等腰三角形典型例题

等腰三角形

1．如图，已知点C为线段AB上一点，和都是等边三角形，AN、BM相交于点O，AN、CM交于点P，BM、CN交于点Q．（1）求证：．（2）

求的度数．（3）求证：．

【分析】（1）欲证，只需证明它所在的两个三角形全等．（2）的度数可用的外角来求，但要注意全等所得到这一条件的使用．（3）要，则，应该为一个等边三角形，可证明≌，从而得到．（1）证明：和都是等边三角形，，，，

，即

．在和

中，≌，

．（2）由（1）知，≌，

．，即

．

（3）在和中，≌，，

．又，

，即，．【点拨】（1）要证明线段相等（或角相等），找它们所在的三角形全等．（2）本题的图形规律：共一个顶点的两个等边三角形构成的图形中，存在一对或多对绕公共点旋转变换的三角形全等．2．如图，在中,，

，的平分线AM的长15，求BC的长．

【分析】由AM平分，，可得，，则，所以．在中，，可得，由，可求出BC的长．解：在中，，，．AM平分，，，．在中，，

．【点拨】含30度的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余一起运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要方法．3．如图，，，，．求证：．【分析】根据已知“，”联想到等腰三角形“三线合一”，通过辅助线将证明转化为证明

．证明：延长CE、BA交于点F．，

．在和

中，≌，，即．，．在和

中，≌，，．【点拨】（1）利用等腰三角形“三线合一”不仅能得到线段相等、角相等，而且能得到线段的倍半关系．（2）联系等腰三角形“三线合一”作顶角平分线或底边的中线或底边的高线是常用的辅助线．4．如图，△ABC中，AB=AC，在AB 边上取点D，在AC延长线上取点E，使BD=CE，连结DE交BC于G．求证：

DG=GE．【分析】由于△ABC是等腰三角形，D为AB上一点，E 为AC延长线上一点，故可考虑过D或E作腰AC或AB的平行线，通过构造等腰三角形，可获得结论．证法1：过D作DF∥AC，交BC于F（如图）．∴∠DFB=

∠ACB．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∴∠B=∠DFB．∴

DB=DF．∵CE=BD(已知)，∴DF=CE．又∠DGF=

∠CGE，∠GDF=∠E，∴△DFG≌△ECG（AAS）．∴DG=GE．证

法2：过E作EM∥AB交BC延长线于M．∴∠B=∠

M．又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．又

∠ACB=∠ECM，∴∠M=∠ECM．∴EC=EM．∵CE=BD(已知)，∴

EM=BD．在△BDG与△MEG中，∴△BDG≌△MEG（AAS）．∴DG=GE．【点拨】（1）本题的证明方法很多，其思路是通过利用等腰三角形ABC 的底角相等并借助BD=CE条件，构造新的等腰三角形来寻求结论．（2）本题在推证含DG、GE为对应边的两个三角形全等时，寻找等边是一个难点，也是本题最易出错的地方，主要表现为把BD=CE这一条件直接作为三角形全等时的对应边．5．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（如图（1））．（2）图(2)（3）供画图用，作图工具不限，不要求写画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度

数）．【分析】由于所给三角形是一个含36°的等腰三角形，因而将它分成三个等腰三角形时仍只需考虑以36°，72°，108°等为内角的等腰三角形即可．解：本题显然应有多种结果，现提供3种，以供同学们参考，如图中（2）、（3）、（4）；