第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。
一、知识网络
定积分???
????
??
?
????
????????Γ?????-函数审敛法和计算
定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用?????????）
（变力作功等其它弧长体积
面积
微元法
二、典型例题
例1 . 求极限 x
x dt
xt x
x 2sin )sin(lim
2302
?→。
[分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在
被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。
[解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2
?2
)2(x ，4
sin x ?4
x ，)0(→x ，因此再
利用洛必达法则有
原式=230
20
)2(sin 1lim
2
x x dx u x x x ?
→=54060
2024sin 2lim 4sin lim 2x
x x x du u x x x →→=? =12
1
12lim 440=→x x x
例2. 求极限 n
n n n n n
)2()2)(1(1lim
???++∞→.
[分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和
式
∑=?n
i i
i
x
f 1
)(ξ。
[解] 令 n
n n n n n x )2()2)(1(1???++= 则 n n n n n x n ln )]2ln()2ln()1[ln(1
ln -+???++++=
=]ln )2ln()2ln()1[ln(1
n n n n n n -???++++ =)]1ln()21ln()11[ln(1n
n n n n ++???++++ 因此 ?+=
∞
→1
)1ln(ln lim dx x x n n =12ln 2-
所以 原式=e
e 4
1
2ln 2=
-
例3．设)(x f 在[]b a ,上连续，B b a A <<<,
求证 ?-=-+→b
a h a f
b f dx h x f h x f )()()
()(lim
0.
[证明1] ???-+=-+b a b
a
b a dx x f h dx h x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(′ 令 u h x =+，则?
?++=+h
b h
a b a
du u f dx h x f )()(
从而
?
??-=-+++b
a
b
a
h b h a dx x f h dx x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(
=??++-h
a a
h b b dx x f h dx x f h )(1)(1 由积分中值定理及)(x f 的2的性知 )()(1lim
0b f dx x f h h b b h =?+→ )()(1lim 0a f dx x f h h
a a
h =?+→ 故原题得证.
[证明2] 由证明1可知
?
??-=-+++→→b
a
b
a
h
b h
a h h h
dx
x f dx x f dx h
x f h x f )()(lim )()(lim 00
=)]()([lim 0
h a f h b f h +-+→ ( 洛必达法则 ) =)()(a f b f -
例4．设)(x f 在[a ，b ]上连续，试证
?
≤≤+∞→=1
1
01)(max ))((
lim x f dx x f x p
p
p
[证明] 记
A x f x =≤≤)(max 1
0 ，由连续性可知，存在 ],[0b a x ∈，使 )(x f A =.
当0>p 时 ?
?=≥1
1
11)())((
A dx A dx x f p
p p
p
对0>?ε，选取 0>δ，使得当 δ<-<00x x 时，有 2
)(ε
-
≥A x f
设 且,100≤≤≤≤βαx 0 <βα-<δ
则 ?
?≥1
11))(())((
β
α
p
p
p
p
dx x f dx x f
?-≥β
αε
p
p
dx A 1])
2([
=p
A 1))(2
(αβε
--
因为 当 +∞→p 时,1)(1→-p
αβ,故当p 充分大时有 ?
-=--≥1
12
)2())((
εε
εA A dx x f p
p
因此当 p 充分大时有 A dx x f A p
p
≤≤-?
11
))((ε
由ε的任意性知 ?
=+∞
→1
1))((
lim A dx x f p
p
p
例5. 计算
?+-1
a r c t a n dx x
a x
a [分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限. [解法1] 令 x
a x
a t +-=a r c t a n
则 t a t
t
a x 2cos tan 1tan 122=+-?
=, 故 原式=
?0
4
)2cos (πt a td =t
at 2cos │04
π
+dt t a
?
40
2cos π
=
2
a [解法2] 令 t x cos = 原式=
2cos 2cos 2cos 2020
20
2a dt t a t t a t d t =-?=??πππ [解法3] 记
x
a x
a x +-=
)(ω ,分部积分得 原式=?
+-+-
a
a
dx x a a
x
x x 0
2
20)
(22111)(arctan ωωω =
?
-a
dx x a x
2
22=2a
例6.
计算 ?+1
02
)1(dx x xe x
[分析] 定积分的计算常常需要一定的特殊方法和技巧,这些方法和技巧只有通过平时多做习题并注意体会和积累来掌握.
