数学必修五复习导学案一对一使用资料

§1.1 正弦定理和余弦定理 第一课时 正弦定理

一、1．基础知识 设?ABC 的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，R 是?ABC 的外接圆半径。 （1）正弦定理： = = =R 2。 （2）正弦定理的三种变形形式： ①==b A R a ,sin 2 ，=c 。

②==

B R

a

A sin ,2sin ，=C sin 。 ③=c b a :: 。

（3）三角形中常见结论：

①=++C B A 。②a

sin

B

A += ，=+)sin(

B A ，)(2sin B A += 。 2．课堂小练

（1）在ABC ?中，若A sin >B sin ，则有（ ） A ．a b

D ．a ，b 的大小无法确定

（2）在ABC ?中，8,105,300

===b C A ，则a 等于（ ）

A ．4

B ．24

C ．34

D ．54 （3）已知ABC ?的三边分别为c b a ,,，且a b B A :cos :cos =，则ABC ?是 三角形。 二、例题

例1 根据下列条件，解ABC ?：

（1）已知

30,7,5.3===B c b ，求a A C 、、；

（2）已知B =30°，2=b ，2=c ，求a A C 、、；

（3）已知0

45,9,6===B c b ，求a A C 、、。

例2 在ABC ?中，C

B C

B A cos cos sin sin sin ++=

，试判断ABC ?的形状。

三、练习

1．在ABC ?中，若B b A a cos cos =，求证：ABC ?是等腰三角形或直角三角形。

2．在ABC ?中，5:3:1::=c b a ，求C

B

A sin sin sin 2-的值。

四、课后练习

1．在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ）

A ．A c C a cos cos =

B ．A c

C b sin sin = C ．B bc C ab sin sin =

D ．A c C a sin sin =

2．在ABC ?中，

120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）

A ．

35 B ．53 C ．73 D ．7

5 3．在ABC ?中，已知

60,8==B a ，C=75°，则b 等于（ ）

A ．24

B ．34

C ．64

D ．3

32

4．在ABC ?中，0

60=A ，24,34==b a ，则角B 等于（ ）

A ．45°或135°

B ．135°

C ．45°

D ．以上答案都不对 5．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A ．

30,16,8===A b a ，有两解 B ．

60,20,18===B c b ，有一解 C ．

90,2,5===A b a ，无解

D ．

150,25,30===A b a ，有一解

6．已知ABC ?中，

45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）

A ．310+

B ．)13(10-

C ．)13(10+

D ．310

7．在ABC ?中，已知A b B a tan tan 2

2

=，则此三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角或等腰三角形

8．在ABC ?中，B C 2=，则B

B

sin 3sin 等于（ ） A ．a b B ．b a C ．c a D ．a

c

9．在ABC ?中，已知

45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．222 C ．2

10．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为5

3

。该三角形的面积为14，则这两边分别为（ ）

A ．3和5

B ．4和6

C ．5和7

D ．6和8

11．在ABC ?中，若

60,32,2=∠==B b a ，则c = ，=∠C 。 12．在ABC ?中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于 13．在ABC ?中，

30,1,3===B b a ，则三角形的面积等于 。

14．若ABC ?三个角C B A 、、成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 。 15．已知ABC ?中，c AB a BC ==,，且b b

c B A -=2tan tan ，求A 。

16．已知在ABC ?中，0

45=A ，2,6==BC AB ，求其他边和角。

17．在ABC ?中若B C 3=，求

b

c

的取值范围。

18．已知方程0cos )cos (2

=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且b a 、为ABC ?的两边，B A 、为b a 、的对角，试判定此三角形的形状。

1.12 余弦定理

一、基础填空

1．余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的 减去这两边与它们的 的 的 的 倍，即

2a = ，2b = ，2c = 。

2．余弦定理的推论：

=A cos ，=B cos ，=C cos 。

3．运用余弦定理可以解决两类解三角形问题：、 （1）已知三边，求 ；

（2）已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。 4．ABC S ?= = = 。 二、典型例题

例1 A B C ?中，已知

30,33,3===B c b ，求角A 、角C 和边a 。

练习1 已知ABC ?中，)13(:6:2::+=c b a ，求 ABC ?的各角度数。

例2 在ABC ?中，已知ab c b a c b a 3))((=-+++，且C B A sin sin cos 2=?，确定ABC ?的形状。

练习2 在ABC ?中，B a A b cos cos =，试判断三角形的形状。

三、课堂练习

1．在ABC ?中，已知B =30°，150,350==c b ，那么这个三角形是（ ）

A ．等边三角形

B ．直角三角形

C ．等腰三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

2．在ABC ?中，C B A 、、的对边分别为c b a 、、，若ab

b a

c 22

22-->0，则ABC ?（ ）

A ．一定是锐角三角形

B ．一定是直角三角形

C ．一定是钝角三角形

D ．是锐角或直角三角形

3．在ABC ?中，7:5:3::=c b a ，则ABC ?的最大角是（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 4．在ABC ?中，13,34,7===c b a ，则ABC ?的最小角为（ ）

