离散数学1-6章练习题

离散数学练习题

第一章

一．填空

1.公式)()(q p q p ∧?∨?∧的成真赋值为 01；10

2.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →??→的真值为 0

3.公式)()()(q p q p q p ∧∨?∧??与共同的成真赋值为 01；10

4.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式

5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。

二．将下列命题符合化 1.

7不是无理数是不对的。

解：)(p ??，其中p:

7是无理数； 或p ，其中p:

7是无理数。

2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。

解：其中,q p ∧?p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研

3.只有不怕困难，才能战胜困难。

解：p q ?→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难

或q p ?→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难

4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。

解：)(q p r →→?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧?)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了

5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。

解：q p ?，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除

三、求复合命题的真值

P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨

2.r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→?)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题

1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为0

2. r q p p r p q ∧?∧?∨∨→→?)(())()((的真值为1

四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数，推理如下：

若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。

解：x y 2=，x 为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y 在x=0连续。P 为假命题，q 为真命题，推理符号化为：p q q p →∧→)(，由p ，q 得真值可知，推理的真值为0，所以推理不正确。

五、判断公式的类型

1，r q p q p p q ∨∧?∨∧→??)))()(()(( 2. )())((q r p q p ∧∧→?∧ 3. )()(r q r p ?→??

由上表可知A 为重言式，B 为矛盾式，C 为可满足式。

第二章练习题

一．填空

1.设A 为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式))((→∧∨q p A 的类型为 重言式

2.设B 为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式))((→∧∨q p B 的类型为矛盾式

3.设p, q 为命题变项，则)(q p ??的成真赋值为 01 ；10

4．设p,q 为真命题，r, s 为假命题，则复合函数)()(s q r p →???的成真赋值为__0___ 5.矛盾式的主析取范式为___0_____

6.设公式A 为含命题变项p, q, r 又已知A 的主合取范式为M M M M

5320

∧∧∧则A

的主合取范式为

m m m m 7

6

4

1

∨∨∨

二、用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式 1.求公式)())((p q q p ?→?∨→??的主合取范式。

解：

M q p q p q p q p p q q p 2

)()()())((?∨??→?→∨→??→?∨→??

2.求公式)())()((p q q p q p →?→∧∨的主析取范式，再由主析取范式求出主合取范式。 解：

M M M m q p q q p q p q p q q p q q p q q p q p p q q p q p 2

1030)()())(())(()()())()(()())()((∧∧??∨∧?∧?∨?→→∧→→?→??→?∨?∧∨?→?→∧∨ 三、用其表达式求公式r q p ?→)(的主析取范式。 解：真值表

由上表可知成真赋值为 001；011；100；111

四、将公式)(r q p →→化成与之等值且仅含[]∧?,中连接词的公式 解：)()()()(r q p r q p r q p r q p ?∧∧??∨?∨??∨?→?→→ 五、用主析取范式判断))(()()(q p q p q p ∧?∧∨??与是否等值。 解：

))

(()())(())(()()()()())()(())()(()(p q q p p q q p q p p q q p p q q p p q q p p q q p q p ∧?∧∨??∧∨?∧?∧∨??∧∨?∧?∨??∨∨???∨?∧∨???→∧→????所以他们等值。

第四章 习题 一，填空题

1.设F(x): x 具有性质F ，G(x): x 具有性质G ，命题“对所有x 的而言，若x 具有性质F ，则x 具有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x →?

2.设F(x): x 具有性质F ，G(x): x 具有性质G ，命题“有的x 既有性质F ，又有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x ∧?

3. 设F(x): x 具有性质F ，G(y): y 具有性质G ，命题“对所有x 都有性质F ，则所有的y 都有性质G ”的符号化形式为 )()(y yG x xF ?→?

4. 设F(x): x 具有性质F ，G(y): y 具有性质G ，命题“若存在x 具有性质F ，则所有的y 都没有性质G ”的符号化形式为 )()(y G y x xF ??→?

5.设A 为任意一阶逻辑公式，若A 中__不含自由出现的个体项_____,则称A 为封闭的公式。

6.在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用 全总 个体域。 二．在一阶逻辑中将下列命题符号化

1.所有的整数，不是负整数就是正整数，或是0。

解：))()()(()(x R x H x G x xF ∨∨→?，其中x x F :)(是整数，

x x G :)(是负整数，x x H :)(是正整数，0:)(=x x R

2.有的实数是有理数，有的实数是无理数。

解：))()(())()((y H y F y x G x F x ∧?∧∧?，其中，x x F :)(是实数，x x G :)(是有理数，

y y H :)(是无理数

3.发明家都是聪明的并且是勤劳的，王进是发明家，所以王进是聪明的并且是勤劳的。 解：))()(())()))()(()(((a H a G a F x H x G x F x ∧→∧∧→?，其中：x x F :)(是发明家，

x x G :)(是聪明的，x x H :)(是勤劳的，:a 王前进

4.实数不都是有理数。

解：))()((x G x F x →??，其中x x F :)(是实数，x x G :)(是有理数 5.不存在能表示成分数的有理数。

解：)()(x G x xF ?→?，其中：x x F :)(是无理数，x x G :)(能表示成分数 6.若x 与y 都是实数且x>y ，则x+y>y+z

解：)),

(),()()(((z y z x H y x H y F x F y x ++→∧∧??，其中，x x F :)(是实数，

y x y x H ≥:),(

三．给定解释I 如下：

（a ）个体域为实数集合R ； (b)特定元素0=a ； (c)特定函数R y R x y x y x f ∈∈-=,,),(

(d)特定谓词R y R x y x y x G y x y x F ∈∈<=,

,

:),(,

:),(

给出下列公式在I 的解释，并指出他们的真值： 1.)),(),((y x F y x G y x ?→??

