2014年信号检测与估计各章作业参考解答(1~9章)

第二章 随机信号及其统计描述

1．求在实数区间[]b a ,内均匀分布的随机变量X 均值和方差。

解： 变量X 的概率密度 ???

?

???≤≤-=其他，,01

)(b x a a b x p

均值 []?∞∞-+===2)(b

a dx x xp X E m X

方差 ?∞

∞--=-=12

)()()(2

2

2

a b dx x p m x X X

σ

2．设X 是具有概率密度函数)(x p 的随机变量，令x 的函数为

0),exp(>-=a ax y

试求随机变量y 的概率密度函数)(y p 。 解： 反函数0,ln 1

>-=a y a

x 雅可比式为 ay

dy dx J 1-==

所以 0),ln 1

(1)ln 1()(>-=-

?=a y a

p ay y a p J y p 4. 随机过程)(t X 为

)sin()cos()(00t B t A t X ωω+=

式中，0ω是常数，

A 和

B 是两个互相独立的高斯随机变量，而且0][][==B E A E ，

222][][σ==B E A E 。求)(t X 的均值和自相关函数。

7. 设有状态连续、时间离散的随机过程)2sin()(t t X Ω=π，式中t 只能取正整数，即

Λ,3,2,1=t ，而Ω为在区间)1,0(上均匀分布的随机变量，试讨论)(t X 的平稳性。

8.平稳随机过程)(t X 的自相关函数为1)10cos(22)(10++=-τττ

e R X ，求)(t X 均值、二阶

原点矩和方差。

解： 可按公式求解[]

)()0(,

)0()(,

)(222

∞-==∞=X X X X X X R R R t X E R m σ。

但在求解周期性分量时，不能得出)(∞R ，为此把自相关函数分成两部分： (

)

12)10cos(2)()()(1021++=+=-τ

ττττe R R R X X X

由于)10cos(2)(1ττ=X R 的对应的随机过程为

是随机变量为常数，??A t A t X ),10cos()(1+=

所以[]0)(1=t X E

而对于12)(102+=-τ

τe

R X ，有1)(2=∞X R ，即[]1)(2±=t X E

所以[][][]1)()()(21±=+=t X E t X E t X E 可理解为1)(=∞X R

从而有 [

]

5)0()(2

==X R t X E ， )()0(2

∞-=X X X R R σ=4 因此)(t X 的均值、二阶原点矩和方差分别为

[]1)(±=t X E []

5)(2=t X E 42

=X

σ

9. 若随机过程)(t X 的自相关函数为)cos(2

1

)(0τωτ=

X R ，求)(t X 的功率谱密度。 解:自相关函数与功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，所以有

ττωττωωτωτ

d e d e

R G j j X X --??

∞

∞

-∞

∞

-==

)cos(21

)()(0

利用欧拉公式，可得

[]

)(2

)(241)(41

)cos(21)(00)()(00000ωωδπωωδπττ

ττωωτωωτωωτωτωωτωτ++-=+=+==+---∞

∞--∞

∞

-∞

∞-???--d e e d e e e d e G j j j j X j j

11. 已知平稳随机过程)(t X 具有如下功率谱密度

6

51

)(2

42+++=ωωωωX G 求)(t X 的相关函数)(τX R 及平均功率W 。 解：

21

32651)(22242+-

+=+++=ωωωωωωX G

而自相关函数τ

a be -与功率谱密度

2

22a ab

+ω是一对傅立叶变换，

所以有

τ

τ

τ

τ

τ23234

23

32

213

1)(----

-

=

-

=

e e e

e R X

总功率为

平均功率为42

332

2131)(21)0(-=-==?∞

∞-ωωπd G R X X

随机过程通过线性是不变系统的习题 1、设白噪声的相关函数为)(2

τδN ，通过幅频特性如下图所示的理想带通放大器，求放

解: 由于)(2)(0τδτN R n = ， 所以其功率谱2)()(0N d e R G j n n ==-∞

∞

-?ττωωτ

线性系统的幅频特性如图所示，因此输出端的噪声功率谱为

???

?

??

?Ω≤-Ω≤+==为其它时

当，时或当ωωωωωωω022,2)(2)(000

20N H N G Y 总噪声功率为Ω==?

∞

∞

-0)(N d G P Y Y ωω

2、零均值平稳随机过程)(t X 加到一线性滤波器， 1）当滤波器的单位冲激响应为

??

?<≥=-0,

00

,)(t t be t h bt 求滤波器的输出功率谱密度；

2）当滤波器的单位冲激响应为

??