A ．

3

π

B ．

6

π C ．

4

π D ．

12

π

5．在ABC ?中，若ac c a b ++=2

2

2

，则B ∠为（ ）

A ．60°

B ．45°或135°

C ．120°

D ．30°

6．在ABC ?中，已知)(22

2

2

4

4

4

b a

c c b a +=++，则C 等于（ ）

A ．30°

B ．60°

C ．45°或135°

D ．120°

7．在ABC ?中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是

2

3

，则ABC ?的面积是（ ）

A ．34

15

B ．415

C ．4321

D ．4335 8．若ABC ?为三条边长分别是3，4，6，则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比是（ ）

A ．1:1

B ．1:2

C ．1:4

D ．3:4

9．已知ABC ?中，1,3==AC AB ，且 30=B ，则ABC ?的面积等于（ ）

A ．

2

3 B ．

43 C ．23或3 D ．43或23 10．在ABC ?中，13

5

cos ,53sin ==B A ，则C cos =（ ）

A ．6516

B ．6556

C ．6516或65

56

D ．以上皆对

11．在ABC ?中，若2,32,300

===AC AB B ，则ABC ?的面积S 是

12．已知三角形的两边分别为4和5，它们夹角的余弦是方程02322

=-+x x 的根，则第三边长是 。

13．ABC ?中三边分别为c b a 、、，且4

2

22c b a S -+=?，那么角C =

14．在ABC ?中，三边的长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为 。 15．三角形的两边分别为3cm ，5cm ，它们所夹角的余弦为方程06752

=--x x 的根，则这个三角形的面积

为

16．在ABC ?中，已知b c a b a 2,4=+=-，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于 。 17．如图所示，在ABC ?中，D AC AB ,3,5==为BC 的中点，且4=AD ，求BC 边的长。

18．已知圆O 的半径为R ，它的内接三角形ABC 中2R B b a C A sin )2()sin (sin 2

2-=-成立，求ABC ?面

积S 的最大值。

19．已知三角形的一个角为60°，面积为2

310cm ，周长为20cm ，求此三角形的各边长。

20．在ABC ?中，

60=∠A ，1=b ，3=

?S 。

求（1）

C

B A c

b a sin sin sin ++++的值；（2）ABC ?的内切圆的半径长。

四、课后练习

1．在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ） A ．A c C a cos cos = B ．A c C b sin sin = C ．B bc C ab sin sin = D ．A c C a sin sin = 2．在ABC ?中，

120,3,5===C b a ，则B A sin :sin 的值是（ ）

A ．

35 B ．53 C ．73 D ．7

5 3．在ABC ?中，已知

75,60,8===C B a ，则b 等于（ ）

A ．24

B ．34

C ．64

D ．3

32

4．在ABC ?中，24,34,60===b a A

，则角B 等于（ ） A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5．根据下列条件，判断三角形的情况，其中正确的是（ ） A ．

30,16,8===A b a ，有两解 B ．

60,20,18===B c b ，有一解 C ．

90,2,5===A b a ，无解 D ．

150,25,30===A b a ，有一解

6．已知ABC ?中，

45,60,10===C B a ，则c 等于（ ）

A ．310+

B ．)13(10-

C ．)13(10+

D ．310

7．在ABC ?中，已知A b B a tan tan 2

2=，则此三角形是（ ）

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．直角或等腰三角形

8．在ABC ?中，B C 2=，则B B

sin 3sin 等于（ ）

A ．

a

b

B ．b a

C ．c

a

D ．

a

c

9、在A B C ?中，已知

45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理，三角形的两解，则x 的取值范围是（ ）

A ．2

B ．x >22

C ．2

D ．0

10．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为5

3

，该三角形的面为14，则这两边分别为（ ）

A ．3和5

B ．4和6

C ．5和7

D ．6和8

11．在ABC ?中，若

60,32,2=∠==B b a ，则=c ，=∠C 。

12．在ABC ?中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于 13．在ABC ?中， 30,1,3===