解：))()((y x y x y x ≠→

解：))(0(y x y x y x <→=-??，即对任意的实数y x ,若,0=-y x 则,y x <其真值为0 3.))),,((),((a y x f F y x G y x ?→??

解：))0()((≠-→

4.)),()),,((y x F a y x Gf y x →??

解：)))0((y x y x y x =→<-??，即对任意的实数y x ,若,0<-y x 则,y x =其真值为0 四．给定解释I 如下：

(a)个体域D=N; (b)特定元素2=a (c)N 上函数;),(,),(y x y x g y x y x f ?=+=

(d)N 上谓词y x y x F =:),(

给出下列公式在I 下的解释，并指出他们的真值： 1.)),,((x a x g xF ?

解：)2(x x x =?，即对任意的自然数x ，都有x x =2，真值为0 2.))),,(()),,(((x a y f F y a x f F y x →??

解：))2()2((x y y x y x =+→=+??，即对任意自然数y x ,若y x =+2，则x y =+2；其真值为0

3.)),,((z y x f zF y x ???

解：)(z y x z y x =+???，即对任意的自然数y x ,，都存在z ，使得z y x =+；真值为1 4.)),(),,((x x g x x f xF ? 解：)2(2

x

x x =?，即存在自然数x 使得x x 2

2=，其真值为1

第六章 习题 一，填空

1.设{}{}4,3,,2a A =， {}{}3,,4,a B Φ=，则=⊕B A ____{}{}Φ,3},{,3,,2a a ______

2.设{}{}{}{

}2,1,1=A ，则=)(A P ____}}}2,1{{},1{{}}},2,1{{{}},1{{,{Φ_________ 3.设{}{}{

}2,11=A ，则=)(A P ____{Φ，{{1}}，{{1,2}}，{{1}，{1，,2}}}________ 4. 设{

}2,1=A ，则=)(A P ____{Φ，{1}，{2}，{1,2}}_________ 5.设[a,b], (c,d)代表实数区间，那么=-?)3,1(])6,2[]4,0([____[3,4]________

6.设X,Y ,Z 为任意集合，且{

}3,2,1=⊕Y X ，{}4,3,2=⊕Z X ，若,Y Z ∈则一定有___Z Z ∈∈3;2_____

)4;3;2;1(Z Z Z Z ∈∈∈∈

7.设,A 则=-⊕A A A )(______Φ_______ 二，简答题

1.设{

}12,2,1K =I ，{}11,9,7,5,3,1=A ，{}11,7,5,3,2=B ，{}12,6,3,2=C ，{}8,4,2=D ，计算：;B A ? C A ?; )(B A C ?-; B A -; D C -; D B ⊕;

=?B A {1,2,3,5,7,9,11} C A ?={3} )(B A C ?-={6, 12} B A -={1, 9} D C -={3,6,12} D B ⊕={3,4,5,7,8,11}

2.设{}{}{}b a a A ,,=，求：A ?; A ?

A ?={a,b}

A ?={a}

三、设{

}6,5,4,3,2,1=A ，{}6,4,2=B ，{

}15,,|3

<∈==x N n x x C n ，求:

C A ?; A B -; )(B P

C={1,8}

C A ?={1,2,3,4,5,6,8}

A B -=Φ

P(B)={ Φ,{2},{4},{6},{2,4},{2,6},{4,6},{2,4,6}}

四：一个班50个学生，在一次考试中有26人得5分，在第二次考试中有21人得5分，如果两次考试中没有得5分的有17人，那么两次考试中都得5分的有都少人？（提示：应用包含排斥原理）

答：设A 为第一次考试得5分的人，B 为第二次考试得5分的人。 A=26,B=21 ~（A ?B ）=17 A ?B=50-17=33 A ?B-A=7

A ?B=21-7=14

五，一个班25个学生，会打篮球的有12人，会打排球的有10人，两种球都不会打的有5人，那么两种球都会打的有多少人？（提示：应用包含排斥原理） 答：设A 为会打篮球的人数，B 为会打排球的人数。 A=12,B=10 ~（A ?B ）=5 A ?B=25-5=20 A ?B-A=8 A ?B=10-8=2

第七章 习题

设?-?=?+?x y y x 2,15,，求x,y 解：由有序相等的充要条件：

???=+-=x y y x 251 解得：?

?

?==76

y x 2.已知}{1,0=A ， {

}2,1=B ，试确定下列集合(1)B A ?, (2){}B A ??1 (3)B A A ?? 解：(1){}>><<><><=?2,11,1,2,0,1,0B A

(2) {}{}{}{}

><><><><=?><><=??2,1,1,1,1,1,2,1,0,1,1,02,11,1,1,01B A

(3)

{}{}

{}

><><><><><><><><=?><><><><=??2,0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,0,1,0,1,1,1,1,1,1,0,1,0,02,10,1,1,1,1,0,0,0B A A

P143页13题

设 {}><><><=3,3,4,2,2,1A , {}><><><=2,4,4,2,3,1B 求：B A Y , B A I , ranA B A dom domB domA ),(,,,

Y

解：{}><>><<><><=2,4,3,34,2,3,1,2,1B A Y {}><=4,2B A I

{}3,2,1=domA {

}4,2,1=domB {}4,3,2=ranA