[解法1] 原式=??++++-=+-1
0101
01111dx x
xe e x xe x d
xe x x x x
=12
210-=+-
?e dx e e x [解法2] 原式=?+-+1
02)
1()11(dx x e x x
=??+-+102
1
0)1(1dx x e dx x e x
x =??+-+1
0102
)1(11dx x e de x x x =
-+1
1x e x
?+1
02)1(dx x e x +?+102)1(dx x e x
=
12
-e
例7.
证明柯西积分不等式，若)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积，则有
???
≤b
a
b a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f ])(][)([])()([
2
[分析] 这是代数中欧几里德空间中有关内积的柯西不等式的一个应用，证明方法也类似. [证明] 对任意的实数λ有
???+=+b
a
b
a
b
a
dx x g x f dx x g
dx x g x f )()(2)()]()([2
2
2λλλ
+
0)(2≥?
b
a
dx x f
上式右端是λ的非负的二次三项式,则其判别式非正,即
0])(][)([])()([222≤-???b
a
b
a
b a
dx x g dx x f dx x g x f
故原式得证 例8.
设)(x f 和)(x g 都在[a ，b ]上可积,试证
2
12
2
12
2
12
])([])([]))()(([???+≤+b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f
[证明]
?+b
a
dx x g x f 2
)]()([ =?
++b
a dx x g x f x g x f )]()()][()([
=
??
+++b
a
b
a
dx x g x f x g dx x g x f x f )]()()[()]()()[(
2
12
2
1
2
]
))()(([])([??+?≤b
a
b
a
dx x g x f dx x f
2
122
12]))()(([])([??+?+b
a
b
a
dx x g x f dx x g (柯西不等式)
=]))(())([(
]))()(([2
12
2
12
2
12
??
?
++b
a
b
a
b
a
dx x g dx x f dx x g x f
故 2
12
2
12
2
12
])([])([
]))()(([??
?
+≤+b
a
b
a
b
a dx x g dx x f dx x g x f
例9．证明
0s i n 20
2>?
π
dx x
[证明] 令 u x =2
??
=
ππ
2020
2sin 21sin du u
u
dx x ]sin sin [2120??+=πππdu u
u du u u
（第二个积分中令 t u ==π）
]sin sin [2100??++=πππ
dt t t du u u
?+-=ππ
0sin )11(21udu u u 当 π<
>+-u u u π
故 0sin 20
2>?
π
dx x
例10．设)(x f 在 [0，a ] 上连续,且0)0(=f , )(max 0x f M a
x ≤≤= ,
证明
2
)(2
Ma dx x f a
≤?
[分析] 应该先建立)(x f 与f ′)(x 之间的关系，然后再“放大”估值，拉格朗日微分中值定理和牛顿—莱布尼茨公式都可以建立两者之间的关系. [证明1] 由0)0(=f 和微分中值定理有
f f x f +=)0()(′f x =)(ξ′x )(ξ, ),0(x ∈ξ. 故
2
2
)()()(a M xdx M xdx f xdx f dx x f a
a a
a
=
≤≤'=
???
?
ξξ [证明2] 由0)0(=f 和牛顿—莱布尼茨公式有
)()0()()(0
x f f x f dt t f a
=-='?
,
于是 Mx Mdt dt t f dt t f x f x
x x
=≤'≤'=???
)()()(,
故 2
2
)()(a M Mxdx dx x f dx x f a
a a
=
≤≤???
.
例11. 设函数)(x f 在 [0,
π]上上连续,且0)(0=?π
dx x f ,
0cos )(0
=?
π
xdx x f 。试证：在
（0,
π）内至少存在两个不同的点1ξ和2ξ，使 0)()(21==ξξf f .
[分析] 如对)(x f 的原函数 ?
=
x
dt t f x F 0
)()(能找到三个点使0)(=x F ，则使用两次罗尔
定理就可以得两个ξ（即1ξ和2ξ），使 0)()(21==ξξf f .
[证明] 令?
=x
dt t f x F 0
)()(，π≤≤x 0，则有 0)0(=F ，0)(=πF .
又 0=
)(cos cos )(0
x dF x xdx x f ??=π
π
=?
+π
π
0sin )(]cos )([xdx x F x x F
=
?
π
sin )(xdx x F
对
?=x
tdt t F x 0
sin )()(?在[0, π] 上使用拉格朗日微分中值定理得
0=
ξξπ?π?π
sin )()0()(sin )(0
F xdx x f =-=?
, 0<ξ<π.
因为0sin ≠ξ,所以 0)(=ξF .
再对)(x F 在区间 [0, ξ], [ξ, 0] 上分别应用罗尔定理, 知至少存在∈1ξ(0, ξ) ,
2ξ∈(ξ, π), 使0)()(21='='ξξF F ,即 0)()(21==ξξf f .