B b a ，则三角形的面积等于 。

14．若ABC ?三个角C B A 、、成等差数列，且最大边为最小边的2倍，则三内角之比为 。 15．已知ABC ?中，c BC a BC ==,，且b

b

c B A

-=2tan tan ，求A 。

16．已知在ABC ?中，A =45°，2,6==BC AB ，求其他边和角。

17．在ABC ?中，若B C 3=，求b

c

的取值范围。

18．已知方程0cos )cos (2

=+-B a x A b x 的两根之积等于两根之和，且b a 、为ABC ?的两边，B A 、为b a 、的对角，试判定此三角形的形状。

§1.1 正弦定理和余弦定理

第三课时 正弦定理和余弦定理综合问题

一、①基本知识

1．利用正、余弦定理可判断三角形的形状，其途径通常有两种： （1）将已知条件统一化成 的关系，用代数方法求解；

（2）将已知条件统一化成 的关系，用三角方法求解。

2．三角形中常用面积公式： （1）a a h ah S (21

=

表示 ）

；

（2）==C ab S sin 2

1

= 。

3．解斜三角形通常有下列四种情形： （1）已知“一边和二角（如C B a ,,）”，则可由0

180=++C B A ，求角A ，再由 定理求出b 与c 。 此时B ac S sin 2

1

=

?在有解时只有 解。

（2）已知“两边及夹角（如),,C b a ”，则可由 定理求第三边c ，再由 定理求出小边所对的

角，再由0

180=++C B A 求出另一角。 其中C ab S sin 2

1

=

?在有解时只有 解。 （3）已知“三边（如),,c b a ”，可用 定理求出角B A ,，再利用 求出角C 。 其中C ab S sin 2

1

=

?在有解时只有 解。

（4）已知“两边和其中一边的对角（如),,A b a ”，可由 定理求出角B ，由0

180=++C B A ，求出

角C 再利用 定理求出边c 。

其中C ab S sin 2

1

=

?可有 解、 解或 解。 ②课堂小练

1．已知ABC ?中，26,22,32+===c b a ，则ABC ?的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D 、不能确定 2．在ABC ?中，若三内角满足C C B B A 2

22sin sin sin sin sin +?+=，则角A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 3．在ABC ?中，若C c B b A a cos cos cos =+，则这个三角形一定是（ ） A ．锐角三角形或钝角三角形 B ．以a 或b 为斜边的直角三角形 C ．以c 为斜边的直角三角形 D ．等边三角形

4．已知ABC ?的周长为20，面积为

60,310=A ，则BC 的长为 。

二、例题

例1 在ABC ?中，若A b B a tan tan 2

2

=，求证ABC ?是等腰三角形。

例2 在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角C B A 、、的对边，已知ac b =2，且bc ac c a -=-2

2，求A ∠的大小及

c

B

b sin 的值。

例3 已知在ABC ?中，锐角B 所对的边7=b ，外接圆半径R=3

3

7，三角形面积310=，求三角形其他两边的长。 三、课堂练习

1．已知ABC ?中，16

247

sin ,3,8===A c b ，求a 的值，并判断三角形的形状。

2．ABC ?中，a 、b 、c 分别为C B A 、、的对边，如果

30,2=∠+=B c a b ， ABC ?的面积为2

3

，那么b =（ ）

A ．

2

3

1+

B ．

2

3

2+ C ．31+ D ．32+ 3．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程02322

=+-x x 的两根，角B A 、满足03)sin(2=-+B A ，求角C 的度数，边c 的长度及ABC ?的面积

四、课后练习

1．在ABC ?中，4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则C cos 的值为（ ）

A ．4

1-

B ．

4

1

C ．3

2

-

D ．32

2．在ABC ?中，角C B A 、、的对边分别为a 、b 、c ，且2,45,1===?ABC S B a

，则ABC ?的外接圆直径

是（ ）

A ．34

B ．5

C ．25

D ．26 3．在ABC ?中，若C A B sin sin cos 2=，则ABC ?的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 4．ABC ?中，若

60,2+==A B a b ，则A = 。

5．已知ABC ?中，

60=∠A ，最大边和最小边的长是方程0322732

=+-x x 的两实根，那么BC 边长等于 。

6．在ABC ?中，若BC b c ,7,4==边上的中线AD 的长为

2

7

，求边长a 。

7．在ABC ?中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，若C a b cos =且ABC ?的最大边长为12，最小角的正弦

值为

3

1。 （1）判断ABC ?的形状；（2）求ABC ?的面积。

§1.2 应用举例

一、基础知识填空

（一）在解决与三角形有关的实际问题时，经常出现一些有关的名词、术语，如仰角、俯角、方位角、方向角、铅垂平面、坡角、坡比等。

（1）铅垂平面：是指与海平面 的平面。

（2）仰角与俯角：在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为 角；当视线在水平线之下时，称为 角。