?≤≤=-else T

t be t h bt ,

00,)( 求滤波器的输出功率谱密度。

解：

1）滤波器的输出功率谱密度)()()()(2

22

2

ωωωωωX X Y G b b G H G +==

2）滤波器的输出功率谱密度

()

)(cos 21)(22

22ωωω

ωX bT

bT Y G e T e b b G --+-+=

第三章 经典检测理论

1、在二元数字通信系统中，发送端等概发送2V 和0V 的脉冲信号，信道上叠加的噪声服从均值为零、方差为2σ 的正态分布，试用最大后验概率准则对接收信号进行判决。

要点： 10

1

H H x

><

答：略

2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V 和0V 的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为V 2=σ，再设代价因子01211001001====C C C C 、、 。信号存在的先验概率

2.0)V 1(==s P 。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计

平均代价。

计算得出

392.0)]803.0(1[2.0)]157.1(1[4.0=++-=erf erf R

结果： 392.0,,

2

1

2ln 4,20

1

0=><

+

==R x l H H ββ

答：略

3、只用一次观察值x 对下面两个假设作出选择，:0H 样本x 是均值为零、方差为2

0σ的高斯变量；:1H 样本x 是均值为零、方差为2

1σ的高斯变量，且2

021σσ>。试用最大似然函数

准则回答下述问题：

（1）根据观察量值，确定判决域0D 和1D 。

（2）画出似然比接收机的框图。

（3）求两类错误概率)|(01H D P 和)|(10H D P 的表达式。 解：（1）由题意得

20

2

2

1

2

20

021

121)|(,

21)|(σσσπσπx x e

H x p e

H x p -

-

=

=

采用最大似然函数准则，10=l ， 似然比与判决规则为

1

)|()|()(0

2)(1

010

120

212

0212=><==

-l e

H x p H x p x l H H x σσσσσσ 0120

212021

2

ln )(201

σσ

σσσσ-><0

1

2

0212

021ln )(20

1

H H x 判决域为，

β

ββ

β>-<≤≤-x x D x D 或，::10

(2)接收机结构：

（3）两类错误概率

???

?

??-=+=????

?

?=

=?

??∞

-∞

--0000111021)|()|()|(2()|(σ

β

σββ

β

β

βerf dx H x p dx H x p H D P erf dt x p H D P

要点：（1）

β

βββ>-<≤≤-x x D x D 或，::10 （2）见图

（3） ?

???

?

?-=????

?

?=00111021)|(2)|(σβσβerf H D P erf H D P

4、根据一次观测，用极大极小准则对下面两个假设作出判断

)

(1)(:)()(:10t n t x H t n t x H +==

其中)(t n 是均值为零、方差为2σ的高斯过程，且0,111001001====C C C C 。试求判决门

限0l 以及与之对应的两种假设的先验概率。

解: 根据题意得

2

22

2202)1(121

)|(,

21

)|(σσσ

πσ

πx x e H x p e H x p -

--

=

=

按照极大-极小方程: 0*)()(*)()()(001011010011=---+-p C C p C C C C αβ

代入0

,111001001====C C C C ,得到

*)(*)(p p βα=

另一方面，由于

021

2010

12)|()|()(l e H x p H x p x l H H x <>==-σ 021

2ln ln 0

1

2

l e H H x <

>-σ

得到判决规则为 '002

21ln 0

1

l l x H H ≡+<

>σ dt

e dx e dx H x p dx e dx H x p t l t

x x l l x l l 2

2'02

2'0

'0

2

2'0

'0

21

12)1(12021

21

)|(21

)|(σσσσ

πσ

πβσ

πα-

-∞

-=---

∞

-∞

--

∞

∞?

?

?

?

?=

====令

再令

x t -= ，于是有 dx e x l 2

2

'0

2121

σσ

πβ-∞

-?

= 按照

*)(*)(p p βα=，得到 dx e dx e x l x l 2

2'0

2

2'

21221

21

σσσ

πσ

π-

∞

--

∞

?

?

=

所以 有

'0'01l l -= 即 21'

0=

l

考虑到 **1)()()()(1

1101000100p p H P C C H P C C l -=--= 而

'

02

1ln l l ≡+σ 从而解得

6、假定两个假设分别为

)

(2)(:)()(:10t n t x H t n t x H +==

其中)(t n 的均值为零、方差为2的高斯白噪声。根据M 个独立样本M i x i ,,2,1,Λ=，采用奈曼—皮尔逊准则进行检验。令05.0=α，试求 （1） 判决门限λ； （2） 相应的检测概率D P 。 解：（1） 由题意得

??