例12. 设)(x f 在[0，1]上连续且单调减，试证对任何)1,0(∈a 有 ??≥a
dx x f a dx x f 01
)()(
[证明1]
?
?-a
dx x f a dx x f 0
1
)()(
=
??-a dx x f a dx x f 0
1
)()(
??
--=1
)()()
1(a
a
dx x f a dx x f a
=)()1()()1(βαaf a af a --- =)]()([)1(βαf f a a -- 其中 1,0≤≤≤≤βαa a
又)(x f 单调减，则)()(βαf f ≥，故原式得证. [证明2]
?
?-a
dx x f a dx x f 0
1
)()(
=
??-a dx x f a dx x f 0
1
)()(
??
--=1
)()()
1(a
a
dx x f a dx x f a
≥)()1()()1(a af a a af a ---
=0 故原得证.
[证明3] 令at x = ?
???=≥=a
dx x f a dx t f a dt at f a dx x f 0
1
10
10
)()()()(
故原式得证. [证明4] 设=
)(a F ?
?-a
dx x f a dx x f 0
1
0)()(
?-='10
)()()(dx x f a f a F =)()(ξf a f -, )1,0(∈ξ.
故当0)(,0≥'≤≤a F a ξ ，)(a F 单调增，0)0()(=≥F a F ; 当 )(,0)(,1a F a F a ≤'≤<ξ单调减, 0)1()(=≥F a F . 故原不等式得证.
例3. 设?
?+-=2
1
2
).(,)(2)()(x f dx x f dx x f x
x x f 求
[解] 原等式两端分别从0到1和从0到2积分得
?????+?-=1
01
20
10
10
2)(2)()(dx x f dx x f xdx dx x dx x f
?
????+?-=2
01
20
20
2
2
)(4)()(dx x f dx x f xdx dx x dx x f
即
???+-=102
01
0)(2)(2131)(dx x f dx x f dx x f ???+-=102020)(4)(238
)(dx x f dx x f dx x f
从以上两式可解得
31)(1
0=
?dx x f ，43)(20=?dx x f 故 3
234)(2
+-=x x x f .
例14. 设)(x f 定义在],[b a 上，且对],[b a 上任意两点y x ,及10<<λ，有
)()1()(])1([y f x f y x f λλλλ-+≤-+
试证 .2)()()(1)2(
b f a f dx x f a b b a f b a +≤-≤+? [证明]
?
?
+
=+b
a
b
a a
dx x f dx x f 2)()(?
+b
b a dx x f 2
)(
在第二个积分中令 t b a x -+= 得
?
?
+-++=b
a
b a a
dx x b a f x f dx x f 2)]()([)(
?
+-=+≥b
a
b
a f a
b dx b a f )2
()()2(
2
不等式左端得证.
令 a
b x
b t --=
(10≤≤t ) 得
??
-+-=1
])1([)()(dt b t at f a b dx x f b
a
?
-+-≤1
0)]()1()([)(dt b f t a tf a b
=2
)
()()(a f b f a b +-
不等式右端得证. 故不等式得证.
例15. 没)(x f 在 [0, 1]上连续且0)(>≥a x f . 试证
??≤1
10
)(ln )(ln dx x f dx x f .
[证明1] 由于)(x f 连续且0)(>≥a x f ,因此,)(ln x f 在 [0, 1] 上可积,故有
=?
1
)(dx x f ∑∑==∞→∞
→??
? ??=???
??n
k n k n n n k f n n k f n
11ln 1lim ln
1
lim ????????? ??≤∑=∞
→n k n n k f n 11ln lim =??
?
?????? ??∑=∞→n k n n k f n 11lim ln
=?
1
)(ln
dx x f
[证明2] 设
a dx x f =?
1
)(，则0>a ，又曲线)(x f y =下凹，则其上任一点的切线都在曲
线上方，而在a x =处的切线为
)(1
ln a x a
a y -=
- 对任一点)(t f x =，都有
≤)(ln t f ])([1
ln a t f a
a -+ 则 ???-+≤101
10])([1ln )(ln dt a t f a adt dt t f
1)(1ln 1
-+=?dt t f a a
?
==1
)(ln
ln dt t f a
故
??
