2020届高三上学期数学期中考试题

2020届高三上学期期中考试

数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）

1．已知集合A＝{}

210

x x-=，B＝[0，+∞)，则A B＝．

答案：{1}

考点：集合的交集运算

解析：∵集合A＝{}

210

x x-=，∴集合A＝{﹣1，1}

∵B＝[0，+∞)，∴A B＝{1}．

2．已知角

α的始边为x轴的正半轴，点P（1，）是其终边上一点，则cosα的值为．

答案：1

3

考点：三角函数的定义

解析：cos1

α==．

3．“m＞1”是“m＞2”的条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）．

答案：必要不充分

考点：充分条件、必要条件以及充要条件的判断

解析：∵“m＞2”能推出“m＞1”，但是“m＞1”推不出“m＞2”

∴“m＞1”是“m＞2”的必要不充分条件．

4．若向量a＝(l，m)，b＝(3，2)，a∥b，则实数m的值为．

答案：2

3

考点：平行（共线）向量坐标运算 解析：∵量a ＝(l ，m )，b ＝(3，2)，a ∥b ， ∴1×2﹣3m ＝0，求得m ＝23

．

5．函数

y =

的定义域为

．

答案：[2，+∞) 考点：函数的定义域 解析：∵21log 0x -+≥

∴

2log 1x ≥，解得x ≥2，故函数y =[2，+∞)．

6．若函数()y f x =为奇函数，当

x ＞0时，2()log (1)f x x =+，则(7)f -的值

为 ． 答案：﹣3

考点：奇函数的性质 解析：∵函数()y f x =

为奇函数， ∴2(7)(7)log 83f f -=-=-=-．

7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35S S =，且公差d ≠0，则1a d

的值

为 ． 答案：72

-

考点：等差数列及其前n 项和

解析：∵n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且35S S =， ∴450a a +=，即1270a d +=，故172

a d

=-．

8．若sin(π＋α)＝﹣45

，则cos2α的值为 ．

答案：7

25

-

考点：诱导公式，倍角公式

解析：∵sin(π＋α)＝﹣45

，∴4sin 5

α=

∴cos2α

2247

12sin 12()525

α=-=-?=-．

9

．若函数()sin f x x x =-的图象关于直线

x ＝a 对称，则a 的最小值

是 ． 答案：6

π

考点：三角函数的图像与性质

解析：()sin 2sin()3f x x x x π

==-，其对称轴为56

x k ππ

=+，当k ＝﹣1时，

a 最小为6

π

．

10．若函数

2

21, 0(), 0

x ax x a x f x e x ?++-

a 的

取值范围是 ． 答案：[0，1] 考点：函数的单调性 解析：由题意得：

01a a e ≤??-≤?或0

02121a a

a e

>???

-≤-???-≤?解得a ＝0或0＜a ≤1，即0≤a ≤1，

故实数a 的取值范围是[0，1]． 11．若数列{}n a 满足121a a ==，3a ＝2，则数列{}1n

n a a +是等比数列，则数

列{}n a 的前19项和的值为 ． 答案：1534

考点：等比数列的定义及前n 项和 解析：由题意知121a a =，232a a =，则数列{}1n

n a a +是以

1为首项，2为公

比的等比数列，

则112n n n a a -+=，122n n n a a ++=，

则22n n

a a +

=，故101351921102321

a a a a -+++

+==-，

9246182151121a a a a -+++

+==-，

∴1231910235111534a a a a +++

+=+=．

12．如图，在△ABC 中，AB ＝

3，AC ＝2，

2AD AB 3=，1

AE AC 3

=，DM ME =，BN NC =，若

MN ⊥BC ，则cosA 的值为 ．

答案：

6

6

考点：平面向量数量积

解析：1111MN DB EC AB AC 2

2

6

3

=+=+，BC AC AB =-，因为MN ⊥BC ，

所以MN BC 0?=，即11(AB AC)(AC AB)06

3

+?-=，

化简得：2

2111

AB

AC AB AC 06

36

-+-?=，又AB 3AC 2，

计算得AB AC ?＝1，则cosA ＝AB AC 6

32

AB AC

?=

=??． 13．在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，D 为BC 的中点，∠CAD ＝2∠