????--???

??=??

????-??? ??=∑∑==4)2(exp 21)|(4exp 21)|(211210i M i M

i M i M

x H x p x H x p ππρρ

得到 011011

exp )1(exp )|()|()(l M x x H x p H x p x l H H M

i i M i i <

>

??????-=??????-==∑∑==ρρρ 01

ln 1

0l M

x H H M

i i <

>-∑=

'

01

1ln 111

l l M

x M

x H H M

i i

≡+<>=

∑=

又由于x 是正态分布的，且

M H x Var H x Var H x E H x E /2)|()|(,2)|(,0)|(1010====

所以有??

?

???--=??

????-=4)2(exp 2)|(4exp 2)|(2120x M M

H x p x M M

H x p ππ

于是 dt e x d x M M

H D P t l M l 2

'

0'

2

20114exp 205.0)|(-∞∞

?

?

=??????-=

=ππ

17.12'

0=l M 即M

l 34.2'0= 而判决门限)

34.2()

1(0'

0M M l M e

e l --===λ

（2）检测概率

dt

e dt e x d x M M

H D P P t M

t l M l D 2

2

'

0'

17.1)2(2

2111

1

4)2(exp 2)|(-∞

--∞-∞

?

?

?=

=??????--==π

ππ或者

()[]

M erf P D -=

17.1-12

1

要点：（1）M l 34

.2'

0=

)

34.2()1(0'0M M l M e

e l --===λ

（2）

()[]

M erf dt e P t M

D -=

=

-∞

-?

17.1-12

1

1

2

17.1π

7、设观察信号x 在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。

式中贝叶斯门限 ()()()()p

C C q

C C H P C C H P C C l 1101001011101000100)()(--=--=

附：高斯误差函数表

第四章 确知信号检测

2题、5 题 、7题 1)|()|()(0

2)(1

010

120

212

0212=><==-l e

H x p H x p x l H H x σσσσσσ

4.2 现有两个假设

)

()cos(cos )(:)

()cos()(21120t n t B t A t x H t n t B t x H +++=++=φωωφω：

其中φωω、、、、21B A 均为确知常数，)(t n 是功率谱密度为2/0N 的高斯白噪声，试设计一个似然比接收机。

解：令 )

cos(cos )()cos()(21120φωωφω++=+=t B t A t s t B t s ，

则接收信号的似然函数

(

)

[]()

[]??????+-?-=

?

?????-?-=

dt t B t x N dt t s t x N H x p T N

T N

2

2

002

000)cos()(1exp 21)()(1exp 21)|(φωσπσπ?

(

)

[](

)

[]?

?????+--?-=

?

?????-?-=

dt t B t A t x N dt t s t x N H x p T N

T N

2

2

1002

1

001)cos(cos )(1exp 21

)()(1exp 21)|(φωωσ

πσπ

似然比

[][]{}

?

??????----==T dt t s t s t x t s t s N H x p H x p x l 00

12

021001)()()(2)()(1exp )|()|()(? 由于

[][]{}

[]{}[]

??+++-

=?-++-=?----

T T T

T tdt t x N A dt t t AB t A N dt t t Ax t B t A t A N dt t s t s t x t s t s N 0

1002

112

200

121100012

0210

cos )(2)cos(cos 2cos 1cos )(2)cos(2cos cos 1)()()(2)()(1ωφωωωωφωωω

假定门限值为0l ，则有

[]

001002112

200

1

cos )(2exp )cos(

cos 2cos 1exp )(l tdt t x N A dt t t AB t A N x l H H T T >

[]

?+++>

H T dt t t B t A l A N tdt t x 02

112000

1)cos(cos 2cos 21ln 2cos )(01

φωωωω

还应当求出不等式右端的积分值.

4.5 二元通信系统中，在每种假设下传送的信号为

)0()

(2sin )(:)(sin )(0100T t t n t A t x H t n t A t x H ≤≤+=+=ωω：

假设两种信号是等概发送的，并且0ω、A 为确知常数，)(t n 是均值为零、功率谱密度为

2/0N 的高斯白噪声，试用最小总错误概率准则确定最佳接收机形式，并计算平均错误概率。

解：由于

t

A t s t A t s 0001sin )(2sin )(ωω==，

按照高斯白噪声下二元确知信号的判决规则

'

000101

)()(-)()(l dt t s t x dt t s t x H H T T >

可得

'00000

1

)1cos 2(sin )(l dt t t A t x H H T >

这里

()()T T A dt t s E T T A dt t s E T

T

000

2

20

0000

2

21

12sin 24)(4sin 48)(ωωωωωω-===-==?