≤10
1
)(ln )(ln dt t f dt t f
[证明3] 易证当0>t 时有不等式
1ln - = 1 )() (dx x f x f t ，得 < -?1 )(ln )(ln dx x f x f ? 1 )() (dx x f x f -1 上式两边从0到1积分得对x 积分得 ??<-1 1 )(ln )(ln dx x f dx x f 1)()(10 1 0-? ?dx x f dx x f 故 ?? ≤10 1 )(ln )(ln dt t f dt t f 例16．求曲线x y =的一条切线l ，使该曲线与切线l 及直线0=x ，2=x 所围成的图形 面积最小. [解] 设切点为),(t t ,则切线l 的方程为 )(21t x t t y -= - 即 2 21t x t y + = 面积为 dx x t x t t S ???? ?????-???? ??+=2 0221)( 3 2 41 - +=t t 令 02 121)(2 1 23 =+-='--t t t S 得驻点 1=t .又0)1(>''S ,故1=t 时S 取最大值. 此时l 的 方程为 2 1 2+=x y . 例16. 设函数)(x f 在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0, 1)内大于零,并满足 2 2 3)()(x a x f x f x + =' (a 为常数) , 又曲线)(x f y =与0,1==y x 所围成的图形S 的面积值为2,求)(x f ,并问a 为何值时,图形S 绕x 轴旋转一周秘得的旋转体的体积最小. [解] 由条件可得, 当 0≠x 时有 23)()()(2a x x f x f x x x f =-'=' ?? ???? 故 Cx x a x f += 2 2 3)( 由)(x f 边连续性知0)0(=f .又由已知条件得 2==??? ???+=??? ??+?1 0231 02212123Cx ax dx Cx x a 2 2C a + 故 a C -=4 因此所求函数 x a x a x f )4(2 3)(2 -+= 旋转体的体积为 []ππ)3 1631301( )()(22 1 0++==?a a dx x f a V , 令 0)31151()(=+='πa a V ,得 5-=a .又 015 1 )5(<= -''V ,故知当5-=a 时,旋转体体积最小. 例17. 计算 ? --+3 2 232dx x x [分析] 计算带绝对值的被积函数的积分,先脱掉绝对值.脱掉的方法有两种,一是令含绝对值部分的函数为零,求出其实根,以其实根为分段点,将被积函数化成分段函数;二是利用函数的奇偶性、周期性等性质，使绝对值符号脱落. [解法1] 先令0=x 得分段点0=x .于是 原式= ??-++---3 20 2 2 3232dx x x dx x x , 再分别令 032,0322 2 =-+=--x x x x ,易得分段点1,1=-=x x ,于是得到 原式= ?? -----+---0 121 2 2)32()32(dx x x dx x x + ?? -++-+-3 1 21 2 )32()32(dx x x dx x x 3 49= . [解法2] 注意到322 -+x x 为偶函数,因此有 原式= ?? -++-+-3 2 22 2 2 )32(32dx x x dx x x =?? -++-+3 2 22 2 )32(322 dx x x dx x x =? ? ?-++ -++-+-2 13 2 22 1 2)32()32(2)32(2dx x x dx x x dx x x = 3 49. 例18. 证明 n n n ln 11 31211)1ln(+<++++<+ . [证明] 令x x f 1 )(= ,显然 0>x 时,)(x f 单调减少,于是 = ? +1 1 )(n dx x f ?2 1)(dx x f +?3 2 )(dx x f ++ ? +1 )(n n dx x f < ? 2 1 )1(dx f +?3 2 )2(dx f ++ ? +1 )(n n dx n f =)()2()1(n f f f +++ =n 131211++++ . 即 <+)1ln(n n 1 31211++++ . 又 1+ ? n dx x f 1 )(=1+?21 )(dx x f +?3 2 )(dx x f ++ ?-n n dx x f 1 )( >1+ ? 2 1 )2(dx f +?32 )3(dx f ++ ? -n n dx n f 1 )( =1+)()3()2(n f f f +++ =n 1 31211++++ . 即 1+n ln >n 1 31211++++ . 故原不等式得证. 例19. 已知 π=? +∞ ∞--dx e x 2 , 计算 ? +∞ ---1 22 dx xe x x . [解] ?+∞ ---122 dx xe x x = ??+∞-+∞-+-+-+-+?11)1(2)1()1()1(2 12 2x d e e x d e e x x =??+∞-+∞--?00 22 221dt e e dt e e t t (令1+=x t ) =)1(2 221ππ-=-e e e . 例20. 已知 ∑∞ ==1 2 2,61k k π计算 ? +∞ -0 3) 1(1 dx e x x π . [解] 令x y π = , 则 y x π = , dy y dx 2 π - =, 于是有 原广义积分 () ? ∞ +??? ? ??--??? ? ??= 23 11dy y e y I y ππ = ? ? ∞ +--∞ +-=-0 2 2 1111 dy e ye dy e y y y y ππ, 由于 当0>y 时,11<=-y y e e , ∑∑∞ =-∞=-==-0 0)(11k ky k k y y e e e , 故 ? ∑∞ +∞ =--?= 2 )(1 dy e ye I k ky y π = ?