弹性力学考题类型-7页精选文档

一、 已知某点的应力状态为

试求该点的主应力、应力主轴方向（仅计算σ1应力主轴方向）和最大切应力。

二、已知弹性体的体积力为常量，其应力分量为：

如弹性体为可能的应力状态，求待定系数A ，B 应满足的关系。 三、已知圆筒的内径和外径分别为a 和b ，圆筒受内压q 的作用，在圆筒外部受刚性位移约束，如图所示。试求圆筒应力。 已知轴对称应力和位移为：

解：做出圆筒的受力状态如下图所示。 极坐标下应力边界条件

θ

θθθτστσf l m f m l s r s r s r s r =+=+)()()()( 3

对于圆筒的内表面，

q

f m l r ==-=,0,1

3

因此有内表面的边界条件为q r =-σ 即 q C a A

a

r r

-=+=

=22

σ （1） 3 圆筒外表面满足位移边界条件

==b

r r

u

即

1[(1)2(1)]1[(1)2(1)]0r

r b

r b

A u v v Cr E r

A

v v Cb E b

===

-++-=-++-= （2） 3

联立（1）（2）解得

()22

222

22

(1)(1)(1)12(1)2(1)q a b A a b q a

C a b νννννν--=

++--+=

++- 4

因此可得圆筒的应力 圆筒的位移

圆筒内半径的改变量为 厚度变化量

四、图示的三角形悬臂梁，在上边界0=y 受到均布压力q 的作用，试用

下列应力的函数

]tan cos cos sin )([2

222αφρφφρφαρC Φ-+-=求出其应力分量。（本题15分）

解：应力函数Φ应满足相容方程和边界条件，从中可解出常数 得出的应力解答是

在截面 mn 上，正应力和切应力为

刘章军：弹性力学内容精要与典型题解，中国水利水电出版社。P19.例2.8 五、图示薄板，在y 方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖

点A 处无应力存在。 六、试考察

，能解决图示弹性体的何种受力问题。（10分）

解：本题应按逆解法求解。

首先校核相容方程，▽4

Φ = 0是满足的。 然后，代入应力公式（4-5），求出应力分量： 再求出边界上的面力：

七、半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数Φ= ρ2(B sin2φ+Cφ)求解应力分量。（20分）

解：首先检验Φ，已满足▽4Φ = 0。由Φ求应力，代入应力公式得再考察边界条件。注意本题有两个φ面,即φ= ±π/2，分别为±φ面。

在±φ面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。

因此，有

代入公式，得应力解答，

八、挡水墙的密度为ρ1，厚度为b,如图所示,水的密度为ρ2，试求应力分量。（20分）

解：用半逆解法求解。

（1）假设应力分量的函数形式。

因为在y=-b/2边界上，σy=0，y=b/2边界上，σy=ρ2gx，所以可假设在

区内σy沿x向也应是一次式变化，即

σ

= x f ( y )

y

（2）按应力函数的形式，由σy推测Φ 的形式，

（3）由相容方程求应力函数。代入▽4Φ = 0得

要使上式在任意的x处都成立，必须

代入Φ，即得应力函数的解答，其中已略去了与应力无关的一次式。

（4）由应力函数求解应力分量。将Φ代入式(2-24) ,注意体力f x=ρ1g，f y=0，求得应力分量为

（5）考察边界条件：

主要边界y = ± b / 2上,有 由上式得到 求解各系数，由 由此得 又有 代入 A ,得

在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件： 由式(g ),(h )解出

代入应力分量的表达式，得最后的应力解答：

九、三角形水坝如4图所示，其下端无限长，左侧受比重为γ的液体压力，坝体材料比重为ρ。已求得应力分量如下所示，试根据边界条件确定待定系数A 、B 、C 、D 。（20分）

解：对于直角坐标系，边界条件为

()()()()x s xy s x

y s xy s y

l m f m l f στστ+=+= 3

对于x =0的边界，

0,,0,1===-=y x f y f m l γ 4 代入边界条件可得0

=-=-xy x y

τγσ，与当x =0时x y xy Dy By Cy

σστ===-比较可以得到

0,C D γ==- 3

对于斜面，有

0,0,sin ,cos ==-==y x f f m l αα

4

并且在此斜面上有

αtan =y

x

1

代入边界条件可得0

sin cos 0sin cos =-=-ασατατασy xy xy x

把x y xy Cx Dy Ax By

Bx Cy x

σστρ=+=+=---，0,C D γ==-代入上式，可得

解得

223

3

cot tan 2cot 2cot tan tan B C γ

ργαρα

ρ

γραγαα

α

=

-=-=

-

=- 5

所以320,cot 2cot cot C D C D γ

ραγαγαρ

==-=-=-

十、如所示的橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，其上端用铁盖封闭，铁盖上作用一均布压力q 。铁盒和铁盖均可视为刚体，且橡皮块和铁盒、铁盖之间无摩擦阻力，试求橡皮块的体应变和体应力。（15分）

图1 图1（a ）

解：因橡皮块与铁盒及铁盖之间无摩擦阻力，故压力垂直于内侧面，取右图所示的坐标系。由于铁盒视为刚体，故

0x x εε==

(1)

铁盖上受均布压力q 作用，因此有：

z q σ=-

(2)

于是，由物理方程可得： 1

()x x y q E εσμσ??=

--?? (3) 1()y y x q E

εσμσ??=--?? (4)

1()z x y q E εμσσ??=--+?

? (5)

由式(3)和式(4)可得：

(1)()0x y μσσ+-=

(6)

因为0μ>，故

x y σσ=

(7)

将式(7)代入式(3)中可得

1x y q μ

σσμ

==-- (8)

因此，铁盒内侧面所受的压力为1q μ

μ

-。

将式(8)代入式(5)中可得：

(21)(1)

(1)

z q E μμεμ-+=

-

(9)

因此橡胶块的体应变为：

(21)(1)

(1)

x y z q E μμθεεεμ-+=++=

-

(10)

橡胶块的体应力为：

(1)

1x y z q μσσσμ

-+Θ=++=

- (11)

十一、对于平面应力问题，试判断

2332

64,2,6x y xy Ax y Ay Ay Axy σστ=-==-所

表示的应力分量是否可能发生？其中A 为常数，且体力不计。（15分）

解：将式代入平衡方程：

0xy

x x f x

y

τσ??++=??，

0yx

y y f x

y

τσ??+

+=?? 6

得

自然满足

将式代入相容方程：0)(2222=+???

?

????+??y x y x σσ

2332364262x y Ax y Ay Ay Ax y Ay σσ+=-+=- 3

2222()12120y y Ay Ay x y σσ??

??++=-= ?????

6 自然满足

∴ 给出的应力是一组可能的应力场

十二、试判断下面给出平面应力问题的应力场是否为可能的应力场（不计体力）。（本题15分）

解：将式代入平衡方程：

=+??+??X y

x

xy

x τσ0=+??+??Y y

x y yx στ 6 得03322=+-xy xy ，033=-y y ，自然满足

将式代入相容方程：0)(2222=+????

????+??y x y x σσ

)4

1

23(422y y x y x +-=+σσ 3

0333)(2222222≠---=+???

? ????+??y x y y x y y σσ 6 ∴ 式（a ）不是一组可能的应力场

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1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。不如积阴德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。

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