BAD ，则BC 的长为 ． 答案：

5考点：解三角形（面积法与余弦定理）

解析：因为D 为BC 的中点，所以S △ACD ＝S △ABD ，

故11

AC

AD sin CAD AB AD sin BAD 2

2

∠=

∠， 因为sin ∠CAD ＝sin2∠BAD ＝2sin ∠BADcos ∠BAD ，AC ＝1，AB

代入上式，

得cos ∠BAD ＝2

，∵0＜∠BAD ＜π，故∠BAD ＝4

π，∠BAC

＝34

π，

BC ===． 14．设函数32()23f x x x a =--，若对任意的实数a ，总存在0x ∈[0，2]，使

得0()f x m ≥，则实数m 的取值范围是 ． 答案：(-∞，52

]

考点：函数与不等式（讨论最值解决恒成立、存在性问题） 解析：令32()23g x x x a =--，()6(1)g x x x '=-，

故()g x 在[0，1]单调递减，在[1，2]单调递增， 求得(0)g a =-，(1)1g a =--，(2)4g a =-， 当32

a <时，32()23f x x x a =--的最大值为4a -，

故4a m -≥恒成立，3542

2

m ≤-=；

当32

a ≥时，32()23f x x x a =--的最大值为1a +，

故1a m +≥恒成立，3512

2

m ≤+=．

综上所述，对任意的实数a ，总存在0x ∈[0，2]，使得0()f x m ≥，

则实数m 的取值范围是52

m ≤，即(-∞，52

]．

二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．

内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

若函数

()2sin()f x x ω?=+(ω＞0，0＜?＜2

π)的图象经过点(0)，且

相邻的两个零点差的绝对值为6．

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当x ∈[﹣1，5]时，求()g x 的值域． 解：(1)

()f x 相邻的两个零点差的绝对值为

6，

记()2sin()(0,0)2

f x x πω?ω?=+><<的周期为T ，则62T

=,

又2T πω

=，6

πω∴=. ...............................................................................2分

()2sin()(0)62

f x x ππ

??∴=+<<;

()f x 的图象经过点，

(0)2sin )2

f π

??∴==<<

，3

π

?∴=

， ..................................................4分

∴函数()f x 的解析式为()2sin()63

f x x π

π

=+..................................................6分

(2) 将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数g()x 的图象, 由(1)得，()2sin()6

3

f x x ππ=+，

∴函数g()x 的解析式为g()2sin[(3)]2sin()6366

x x x ππππ

=-+=-；.............10分

当

[1,5]x ∈-时，2,6

633x π

π

ππ??

-

∈-????，则2sin()[66

x ππ-∈.

综上，当

[1,5]x ∈-时，g()x 的值域为[2] (14)

分

16．（本题满分14分）

设p ：“R x ?∈，sin 2x a ≤+”；q ：“2()f x x x a =--在区间[﹣1，1]上有零点”．

（1）若p 为真命题，求实数a 的取值范围；

（2）若p ∨q 为真命题，且p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．

解：

(1) p 为真命题，则max 2(sin )a x +≥,1a ∴≥-；........................... 4分

(2) ""p q ∨为真命题，""p q ∧为假命题, 则,p q 一真一假......................................6分 若q 为真命题，则2a x x =-在[1,1]x ∈-在有解，

又2,[1,1]y x x x =-∈-的值域为1,24

?

?-??

??