∑∞+∞ =-0 1 2 1 dy ye k ky π = ∑? ∞ =∞ +-1 2 1 k ky dy ye π=∑∞ =+∞ --??????--10 221 k ky ky k e k ye π =∑∞ ==?=122226 1 6111 k k πππ. 例21. 设 ? -= x t dt e x f 0 2 )(, 求 ? 1 ) (dx x x f . [解] 显然 ? 1 ) (dx x x f 是个瑕积分,由分部积分法得 ? 1 )(dx x x f =?10)2()(x d x f =2?'-10 1 0)(2)(dx x f x x f x =-02 1 10 1 )21(x x x e dx e dx x e x ---=-=? ?? =11 --e . 例22. 设)(x f 在[0, 1] 上连续,且单调减少,0)(>x f ,证明: 对于满足10<<<βα的任 何βα,有 ??>β α ααβdx x f dx x f )()(0 . [分析] ??>βαα αβdx x f dx x f )()(0 可得 ??>β α ααβdx x f dx x f )()(0, 将 β 换成x (α≥x ),于是辅助函数 ?? -=x dx x f dx x f x x F α α α)()()(0 . [证明] 令 ?? -=x dx x f dx x f x x F α α α)()()(0 , (α≥x ) ???-=-='αα αα0 )()()()()(dx x f dx x f x f dt t f x F = []0)()(0 >-?dt x f t f α , ()(x f 单减) 故)(x F 单调增加, 又0)()(0 >=? a dx x f a a f （0)(,0>>x f a ） ，因此 0)(>βF ， 即 ??>β α α αβdx x f dx x f )()(0 . 例23. 求一列积分 (1) ? += 20 cos sin sin π dx x x x I (2) ? += 20 1999 ) (cot 1π x dx I (3) ? ++--= 2 2 44dx x x x I [分析] 作变量替换,使分母不变,而使分子为分母中另一项的积分.对前后两积分求和即可求积分值. [解] (1) ?--+--= 2 )() 2 cos()2sin() 2 sin(π π π π du u u u I (令 x u -= 2 π ) ==+?2 0sin cos cos π du u u u ?+20sin cos cos π dx x x x , 故 =I 2??==++=2 0202 cos sin cos sin π π πdx dx x x x x I , 所以 4 π =I . [解] (2) = I )()] 2 [cot(11 2 1999 du u --+? π π ( 令 x u -= 2 π ) =?+201999)(tan 1πu dx =?+201999 ) cot 1(1π u du =du u u ?+20199919991)(cot )(cot π=?+2019991999 ) (cot 1)(cot π dx x x 故 I 2? ?==++=2 20 1999 19992)(cot 1)(cot 1π π πdx dx x x , 所以 4 π = I . [解] ? --+++= 02 )(422 du u u u I (令 24+=-u x 即 x u -=2) ? ++-+=2 2 42 dx x x x 故 = I 2? ++-++-2 2 42 4dx x x x x =220 =?dx , 所以 1=I . 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值 ),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤 §4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： ?b a dx x f )( 例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形 b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为 ?-=b a dx x f x f A |)()(|21 成人高考（专升本）高等数学二 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即 1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b 第十章 定积分的应用 §1.平面图形的面积 习题 1. 求由抛物线2 22x y x y -==与所围图形的面积。 解：设所围图形的面积为S ，如图10-1 解方程组 2 2 2y x y x ?=??=-?? 得两曲线两交点坐标为(1,1),(1,1)A B -，则积分区间为[1,1]-， 图形面积为 11 221 1 1 221 (2)[(2)]83 S x dx x dx x x dx ---=--=--= ??? 2. 求由x y ln =与直线 ,10,101 == x x 和10,0x y ==所围图形的面积。 解：设所围图形总面积为S ， 110 11 10 1 101110 (ln )ln (ln ) (ln ) 1 (99ln1081)10 S x dx xdx x x x x x x =-+=--+-= -?? 3. 抛物线x y 22=把圆 822=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比。 解：设12,S S 分别表示被抛物线分割成的两部分圆面积，则 2 2 12244 )28 8cos 3423 y S dy d π πθθπ--==- =+ ?? 