学习方式,结合“观察——归纳——猜想——证明——应用”的方法将直角三角形、三角函数的知识应用于对任意三角形边角关系的探究。体现学生的主体地位，提升学生的数学思维能力。

四．教学过程设计及简要分析

遵循“最近发展区”的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过正弦定理的发现,证明和应用过程，让学生体会知识的发生和发展，帮助学生主动建构知识体系。

1. 创设情景、建立模型

从学生熟悉而有兴趣的例子出发引导学生建立

数学模型并探索结论；

2、归纳猜想、证明定理 从特殊情况——直角三角形入手，引导学生观察归纳，得出并推广猜想，最后证明；

3、结构研究、分析定理 从形式上分析定理的结构，让学生体会数学的形式美与变化；

4. 例题练习、应用定理 从简单题型切入，回归到情境问题。让学生通过应用正弦定理，加深对定理的认识；

5. 小结反思、巩固提高

引导学生整理新知，归纳方法，将知识形成体系，从而内化为数学能力。

（一） 创设情境，建立模型

兴趣是最好的老师，如果一堂课有一个良好的开头，那就意味着成功的一半。因此，我从学生熟知的国际时事中的索马里海盗问题创设情景，建立模型，为学生提供问题之源，把学习任务转移给学生，为新知的建构做好铺垫。

问题一：索马里海盗日益猖獗，为保护商船我国坚决予以出兵打击海盗。某日

提出问题 分析问题

反思升华 解决问题

我A 舰队突然发现其正东处有一海盗舰艇B 正以30节的速度朝正北方向追击商船,我方决定全速拦截海盗。已知我方舰队A 的速度为60节，问怎样确定航行角度使得两舰恰好相遇？

分析一：学生一般会想到利用直角三角形中，300

所对的边等于斜边的一半，得A=300

。问题思路简单，学生信心十足。顺利的解决，为下面的问题变换打下了良好的基础。

问题二：如果其他条件不变，问题一的划线部分改为“海盗舰艇朝北偏西400

方向追击商船”，此时我方舰队A 又如何确定航行角度，使得两舰恰好相遇？

分析二：由特殊情况到一般情况，激发学生迫切解决问题与探索一般规律的愿

望。学生多数会想到做高转化为直角三角形，但限于非特殊角的存在,学生较难计算.

将实际问题转化为数学问题，建立模型，并提出“解三角形”的概念。

（二） 归纳猜想，证明定理

通过以上的猜想，学生自然会去思考猜想的证明方法。因此，及时强调将猜想转化为定理必须经过严格的理论证明，让学生牢固树立“先猜想后证明”的数学思想方法，引导学生进一步探索正弦定理。

1.回顾直角三角形的边角关系，要求学生写出三个角的正弦式，观察特点； 学生得出结论有：2

(1)sin sin B sin C ;ab A c ??=

3(2)sin sin B sin C;

abc c A =??

教师引导

学生归纳 学生观察 学生猜想

（问题一）

（问题二）

C C

2.引导学生从sin sin B sin C a b c

A c c c

=

==，，的表达式中发现联系（都有C ）

； 3.继续引导学生观察特点得sin sin B sin C

a b c

c c c A ===

，，，故对直角三角形有sin sin B sin C

a b c

A ==

。 4.提出猜想 sin sin B sin C

a b c

A ==

是否对任意三角形都成立？(学生探寻证明) 5.证明定理——分直角、锐角和钝角三种情况

锐角的情况由学生叙述，老师板书；钝角由学生课后完成。

提出问题：是否有其他方法证明正弦定理？引起学生一题多解的好奇心。 （教师提示可用向量的方法来证明）

【设计意图】爱因斯坦说过：发现问题比解决问题更重要。这样设计是通过教师的引导，让学生从熟知的特殊情况----直角三角形入手，主动探究、合作交流：观察-归纳-猜想，从而体验知识的发生，为一般性证明打下良好的基础,并感受“由特殊到一般”的数学思想方法。体现学生为主体，教师为主导的教学思想。