，124

a ∴-≤≤...........................8分 ① p 真q 假,1

,1

24a a a ≥-???<->??或

则121.4a a >-≤<-或..............................10分

② p 假q 真,1

,1

24

a a <-???-≤≤?? 则a 无解......................................12分 综上，实数a 的取值范围是1[1,)(2,)4

--+∞ (14)

分

17．（本题满分14分）

如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，AB ＝200米，BC ＝100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD 内修建5条道路AE ，DE ，EF ，BF ，CF ，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF 垂直平分边AD ，且线段EF 的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．

解：（法一）设((0,))2

ADE πθθ∠=∈，过E 作EH AD ⊥于H ，

EF 垂直平分AD ，1

502

DH BC ∴==(米)，

50

cos DE θ

∴=(米)，50tan EH θ=(米)，

又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，

2002200100tan EF EH θ∴=-=-(米)，

记这5条路总长度为()f θ(米)，

则50()4200100tan ((0,))cos 2

f π

θθθθ=?

+-∈，..................................6分 即2sin ()200100((0,))cos 2

f θπθθθ-=+?∈，

2(2sin )cos (2sin )(cos )()100cos f θθθθθθ''

---'∴=?，.................................8分

化简得22sin 1()100cos f θθθ

-'=?，由()0f θ'=，可得6π

θ=， (10)

分

列表如下：

由上表可知，当6

πθ=时，()f θ取最小值

1

2

()2001002006f π-

=+=

+(米) ..................13分

答：5条道路的总长度的最小值为200+(米) (14)

分

（法二）过E 作EH AD ⊥于H ，设EH x =(米)( 0100x <<)

因EF 垂直平分AD ，故1502

AH BC ==(米)，

又EF 的中点是矩形ABCD 的中心，2002EF x ∴=-(米)；

在Rt AEH ?中，AE =米)，

由对称性可得，AE DE CF BF ====(米)；

记这5条路总长度为()f x (米)，

()2002,(0100)f x x x ∴=-<< (6)

分

'()f x ∴=

=

...............................8分

令

'()0,f x =解得x =负值舍) (10)

分

列表如下：

由上表可知，当

3

x =时，()f x 取最小值200+ (13)

分

答：5条道路的总长度的最小值为

200+米............................14分

（法三）同方法二得到()2002,(0100)f x x x =-<<，

以下可用判别式法.

18．（本题满分16分）

如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，点D 为△ABC 内一点，满足BD ＝CD ＝2，且AB AC 5DB DC 0?+?=．

（1）求sin ABC sin BCD

∠∠的值；

（2）求边BC 的长．

解：（1）设BC a =，AC b =，AB c =， 由50AB AC DB DC ?+?=，

所以54cos 522cos 0A D ?+??=，即cos cos A D =-，............................2分 又,A D 为三角形的内角，所以sin sin A D =，..............................4分

在ABC ?中，sin sin a b A ABC =∠，所以4

sin sin a A ABC =∠，.......................6分

同理2

sin sin a D BCD

=∠，.................................8分

所以42

sin sin ABC BCD =∠∠，sin 2sin ABC BCD

∠∴=∠................................10分

（2）在ABC ?中，2222222

5441cos 225440b c a a a A bc +-+--=

==??，......................12分

同理2

8cos 8

a D -=

，.................................14分

由（1）可得22

418408

a a --=-，解得3

6BC a ==................................16分

19．（本题满分16分）

在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a ，b ，c 经过第n 次拓展后所得数列的项数记为P n ，所有项的和记为n S ．

（1）求P 1，P 2，P 3；

（2）若P n ≥2019，求n 的最小值；

（3）是否存在实数a ，b ，c 使得数列{}n S 为等比数列，若存在，求a ，b ，c 满足的条件；若不存在，请说明理由．

解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数1325P =+=； 经第2次拓展后的项数2549P =+=；

经第3次拓展后的项数39817P =+=...............................3分 （2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项， 由数列经第n 次拓展后的项数为n P ，则经第1n +次拓展后增加的项数为

1n P -，

所以1(1)21n n n n P P P P +=+-=-，..............................5分 所以11222(1)n n n P P P +-=-=-，