2184 823463 S S ππππ=-=--=- 124 2323492 63 S S ππππ+ += =-- 4. 试证摆线33cos ,sin (0)x a t y a t a ==>所围图形的面积（图10—7）。 解：设所围图形的全部面积为S ，取积分变量为t ，当t 由2 π 变到0时，就得到曲线在第一象限的部分， '2 2322 2 4220 224()()12sin cos (sin )12sin (1sin )3153112()4226422 83 S y t x t dt a t t t dt a t t dt a a πππ ππ π==?-=?-???=?-????=??? 5. 求心形线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。 解：设所围图形面积为S ，取积分变量为θ，当θ由0变到π时，即得到曲线在x 轴上方部分，由极坐标系下面积的积分表达式有： 2 202220 2 212(1cos )2(12cos cos )31 [2sin sin 2]2432 S a d a d a a ππ πθθ θθθ θθθπ=?+=++=++=?? 6. 求三叶形线)0(3sin >=a a r θ所围图形的面积。 解：2 223 3 013sin 63(sin 3)()2224 4 a S a d a ππθθπ θθ=?= -= ? 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5. 掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n }，数列中每一个数称为数列的项，第n 项x n 为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n -1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3） （递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n ，都有一个x n 与之对应，所以说数列{x n }可看作自变量n 的函数x n =f （n ），它的定义域是全体正整数，当自变量n 依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。 在几何上，数列{x n }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x 1,x 2,x 3,...x n,…。 2.数列的极限 定义对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 无限地趋于一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列{x n }以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n }没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{x n }以 A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点x n 可以无限靠近点A ，即点x n 与点A 之间的距离|x n -A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n }收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n }收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满足以下条件： （1） ， （2）， 则 定理1.4若数列{x n }单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x →x 0时函数f （x ）的极限 （1）当x →x 0时f （x ）的极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的极限是A ，记作 或f （x ）→A （当x →x 0时） 例y=f （x ）=2x+1 x →1,f （x ）→? x<1x →1 x>1x →1 （2）左极限 当x →x 0时f （x ）的左极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的左边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的左极限是A ，记作 或f （x 0-0）=A （3）右极限 当x →x 0时，f （x ）的右极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的右边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的右极限是A ，记作 或f （x 0+0）=A 例子：分段函数 第十章 定积分的应用 应用一 平面图形的面积 1、积分()b a f x dx ?的几何意义 我们讲过，若[,]f C a b ∈且()0f x ≥，则定积分()b a f x dx ? 表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积。当()b a f x dx ? <0时，定积分表示的是负面积，即()b a f x dx ?表示的是f 在[a,b] 上的正负面积代数和。例如 552220 2sin (sin sin )sin 321xdx xdx xdx xdx ππππ π π =++=-=? ???。若计算sinx 在 [0，5 2 π]上的面积，则变为55222002sin (sin sin )sin 325x dx xdx xdx xdx ππ ππππ=+-=+=????。 