北京市西城区2017届高三数学二模试题文
北京市西城区2017届高三数学二模试题 文
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知集合{|11}A x x =∈-< （D ）{|12}x x ∈-< 2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2) （B ）(3,2)- （C ）(4,6) （D ）(4,6)- 3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）21 1 y x = + （D ）y 4．若抛物线2 y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a = （A ）1± （B ）2± （C ）4± （D ）8± 5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11 a b <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 6 ．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+???? ≤≥≥表示的平面区域的面积是 （A （B （C ）2 （D ） 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为 （A ） 43 （B ）2 （C ） 83 （D ）4 8．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞ （C ）1 (,)2 +∞ （D ）1(,)4 +∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____． 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____． 11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3 A = ， a =1 b =，则 c =____． 12．已知圆22 :1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____． 13．函数22, 0,()log , 0. x x f x x x ?=?>?≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____． 14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满 分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知函数π ()tan()4 f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）设β是锐角，且π ()2sin()4 f ββ=+，求β的值． 16．（本小题满分13分） 某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分． 整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)， [40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表： （Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数； （Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在 [0,10)范围内的概率； （Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由． 17．（本小题满分13分） 设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记 n n n c a b =+，1,2,3, n =． （Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ． B 餐厅分数频数分布表 18．（本小题满分14分） 如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==， ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ． （Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ； （Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FM FC 的值； 若不能，说明理由． 19．（本小题满分13分） 已知函数()ln 2 a f x x x = +-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值． 20．（本小题满分14分） 已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m = +与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求PAB △的面积的最大值； （Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明． 西城区高三模拟测试 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2017.5 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．2 12．22 (2)(2)1x y -+-=13．2- ；114．4；42 注：第13、14题第一空2分，第二空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k + ≠+，得π π4 x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的定义域是π {|π,}4 x x k k ≠+∈Z ．[ 4分] （Ⅱ）依题意，得ππ tan()2sin()44 ββ+=+． [ 5 分] 所以 π sin() π42sin()π4cos()4 βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π 444 β<+<，[ 8分] 所以π sin()04 β+>，[ 9分] ①式化简为π1 cos()42 β+=． [10分] 所以 ππ 43 β+ =，[12分] 所以π 12 β=． [13分] 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得 对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++?=，[ 2分] 所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220?=． [ 3分] （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ； 对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为： 12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分] 其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )， 21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分] 故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63 105 P = =．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看： 由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=， 所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%． 所以会选择B 餐厅用餐． [13分] 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可． 17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以 21n a n =-．[ 2分] 因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列， 所以1 n n b q -=．[ 4分] 所以1 21n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分] 因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分] 即 2 2(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分] 经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分] （Ⅱ）由（Ⅰ）知1 21(1,2,)n n c n q n -=-+=． 所以1 2 11 1 1 1 1 1 (21)n n n n n n k k n k k k k k k k k k S c a b k q n q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分] 当1q =时，2 n S n n =+．[11分] 当1q ≠时，2 1 1 n n q S n q -=+-．[13分] 18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分] 又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分] （Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分] 所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN 平面FBC MN =， 所以//AD MN ．[ 8分] （Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分] 连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥． 因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN 平面BCF MN =， 若使平面ADMN ⊥平面BCF ， 则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分] 在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==． 所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点． 所以 1 2 FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且2 1 ()(2) a f x x x '=- +-．[ 2分] 当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线?方程()0f x '=存在D 上的解． 令2 110(2) x x - +=-，整理得2 540x x -+=， 解得1x =，或4x =． 所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 2 1 ()(2) a f x x x '=- +-． ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立， 函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ?=-+->， 所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <． 由1212 44, 4,x x a x x +=+>??=?得1202x x <<<．[ 8分] ()f x '，()f x 的变化情况如下表： 所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分] 2121212121()()( ln )(ln )()(ln ln )2222 a a a a f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11 分] 因为1202x x <<<，且0a >， 所以 21022 a a x x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >． 所以()f x 的极小值大于极大值．[13分] 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的半焦距为c ． 因为椭圆C ， 所以 2222222 112 c a b b a a a -==-=， 即 22 2a b =．[ 1分] 由22222,211,a b a b ?=??+=?? 解得 2 2 4, 2.a b ?=??=??[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22 142 x y +=．[ 4分] （Ⅱ）将y x m =+代入22 142 x y +=， 消去y 整理得2220x m +-=．[ 5分] 令22 24(2)0m m ?=-->，解得22m -<<． 设1122(,),(,)A x y B x y ． 则12x x +=，2 122x x m =-． 所以AB = = =[ 6分 ] 点P 到直线0x += 的距离为d ． [ 7分] 所以PAB △的面积1 2S AB d = ? |m = = ，[ 8分] 当且仅当m = 时，S 所以PAB △ ．[ 9分] （Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分] 设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ， 则12k k += +[11分] 由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x --+-- 12211)(1)(m x m x =+-++- 1212(2)()1)x m x x m =+-+-- 22)(2)()1)m m m =-+--- 0=， 所以直线PA ，PB 的倾斜角互补．[13分] 所以12∠=∠， 所以PMN PNM ∠=∠． 所以||||PM PN =．[14分]