由（1）知114P -=，所以111422n n n P -+-=?=，121n n P +∴=+，.....................7分 由1212019n n P +=+≥，即122018n +≥，解得10n ≥， 所以n 的最小值为10.................................8分 （3）设第n 次拓展后数列的各项为123,,,,,,m a a a a a c ，

所以123n m S a a a a a c =++++

++，

因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 所以11112223()()()()n m m S a a a a a a a a a a a c c +=+++++++++++++，

即11223332n m S a a a a c +=+++

++，所以13()n n S S a c +=-+，........................12分

得1232S a b c =++，25155S a b c =++，3144514S a b c =++， 因为数列{}n S 为等比数列，所以3

2

1

2

S S S S =，可得0a c +=， (14)

分

则12323S a b c b =++=，由10S ≠得0b ≠，

反之，当0a c +=且0b ≠时，13n n S S +=，0n S ≠，13n n

S S +=，所以数列{}n S 为等

比数列，

综上，,,a b c 满足的条件为0a c +=且0b ≠..........................16分

20．（本题满分16分）

设函数()(1)x f x e x x a =---，a 为常数．

（1）当a ＝0时，求函数()f x 的图象在点P(0，(0)f )处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，①当a Z ∈时，求a 的最小值；②当a ＝1时，求12x x +的值．

解：（1）当0a =时，()(1)x f x e x x =--，(0)1f =-，()1x f x xe '=-，(0)1f '=-， 故所求切线的方程为1(0)y x +=--，即10x y ++=......................2分 （2）①()1x f x xe '=-，令()()1x g x f x xe '=

=-，则()(1)x g x x e '=+，

当1x <-时()10x g x xe =-<恒成立，故()g x 在(,1)-∞-上递减， 令()0g x '>得1x >-，故()g x 在(1,)-+∞上递增，

又1()102

g =<，(1)10g e =->，

()g x 的图象在[1,)-+∞上连续不间断，所以存在唯一实数01

(,1)2

x ∈使得

0()0g x =， (4)

分

故0x x <时()0f x '<，0x x >时()0f x '>，所以()f x 在0(,)x -∞上递减，在0(,)x +∞上递增， ∴min 0()()f x f x =

000(1)x e x x a =---，由0()0g x =得00

1x e x =

，

∴min 00

1

()1()f x a x x =--+

，........................6分

因为函数()f x 有两个不同的零点1x ,2x ，所以min ()0f x <，得00

1

1()a x x >-+

，

由01(,1)2

x ∈易得0013

1()(,1)2

x x -+

∈--，故整数1a ≥-, 当1a =-时，(0)(1)0f f ==，满足题意，

故整数a 的最小值为1-.（也可以用零点存在性定理给出证明）................10分

注：由0(0,1)x ∈得00

11()(,1)x x -+∈-∞-，不能得到1a ≥-.

②法一：当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，由12()()f x f x =得1111

1x x e x +=

-，22211

x x e x +=-， 两式相乘得1

2

1212121212(1)(1)(1)(1)2()

(1)(1)(1)(1)

x x

x x x x x x e x x x x +++--++=

=----，

得1

2

12122()1(1)(1)

x x

x x e x x ++=+--（※）.......................12分

不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，..........14分 故12(1)(1)0x x --<，

当120x x +=时（※）式成立；

当120x x +>时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立； 当120x x +<时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立； 综上，120x x +=...............16分

法二：当1a =时，()(1)1x f x e x x =---，

不妨设12x x <，由(1)20f =-<及()f x 的单调性可知121x x <<，.............12分 由1()0f x =得1

11(1)10x e x x ---=，

∴

11

11

11111111(1)1

()(1)110x x x x x e x x f x e x x x e e

-------=--+-=+-==，.............14分

故函数()f x 有两个不同的零点1x ,1x -，又由()f x 的单调性可知()f x 有且仅有两个不同的零点1x ,2x ，

∴21x x =-，∴120x x +=..............................16分