2、f(x)，g(x)在[a,b]上所围的面积 由几何意义得()()[()()]b b b a a a S f x dx g x dx f x g x dx = -=-? ??，该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下 适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为|()()|b a S f x g x dx =-? 。如果f(x)和g(x)有在积分区域[a,b] 内交点，设为12,x x ，且12x x <，则|()()|b a S f x g x dx = -= ? 2 1 |()()|x x f x g x dx -? 。所以此时求f(x)和g(x) 在[a,b]上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求2y x =，2 x y =所围的面积S 。 例2、求sin y x =、cos y x =在[0,2]π上所围图形的面积。 例3、已知2y ax bx =+通过点(1,2)与22y x x =-+有个交点10x >，又a<0，求2y ax bx =+与 22y x x =-+所围的面积S ，又问a,b 为何值时，S 取最小值？ 例4、求抛物线2 2y x =与直线4x y -=所围成的图形的面积。 例5、有一个椭圆柱形的油灌，某长度为l ，底面是长轴为a ，短轴为b 的椭圆，问油灌中油面高为h 时，油量是多少？（已知油的密度为ρ） 3、参数方程形式下的面积公式 若所给的曲线方程为参数形式：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），其中y(x)是连续函数，x(t)是连续可微函 数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由() ()x x t y y t =??=? ，x 轴及直线x ＝a ，x ＝b 所围图形的面积S 的公 式为||()S y dx t β α= ?。 （αβ<） 例1、求旋轮线：(sin ) (1cos )x a t t y a t =-?? =-? （a>0）一个拱与x 轴所围的图形的面积。 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 第六章定积分的应用 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 §4 旋转曲面的面积 定积分的所有应用问题,一般总可以按分割,近似求和,取极限三个步骤导出所求量的积分形式,但为简便实用起见,也常采用下面介绍的微元法.本节和下一节将采用此法来处理. 一 微元法 在上一章知道若令()()x a x f t dt Φ= ?,则当f(x)为连续函数时，Φ'(x)=f(x),或d Φ=f(x)dx,且Φ(a)=0,()()b a b f x dx Φ=?,现在恰好把问题倒过来：如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的，或者 说它是该区间端点x 的函数，即Φ=Φ(x)，x ∈[a,b]，而且当x=b 时Φ(b)为最终所求的值。 在任意小区间[x,x+?x]?[a,b]上恰当选取Φ的微小量?Φ的近似可求量?'Φ（指用来近似代替?Φ的有确定意义而且可以计算的量。例如当Φ是由函数f(x)确定的曲边梯形的面积时）?'Φ是以f(x)为长，?x 为宽的矩形面积，当Φ是已知平行截面面积A(x)的几何体的体积时，?'Φ是以面积为A(x)d 的截面为底，?x 为高的柱体体积，这里矩形的面积和柱体的体积都是有确定意义的，而且可以利用公式进行计算）。若能把?'Φ近似表示为?x 的线性形式?'Φ≈f(x)?x,其中f(x)为某一连续函数，而且当?x→0时?'Φ-f(x)?x=o(x),则记d Φ=f(x)dx,那么只要把定积分()b a f x dx ?计算出来，就是该问题所 求的结果。 上述方法通常称为微元法，在采用微元法时必须注意以下三点： 1)所求量Φ关于分布区间必须是代数可加的 2)微元法的关键是正确给出?Φ的近似可求量?'Φ。严格来说，?Φ的近似可求量?'Φ应该根据所求量Φ的严格定义来选取，如曲线的弧长公式讨论中在任意小区间[t,t+?t]?[α,β]上微小增量?s 的近似可求为对应的线段的长度?'s=（[x(t+?t)-x(t)]2+[y(t+?t)-y(t)]2）^0.5,一般说来?Φ的近似可求量?'Φ的选取不是唯一的，但是选取不恰当将会产生错误的结果。例如在本节后面旋转曲面的面积公式的推导中，如果?S 的近似可求量?'S 采用对应的圆柱的侧面积而不是对应的圆台的侧面积，将会得到错误的面积公式2()b a S f x dx π=?。所以本章的讨论中对于未严格定义的量均视为规定。 3)当我们将?'Φ用线性形式f(x)?x 代替时要严格检查?'Φ-f(x)?x 是否为?x 的高阶无穷小，以 保证其对应的积分和的极限是相等的。在导出弧长公式的过程的后一部分，实际上是在验证 i i t t 是否为||T'||的高阶无穷小量。 对于前三节所求的平面图形的面积、立体体积和曲线弧长，改用微元法来处理，所求量的微元表达式分别为?A≈|y|?x,并有dA=|y|dx, ?V≈A(x) ?x,并有dV=A(x)dx, ?s≈(1+y'2)^0.5?x,并有ds=(1+y'2)^0.5dx.如果在上面三个公式中把弧长增量的近似可求量(1+y'2)^0.5?x 近似表示为(1+y'2)^0.5?x≈?x,将导致b a s dx b a ==-?的明显错误，事实上，此 时0lim 10x ?→=≠，除非y=f(x)为常数。 二 旋转曲面的面积 设平面光滑曲线C 的方程为y=f(x)，x ∈[a,b]（不妨设f(x)≥0），这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面（图10-20），下面用微元法导出它的面积公式。 