安徽省江南十校2019届高三第二次大联考(理科)数学

·江南十校2019届高三第二次大联考

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知a R ∈，i 为虚数单位，若复数1z ai =+，2z z =，则2z =（ ）

A ．2i

B ．2-+或2--

C ．2i 或2i -

D ．22i +或22i - 2.已知集合{|ln(1)ln(1)}A x y x x ==+--，1

{|ln

}1

x B x y x +==-，则x A ∈是x B ∈的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 3.下列四个命题中，错误的命题是（ ）

A ．等比数列{}n a 的公比为q ，若1q >，则数列{}n a 为递增数列

B ．“若

11

a b

<，则0a b >>”的逆命题为真 C ．命题“x R ?∈，均有20x ≥”的否定是：“0x R ?∈，使得020x <”

D ． ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“a b <”是“cos cos A B >”的充要条件 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S *()n N ∈，且55S a =，8432S S =+，则n a 等于（ ） A ．25n - B ．39n - C. 412n - D ．42n -

5.如图是一个三棱锥的三视图，其正视图，侧视图都是直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积与体积分别为（ ）

A ．12π，43π

B ．92π，92π C. 9π， 94π D ．9π，9

2π

6.已知点(,)M a b ，0a >，0b >是圆22:1C x y +=内一点，直线1ax by +=，1ax by +=-，

1ax by -=，1ax by -=-围成的四边形的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）

A ．4S >

B ．4S ≥ C. 4S < D ．4S ≤

7.已知

22)

41tan cos π

ααα-=+，则tan()4πα+的值为（ ） A ．12- B ．2- C. 1

2

D ．2

8.已知实数,x y 满足30

20230x y x y x y +-≤??

-≥??--≤?

，则2z x y =+的最大值为（ ）

A ．3

B ． 4 C. 5 D ．6

9.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，侧面PAB 为等边三角形，,E F 分别为

,PA BC 的中点，给出以下结论：

①//BE 平面PFD ②//EF 平面PCD

③平面PAB 与平面PCD 交线为l ，则//CD l ④BE ⊥平面PAC 则以上结论正确的序号为（ ）

A ．①③

B ．②③ C. ①②③ D ．①②③④ 10.已知实数x 满足12

log 1x >，则函数1

821

y x x =+

-的最大值为（ ） A ． -4 B ．8 C. 4 D ．0

11.如图，已知点P 为等边三角形ABC 的外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上一点，若

11AP x AB y AC =+，22AQ x AB y AC =+，则1212|(2)(2)|x x y y -+-的最大值为（ ）

A ．53

B ．2 C. 73 D ．83

12.已知定义在R 上函数()f x ：满足15

(()2)22

x x f f x -+

=，'()f x 为函数()f x 的导函数，且'()y f x =无零点，则1

1

(())f x x dx -+?的值为（ ）

A ．0

B ．2 C.

52 D ．7

2

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.各项均不为0的等差数列{}n a 满足：2

5

28102a a a --=，等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足12n n n S S b +=+，且75b a =，则27log (8)S -的值为 ．

14.已知平面向量,a b 满足：||1b =，|2|2a b +=，|3|14a b -=，则向量a 在b 方向上的投影为 ．

15.已知在直角坐标系xOy 中，(4,0)A ，3

(0,)2

B ，若点P 满足1OP =，PA 的中点为M ，则

BM 的最大值为 ．

16.若[,)x e ?∈+∞，满足3

2ln 0m x

x x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知平面向量(cos )22x x

a =，(1,1)

b =-，[0,2]x π∈.

（1）若//a b ，求x 的值；

（2）若()f x a b =?，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 值. 18. 已知函数2()(21)ln f x ax a x x =+--. （1）当1

2

a =

时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.

19. 已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，23a =，对*n N ?∈，1n >，都有

1121n n n S S S n +-+=++成立.