?

[]

()T T A l N E E l N dt t s t s l N l T 000

200010002

02100'02cos 12sin 8ln 2)(21ln 2)()(21ln 2ωωω-?+=-+=?-+=

选用最大后验概率准则时

1

)()(100==H P H P l

()T T A

l 000

2

'02cos 12sin 8ωωω-?=

接收机的结构为

下面考虑平均错误概率 令检验统计量为

?-?=??=T

T T dt t t A t x dt t s t x dt t s t x I 0000001)1cos 2(sin )()()(-)()(ωω

判决规则为 '

00

1

l I H H ><

()()T T A E T T A E 000

2

0000

2

12sin 244sin 48ωωωωωω-=-= ?-==T T T A dt t s t s R 0

000

2

10)3sin sin 3(6)()(ωωω

两种错误概率为dI H I p H D P dI

H I p H D P l l )|()|()|()|(110001'0

'0

?

?

∞

-∞

==

平均错误概率为

dI H I p dI H I p H D P H P H D P H P P l l e )|(21)|(21)|()()|()(10101010'

0'0??∞

-∞+=+=

由于

2010

10110

0)2(2

)|()|()|()|(I R E E N H I Var H I Var R

E H I E E R H I E σ=-+=

=-=-= 定义两信号的平均能量为2/)(01E E E += ， 两信号的时间相关系数为?==

T

dt t s t s E

E R r 010)()(1 有 )1()|()|(02

10r E N H I Var H I Var I -===σ

故两种假设下检验统计量的条件概率密度为

?

??

???---=2

2002)]([exp 21

)|(I I E R I H I p σσπ 题

4.5 图 最佳接收机结构

?

??

???---=2

2112)]([exp 21

)|(I I R E I H I p σσπ 所以

??

?

?????????????--=?=

???

???---=-∞-∞

?

?02)1(2

20012)1(1212

212)]([exp 21

)|(2

'

N r E erf du

e dI E R I H D P u N r E I I l π

σσπ

同理

???

?????????????--=??????---=?

∞

02

21-102)1(1212)]([ex p 21

)|('

N r E erf dI R E I H D P I I l σσπ 所以可得

??

?

?????????????--=02)1(121N r E erf P e

7. 设矩形包络的单个脉冲信号为

t t Arect t s 0cos )(ωτ??

?

??=

其中)(?rect 为矩形函数，即???>≤=2

/,

02

/,

1)(ττx x x rect

信号)(t s 的波形如图4.14所示。（1）求信号)(t s 的匹配滤波器的系统传输函数)(ωH 和单位冲激响应)(t h 。（2）若匹配滤波器输入噪声)(t n 是均值为0、功率谱密度为2/0N 的白噪声，求匹配滤波器输出信噪比SNR 。

解：（1）信号)(t s 的频谱函数

??

?????????

???? ??+??? ??++??? ??-??? ??-=

=-∞

∞

-?

τωωτωωτωωτωωτωω22sin 22sin 2)()(0000A dt e t s S t j

白噪声下匹配滤波器的系统函数为

00

22sin 22sin 2)()(0000*t j t j e cA e cS H ωωτωωτωωτωωτωωτωω--??

????????????? ??+??? ??++??

? ??-??? ??-== 匹配滤波器的单位冲激响应)(t h 为

）

t t t t cArect t t cs t h -???

?

??-=-=0000(cos )()(ωτ （2）匹配滤波器的输出信噪比

输入信号)(t s 的能量为2cos )(22

2

02

2

2

τ

ωτ

τA tdt A dt t s E ===??-∞

∞-

匹配滤波器输出最大的信噪比

202N A N E d m τ==

（3） 可以求出匹配滤波器的输出有用信号

选取观察时间点2

0τ

=

t ，按照)(*)()(0t h t s t s =可以求出匹配滤波器的输出为

???????

???????

?>

≤

<-???

??-≤

≤-

-??? ??--

<=2

3,02

32

,2(cos 2322

2

,2(cos 222

,0)(0

202

0τττ

τωττ

τ

τωττ

t t t t A t t t A t t s ））

简写成

???

???

?≤-

-??

????--=其它

）,02

,2(cos 22)(020τ

τ

τωττt t t A t s

（4）选取观察时间点2

0τ

=t ，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：