（三） 结构研究，分析定理

正弦定理（law of sines ）：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

即

sin sin B sin C

a b c

A == （1）等价于 sin sin

B a b A =，sin B sin

C b c =，sin sin C

a c

A =；

（2）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正

数，即存在正数k 使

sin A sin B sin C

a k

b k

c k ===或，

sin A sin B sin C ta tb tc

=== 1

t k

=

；

B A C

a

c b

D

b

s i n A =

C D

a

s i n B =

C D

b

C D =

s i n A a C D =

s i n B

a b

=

sinA sinB 过

C 作C

D ⊥AB ，则有 同理可得，过B 作B

E ⊥AC ，则有

a c

=

sinA sinC

证：

【设计意图】通过教师引导学生对定理进行结构分析。让学生发现公式的对称美，学会公式的变形用法，体会从形式上研究公式变化，提升对定理的认识。 辨析题：

(1),;ABC a b c A B C ?>>>>在中，若则

()

T (2),sin sin ;ABC A B B ?>>在中，若则A ()T (3)sin sin ,;

ABC B A B ?>>在中，若A 则

()

T

【设计意图】通过此题让学生体会：正弦定理是如何量化“大边对大角，小边对小角”，并进一步理解课本P3的原话:由正弦定理在区间上的单调性可知，正弦定理很好的描述了任意三角形边与角的一种数量关系。

（四）例题练习，定理应用(1)

例1 在△ABC 中，若A=45°,B=60°,a=8cm ，解三角形.

内o o

o o o

o

O

O

解：根据三角形角和定理，C =180-(A +B)=75a b 8b

由正弦定理=得=

sinA sinB sin45sin608 即b =sin60=46(cm)sin45

asinC 8sin75 同理可得c ===43+4(cm)

sinA sin45 【设计意图】以上环节是对正弦定理的猜想与证明，学生迫切需要练习加以巩固。因此我首先用例1示范正弦定理的应用,并将题型归纳为：已知两角和一边解三角形。在解答过程中，强调解三角形必须画图，标出已知边和角，并注意解答格式的规范性。例1由教师板书。

例2 在△ABC 中,已知a= 3，b=2 ，B=

4

π

，解三角形.

asinB 3

解：根据由正弦定理sinA =

=b 2

π2π

∵0

33π

（1）A =......

32π

（2）A =......

3

600

C

B

A

a

b

450

C

B

A

a

c

b

8

≈o

o o O O 30tsin50

解：由正弦定理sinA =

0.385

60t

∵0

≈≈

【设计意图】例题2是改编于教材P4的例题2，目的是数据便于计算，学生易于接受。此题让学生明确利用正弦定理求已知两边及其一边对角时解三角形有两种可能,并熟练掌握。在这里角A 有两解的情况是难点，学生容易遗漏一解，因此我设计将正弦函数的图像画出，便于学生思考，突破难点。

（四）例题练习，定理应用(2)

练习：索马里海盗日益猖獗，为保护商船我国坚决予以出兵打击海盗。某日我A 舰队突然发现其正东处有一海盗舰艇朝北偏西400

方向追击商船,我方决定全速拦截海盗。已知我方舰队A 的速度为60节，问怎样确定航行角度使两舰恰好相遇

【设计意图】最后的练习回到打击索马里海盗问题，让学生学以致用。一方面与例题2作比较，阐述已知两边及其一边对角解三角形时只有一解的情况，对例题2的情况加以补充,无解的情况则由学生课后自己探索，从而对题型归纳完整；另一方面，抓住时机利用时事适当地进行爱国主义教育，激发学生的爱国热情，加强学生努力学习的责任心，在教学中进行德育渗透，寓德于教。

另外，在教学过程中加强数学教学与信息技术的结合，在解三角形的过程中鼓励学生利用计算器进行一些繁杂的计算，更好、更快地实现对新知的探索与发现。

（五）小结巩固，提高认识

1.正弦定理具有对称和谐美；

2.“先猜想后证明”是一种常用的科学研究问题的思路和方法;

3.正弦定理可以解决的三角形的类型：两角一边，两边一对角类型的三角形;

4.在解两边和其中一边对角的三角形时可能出现两解、一解、无解的情况。

x

o

-1

2

ππ

2

3π

π

21

y