利用空间向量求空间角
2-?
AB,n?或
2，所以sinθ
利用空间向量求空间角
(1)两条异面直线所成的夹角
范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是0 ≤θ≤90 。
向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b，其夹角为θ，若a与b的夹角为锐角，则θ=cos?a,b?，若a与b的夹角为钝角则θ=π-?a,b?，所以有cosθ=cos?a,b?
练习在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____.
(2)直线与平面所成的角
定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是0 ≤θ≤90 。
向量求法：
若n是平面α的法向量,AB是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ=
π
θ=?AB,n?-
π=cos?AB,n?
练习：1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是AB,C1D1的中点，求A1B1与平面A1EF 所成的角
A
=
| AB | ?
2：在三棱锥 P —OCB 中，PO ⊥ 平面 OCB,OB ⊥ OC ，OB=OC= 2 ,PC=4，D 为 PC 的中点，
求 OD 与平面 PBC 所成的角
(3)二面角
二面角的取值范围是 0 ≤ θ ≤ 180 。
二面角的向量求法：
方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小；
方法二：设 n 1 ， n 2 分别是两个面的法向量，则向量 n 1 与 n 2 的夹角(或其补角 )即
为所求二面角的平面角的大小。 (4)点到平面的距离
A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 A
B 及垂线 AH.，斜线
AB 与平面α 的夹角为θ
| AH |=| AB | ? s in θ =| AB | ? | cos < AB , n >|
| AB ? n |
| AB | ? | n |
=
| AB ? n |
| n |
n
B H
典题赏析
题目 1：如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，
侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = 3 ， BC = 1 ， PA = 2 ，
E 为 PD 的中点.
（Ⅰ）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE ⊥ 面 PAC ，
并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A , B , C , D , P , E 的坐标为 A (0,0,0) 、
P (0,0, 2) 、 E (0, ,1) ，
| AC | ? | PB | = NE = (- x , ,1 - z ) ，由 NE ⊥ 面 PAC 可得，
?? 2 ∴ ? 6
即? 化简得? 1 - 3x + = 0.
?z = 1
?(- x , ,1 - z ) ? ( 3,1,0) = 0. ?? ?? ?1
,0,1) ，从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为1,
(2)求平面 CDD C 与平面 AB D 所成的二面角余弦值 B 1
A 1
0 0)
B ( 3,0,0) 、
C ( 3,1,0) 、
D (0,1,0) 、
1
2
从而 AC = ( 3,1,0), PB = ( 3,0,-2).
设 AC 与PB 的夹角为 θ ，则
第:1 题
cos θ = AC ? PB 3 2 7 = 3 7
14
,
∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为
3 7 14
.
（Ⅱ）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为
( x ,0, z ) ，则
1
2
??NE ? AP = 0, ?
??NE ? AC = 0.
1 2
即 N 点的坐标为 ( 3 3 6 6
.
题目 2. 已知正方体 ABCD - A B C D 的棱长为 a ．
1 1 1 1
(1)求点 C 到平面 AB D 的距离；
1
1 1
1 1 1 1
解 (1)按如图 3-1 所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐
D 1
C 1
标为 A (0，， 、 D (0，a ，a ) 、 1
B (a ，0，a )
、
C (a ，a ，a )
1
1
A
， 向 量 B C
第 2 题
D
C A = (-a ,-a ,-a ), A
D = (0, a , a ), AB = (a ,0, a ) ．
1 1
1
设 n = ( x , y , z ) 是平面 AB D 的法向量，于是，有
1 1
?? n ? AD = 0 ?
?
d = C A ? n n =
cos θ = n ? n
依 题 意 ， ?PC ? n = 0 ?a + b - c = 0 ， 取 ?
1 ? n ? AB 1 = 0
?ay + az = 0
，即 ? ．
?ax + az = 0
A 1
D 1
令 z = -1，得 x = 1，y = 1 ．于是平面 AB D 的一个法向量
1 1
B 1
C 1
是
A (O )
D y
n = (1，1，-1)
．
因 此 ， C 到 平 面 AB D 的 距 离
1
1 1
B C
x
题目 2
1 3 3
a ．
(2) 由(1)知，平面 AB D 的一个法向量是 n = (1,1,-1) ．又因 AD ⊥ 平面CDD C ，
1 1
1 1
故平面 CDD C 的一个法向量是 n = (0,1,0) ．
1 1
1
设所求二面角的平面角为 θ (结合图形可知二面角是锐角，即 θ 为锐角)，则
1 n n 1
= 3 3
．
题目 3.如图，四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥ 平面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形， 且 AB // CD ，
∠BAD = 90 ， P A = AD = DC = 2 ， AB = 4 。 （1）求证： BC ⊥ PC ；
（2）求点 A 到平面 PBC 的距离。 解：．（1）如图建系，则 B (0 , 4 , 0) , D ( 2 , 0 , 0) , C ( 2 , 2 , 0) , P (0 , 0 , 2)
BC = ( 2 , - 2 , 0) , PC = ( 2 , 2 , - 2) ，
BC ? PC = 2 ? 2 + ( - 2) ? 2 = 0 ，故 BC ⊥ PC 。
（ 2 ） PB = (0 , 4 , - 2) , PC = ( 2 , 2 , - 2) ， 设 平 面
n = ( a , b , c ) ，
P B C 的
y
P
法向量为
n = (1 , 1 , 2) 。
? P B ? n = 0 ? ? ?2b - c = 0
?? D x
A
C
B y
AB = (0 , 4 , 0) ， 所 以 点 A 到 平 面 PB C 的 距 离 题目 3
| n | =
d = | AB ? n | 4 6 = 2 6 3 。