（1）求n a ； （2）若1

2n n

b a =

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

20. 如图，已知四边形ABCD 中，对角线6BD =，23

BAD π

∠=，BCD ?为等边三角形. （1）求ABD ?面积的最大值；

（2）当ABD ?的面积最大时，将四边形ABCD 沿BD 折起成直二面角A BD C --，在CD 上是否存在点M 使直线AM 与平面ABD 所成的角α满足：70

cos 10

α=，若不存在，说明理由；若存在，指出点M 的位置.

21. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，B 为其短轴的一个端点，21,F F 分别为其左右两个焦

点，已知三角形12BF F 2，且121

cos 3F BF ∠=.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若动直线22

:(0,)3

l y kx m m k =+≠≠与椭圆C 交于1122(,),(,)P x y Q x y ，M 为线段PQ 的中

点，且22

12

3x x +=，求||||OM PQ 的最大值. 22. 已知函数2()[(1)1],x f x x a x e x R =+-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）若函数,(,0)

()()1,[0,1]x e a x g x f x x ?-∈-∞=?-∈?，在其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点，求a 的取值

范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: CAAAD 6-10:ABDCD 11、12：CB

1.C 【解析】由已知得：2121a a +=?=或-1，故212z i z i =±?=±，故选C.

2.A 【解析】依题意：(1,)A =+∞，(,1)(1,)B =-∞-+∞，A B ?，故选A.

3.A 【解析】A 错，B,C,D 为真，故选A.

4.A 【解析】由已知条件得：13a =-，2d =，故25n a n =-，故选A.

5.D 【解析】该三棱锥的外接球即长方体的外接球由已知，长方体的三条棱长为2,1,2，故可得表面积为9π，体积为

92

π

，故选D.

6.A 【解析】由已知221a b +<，四条直线围成的四边形面积2244

42S ab a b

=

≥>+，故选A. 7.B 【解析】由

22sin()

41tan tan 3cos π

αααα-=+?=，故31tan()2413πα++==--，故选B. 8.D 【解析】画出可行域如图，其中(3,0)A ，(1,2)B ，(1,2)C --，故当3,0x y ==时，

max 6z =，故选D.

9.C 【解析】取PD 中点M ，易知//BE FM ，//EF CM ，故①②正确，//CD AB 得//CD 平面PAB ，故//CD l ，③正确，④显然不正确，故选C.

10.D 【解析】由12

log 1x >，1

012102

x x <<

?-<-<，11184(21)4(4(12))4440212112y x x x x x x =+

=-++=--++≤-+=---，当且仅当1

4

x =上式取等号.故选D.

11.C 【解析】如图，取BC 中点M ，AM 交外接圆于P ，交内切圆于Q ，此时P 为外接圆劣弧BC 的中点，11x y +取得最大；Q 为内切圆劣弧DE 的中点，22x y +取得最小，记11x y +的最大值为λ，22x y +的最小值为μ，而43AP AM λ=

=，1

3

AQ AM μ==， 故12121122|(2)(2)||2()()|x x y y x y x y -+-=+-+的最大值为417

22333

λμ-=?-=，故选C.

12.B 【解析】'()y f x =无零点，故函数()f x 为单调函数，由15(()2)22

x x f f x -+

=知1()22x x f x -+

为常数，设1()22x x f x t -+=，则可得：1()22

x

x

f x t =-+且5()2f t =

152122t t t t ?-+=?=，故1

()212

x x f x =-+，1

1

1

1

1(())(21)2x x f x x dx x dx --+=-

++?

?11111(2)122x x x dx dx --=-++=??（注意：122

x

x x -+为奇函数），故选B. 二、填空题

13. -4【解析】由25

28102

a a a --=2

554a a ?=54a ?=，故74b =，而由12n n n S S b +=+，得12n n b b +=，故761,,,b b b 成等比数列，公比为

1

2

，77471(1)

282112

b S --

==--，27

log (8)4S -=-，

故答案为-4.