通过x 轴上的点x 和x+?x 分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条夹在两个圆形截线间的狭带，当?x 很小时，此狭带的面积?S 近似于由这两个圆所确定的圆台的侧面积?'S ， 即[()([2()S f x f x x f x y x ππ'?=++?=+?，其中?y=f(x+?x)-f(x)， 严格依据大纲编写： 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 《高等数学(二)》专升本考试大纲 《高等数学》专升本入学考试注重考察学生基础知识、基本技能与思维能力、运算能力、以及分析问题与解决问题的能力。考试时间为2小时,满分150分。 考试内容与基本要求 一、函数、极限与连续 (一)考试内容 函数的概念与基本特性;数列、函数极限;极限的运算法则;两个重要极限;无穷小的概念与阶的比较;函数的连续性与间断点;闭区间上连续函数的性质。 (二)考试要求 1.理解函数的概念,了解函数的基本性态(奇偶性、单调性、周期性、有界性)。了解反函数的概念,理解复合函数的概念,理解初等函数的概念。会建立简单经济问题的函数关系。掌握常用的经济函数(需求函数、成本函数、收益函数、利润函数)。 2.了解数列极限、函数极限的概念(不要求做给出ε,求N 或δ的习题);了解极限性质(唯一性、有界性、保号性)。 3.掌握函数极限的运算法则;熟练掌握极限计算方法。掌握两个重要极限,会用两个重要极限求极限; 4.了解无穷小、无穷大、高阶无穷小、等价无穷小的概念,会用等价无穷小求极限。 5.理解函数连续的概念;了解函数间断点的概念,会判别间断点的类型(第一类与第二类)。 6.了解初等函数的连续性;了解闭区间上连续函数的性质,会用性质证明一些简单结论。 二、导数与微分 (一)考试内容 导数的概念及求导法则;隐函数所确定函数的导数;高阶导数;微分的概念与运算法则。 (二)考试要求 1.理解导数的概念及几何意义与经济意义,了解函数可导与连续的关系,会求平面曲线的切、法线方程。 2.掌握基本初等函数的求导公式;掌握导数的四则运算法则与复合函数的求导法则;掌握隐函数及取对数求导法。会熟练求函数的导数。 3.了解高阶导数的概念,掌握初等函数的一阶、二阶导数的求法。 4.理解微分的概念,了解微分的运算法则与一阶微分形式不变性,会求函数的微分。 三、中值定理与导数应用 (一)考试内容 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理;洛必达法则;函数单调性与极值、曲线凹凸性与拐点。导数在经济上的应用(边际、弹性)。 (二)考试要求 1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理(对定理的分析证明不作要求); 2.掌握用洛必达法则求00,∞ ∞ ,0?∞,∞-∞未定式极限的方法; 3.理解函数极值概念,掌握用导数判定函数的单调性与求函数极值的方法;会求经济中较简单的最大值与最小值的应用问题; 4.会用导数判断曲线的凹凸性,会求曲线的拐点。 5.理解边际与弹性的概念,会建简单实际经济问题的目标函数,会求常用经济函数的边际与弹性。 四、不定积分 (一)考试内容 原函数与不定积分概念,不定积分换元法,不定积分分部积分法。 (二)考试要求 1.理解原函数与不定积分的概念与性质; 第十章 定积分的应用 （ 8 时 ） §1 平面图形的面积 （ 2 时 ） 一． 直角坐标系下平面图形的面积 ： 1 简单图形：-X 型和-Y 型平面图形 . 2简单图形的面积: 给出-X 型和-Y 型平面图形的面积公式. 对由曲线 0),(=y x F 和0),(=y x G 围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算. 例1 求由抛物线 x y =2与直线 032=--y x 所围平面图形的面积. 3参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间],[b a 上的曲边梯形的曲边由方程 b a t t y y t x ==≤≤==)( , )( , , )( , )(βχαχβαχ给出.又设0)(>'t χ,就有)(t χ↗↗, 于是存在反函数 )(1x t -=χ. 由此得曲边的显式方程 ],[ , )]([)(1b a x x y t y ∈=-χ. ??'==-b a dt t t y dx x y S β α χχ)(| )( || )]([ |1, 亦即 ??==β α βαχ)(| )( || |t d t y dx y S . 具体计算时常利用图形的几何特征 . 例2 求由摆线)0)(cos 1(),sin (>-=-=a t a y t t a x 的一拱与x 轴所围平面图形的面积. 例3 求椭圆122 22=+b y a x 所围平面图形的面积. 二 极坐标下平面图形的面积: 推导由曲线 )(θr r =和射线 , βθαθ== ) (βα<所围“曲边扇形”的面积公式 . (简介微元法，并用微元法推导公式.半径为r , 顶角为θ?的扇形面积为 θ?221r . ) ?=βα θθd r A )(212 .第六章 定积分的应用
第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析
专升本高等数学(二)
第五章定积分及其应用
定积分的应用教案
第十章 定积分的应用
专升本高数复习资料
定积分的应用
专升本高数公式大全
微积分 经管类 第四版 吴赣昌 习题全解 第六章定积分的应用
专升本高数复习资料(超新超全)
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用旋转曲面的面积
专升本高数复习资料(超新超全)
《高等数学二》专升本考试大纲
《数学分析》第十章_定积分的应用