14. 12-【解析】由已知240a a b +=，265a a b -=1

2

a b ?=-，又||1b =，故向量a 在b 方

向上的投影为

1

2||

a b b =-，故答案为12-.

15.3【解析】由(4,0)A ，3

(0,)2

B ，1OP =，则P 点轨迹为221x y +=，设(,)M x y ，则

22(24,2)(24)(2)1P x y x y -?-+=221(2)4x y ?-+=

，M 的轨迹为圆(2,0)D ，半径为1

2

，故BM 的最大值为151

||3222

BD +=+=，故答案为3.

16. (,2]e -∞【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由

3

2ln 0m

x

x x me -≥2

2ln m x m x x e x ?≥2ln (2ln )m

x

x m x e

e x ?≥，由()x

f x xe =在[,)e +∞为增2ln m

x x

?≥

2ln m x x ?≤在[,)e +∞恒成立，由()2ln g x x x =在[,)e +∞为增，min ()2g x e =，

02m e <≤，综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞. 三、解答题

17.解：（1）由//a b ，(cos )22x x

a =，(1,1)

b =-，

可得cos

22

x x -=tan 2x ?=

由[0,2]x π∈，[0,]2x π∈，故55263x x ππ

=?=；

（2）()cos 22x x f x a b ==-2cos()23x π

=+，

由[0,2]x π∈4[,]2333

x πππ

?

+∈， 得1cos()[1,]232

x π+∈-.

当233

x ππ

+=，即0x =时，max ()1f x =； 当23x ππ+=，即43x π=时，min ()2f x =-. 18.（1）当12a =

时，21

()ln (0)2

f x x x x =-> 1(1)(1)'()x x f x x x x

+-?=-

= 故当(0,1)x ∈时，'()0f x <，()f x 为减函数； 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 为增函数， ∴1x =时，1

()(1)2

f x f ==

极小值，无极大值； （2）由2()(21)ln (0)f x ax a x x x =+-->，

可得：22(21)1(1)(21)

'()ax a x x ax f x x x +--+-==

①当0a ≤时，'()0f x <，()f x 在(0,)+∞为减函数； ②当0a >时，1(0,

)2x a ∈时，'()0f x <，故()f x 在1(0,)2a 为减函数；1

(,)2x a ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在1

(

,)2a

+∞为增函数. 19.（1）由11a =，23a =，1121n n n S S S n +-+=++， 可得：34111a ++=， ∴36a =，

当3n ≥时，112121

211n n n n n n S S S n S S S n +---+=++??

+=+-+?1121n n n a a a +-?+=+， 即11()()1(3)n n n n a a a a n +----=≥，而3221()()1a a a a ---=. 故(1)2

n n n a +=

； （2）由已知11112(1)1

n n b a n n n n =

==-++， 由列项相消法得：1111

n n T n n =-

=++. 20.（1）在ABD ?中，记AB m =，AD n =， 则由余弦定理：22363m n mn mn =++≥12mn ?≤，

（当且仅当m n ==

此时，12sin 234

ABD S mn mn π?=

=≤ ABD ?

的面积的最大值为

（2）由（1）知，23AB AD ==，6BD =， 设存在M ，在三棱锥A BCD -中，取BD 的中点O ，

连接OA ，易知3OA = 作ME BD ⊥于E ，

由平面ABD ⊥平面BCD ME ?⊥平面ABD . 故AM 在平面ABD 上的投影为AE .

AM 与平面ABD 所成的角为MAE α∠=， 由70cos 10α=

3tan 7

ME

AE α?==

. 设DM α=，得32ME =，2

3124

a AE a =-+ 故2280a a +-=2a ?=.

故存在M ，且2DM =，满足题意.

（2）另解：由（1）23AB AD ==6BD =，

设存在M ，则在三棱锥A BCD -中，取BD 的中点O ，连接,OA OC ，易求3OA = 以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系，

平面ABD 的法向量为(1,0,0)n =，

设DM a =

，得2ME a =

，得,3,0)22a M a -，

又

A 3(

,3,22

a

AM a ?=-. 由sin |cos

,|AM n α=

<>

=

=

=22802a a a ?+-=?=.

故存在M ，且2DM =，满足题意.

21.（1）由22122

241cos 23a c F BF a -∠==221

3

c a ?=223a c ?=，222b c =，

121cos 3

F BF ∠=

12sin F BF ?∠=

结合122122

223

F BF S a ?=

=23a ?=， 22b ?=，

故椭圆C 的方程为22

132

x y +

=； 另解：依题意：121

22F BF S cb bc ?=?==

2

12121

cos 2cos 123

F BF F BF ∠∠=-=2223b a ?=，

解得：23a =，22b =，

故椭圆C 的方程为22

132

x y +

=；

（2）联立22

236

y kx m x y =+??+=? 222

(32)6360k x kmx m ?+++-=. 2224(32)0k m ??=+-> 2232k m ?+>.

且122632

km

x x k -+=+，21223632m x x k -=+；

依题意，22

12

3x x += 21212()23x x x x ?+-= 22222

(6)6(2)

3(32)32

km m k k --?-=++ 化简得：22322k m +=（∵232k ≠）；

设00(,)M x y ，由22

1122

22236236

x y x y ?+=??+=?? 2222

012121212022()3()3x y y x x y y k x x y -?-=--?==-- 又00y kx m =+

解得：31(,)2k M m m

- 222

22

9431||42k m OM m m +-?==， 2

2

2

12||(1)||PQ k x x =+- 2222

222

24(32)2(21)

(1)(32)k m m k k m +-+=+=+

22221125||||(3)(2)4

OM PQ m m ?=-

+≤ 5

||||2

OM PQ ≤

. 当且仅当221132

m m -

=+，即m =时，||||OM PQ 的最大值为5

2

.

22.（1）由2()[(1)1]x f x x a x e =+-+，x R ∈， 得：'()(1)()x f x x x a e =++，

①当1a =时，'()0f x ≥，()f x 在(,)-∞+∞为增函数；

②当1a <时，()f x 在(,1)-∞-和(,)a -+∞为增函数，在(1,)a --为减函数；

③当1a >时，()f x 在(,)a -∞-和(1,)-+∞为增函数，在(,1)a --为减函数； （2）对于()g x 当(,0)x ∈-∞时，()x g x e a =-， 故当0a ≤时，()g x 在(,0)-∞内无零点， 当01a <<时，()g x 在(,0)-∞内有一个零点， 当1a ≥时，()g x 在(,0)-∞内无零点，

对于()g x 当[0,1]x ∈时，2()[(1)1]1x g x x a x e =+-+- 由（1）当1a ≤-时，()g x 在[0,1]为减函数， 而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点.

此时，()g x 在其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点，

当1

11a e -<<-时，()g x 在[0,]a -为减函数，在(,1]a -为增函数，

而(0)0g =，(1)(1)10g a e =+-<得()g x 在[0,1]有一个零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有一个零点，

当1

10a e -≤≤时，()g x 在[0,]a -为减函数，在(,1]a -为增函数， 而(0)0g =，(1)(1)10g a e =+-≥得()g x 在[0,1]有两个零点. 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点， 当01a <<时，()g x 在[0,1]为增函数，

而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点，在(,0)-∞内有一个零点， 此时()g x 其定义域(,1]-∞上有且只有两个零点， 当1a ≥时，()g x 在[0,1]为增函数，

而(0)0g =，得()g x 在[0,1]有一个零点，在(,0)-∞内无零点，

此时()

g x其定义域(,1]

-∞上有且只有一个零点，

综上可得：当()

g x在其定义域内有且只有两个零点时，a的取值范围为

1

[1,1) e

-.