（3）方位角：从正北方向线 时针到目标方向线的水平角，或称北偏 多少度。 （4）方向角：从 方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60o，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60o。

（5）坡角： 与水平的夹角。

（6）坡比：坡面的 与 之比。即αα(tan ==l

h

i 为坡角，i 为坡比） （二）课堂小练

1．如右图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，测量到下列四组数据，较适宜的是（ ）

A ．c 与α

B ．c 与b

C ．c 与β

D ．b 与α

2．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30o和60o，则塔高为（ ）

A ．

3

400

B ．

33400 C ．33200 D ．3

200

3．在静水中划船的速度是每分钟40m ，水流的速度是每分钟20m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直

的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为（ ）

A ．15o

B ．30o

C ．45o

D ．60o

4．海上有B A 、两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60o的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75o的视角，那么B 岛与C 岛间的距离是 。

5．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30o角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为

米。

二、例题

例1 某观测站C 在城A 的南向西20o的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南向东40o，在C 处测得公路上距C 为31km 的B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21km ，则这个人还要走多远才可到达A 城？

例2 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45o距

离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105o的方向，以9n h mile /的速度向小岛靠拢，我海军舰艇

立即以21n h mile /的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间。

三、课堂练习

1．为了测量上海东方明珠塔的高度，某人站在A 处测得塔尖的仰角为75.5o，前进38.5m 后，到达B 处测得塔尖的仰角为80.0o，试计算东方明珠塔的高度（精确到1m ）

2．甲船在A 点发现乙船在北偏东60o的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度为每小时

a 3海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？

四、课后练习

1．如右下图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据（ ）

A ．b a ,,α

B ．a ,,

βα

C ．γ,,b a

D ．b ,,βα

2．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察

站C 的北偏东40o，灯塔B 在观察站C 的南偏东60o，则灯塔A 在灯塔B 的什么位置？

3．在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600m 后测仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进m 3200，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为多少？

4．在一幢20米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60o，塔基的俯角为45o，那么这座塔的高度是多少米?

5．已知海岛A 四周8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A 岛在北偏东75o，航行220海里后，见此岛在北偏东30o，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险？

6．某人在静水中游泳，速度为h km /34，如果他径直游向河对岸，水的流速为4h km /，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？

第三章 数 列

重点：数列的概念及数列的通项公式

难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 一、基础知识

引例：按一定次序排列的一列数 （1）1，2，3，4，5 （2）1，

5

1,41,31,21 （3）,1,1,1,1--……

（4）1，1，1，1，…… （5）1，3，5，4，2

（6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，……的不足近似值排列成一列数

1．概念：（1）数列：

注：①按一定次序排列 ②同一个数在数列中可重复出现 上例中能构成数列的是： 。（1）与（5）相同吗？ （2）项： （3）项的序号：

2．表示：数列的一般形式为： ，简化为 。 例：,41,31,21,1…,1

,n

…简记为： 。

1，3，5，7，…12-n ，…简记为

注：}{n a 与n a 的区别：

3．数列与函数的关系： 4．数列的通项公式： 作用：①以序号代n 可求数列各项；②可验证某数是否是数列中的项

注：①通项公式有时不存在；②一个数列的通项公式形式可能不唯一。 5．递推公式： 6．分类： 7．n a 与n S 二、例题

例1 根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项。

（1）1

+=

n n a n

（2）n a n

n ?-=)1(

例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数 （1）1，2，3，4； （2）1，3，5，7；

（3）5

1

5,414,313,2122

222----；

例3 已知：}{n a 中，11=a ，以后各项由1

11-+

=n n a a 给出，写出这个数列的前5项。

三、练习

1．根据}{n a 的通项公式，写出它的前5项：

（1）1

)1(5+-?=n n a

（2）1

1

22

++=

n n a n

2．根据通项公式，写出它的第7项与第10项

（1）)2(+=n n a n （2）32+-=n

n a

3．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数。 （1）1，2，3，4 （2）2，4，6，8

（3）16

1,81,41,21--

（4）5

141.4131,3121,211----

4．写出下面数列}{n a 的前5项

（1）)2(3511≥+==-n a a a n n （2）)2(2211≥==-n a a a n n

5．数列{n a }满足：20131221,,6,3a a a a a a n n n 求-===++

6．（1）数列{n a }的前n 项和n n n a n S 求,)1(1

?-=- （2）数列{n a }中，n n

n a a S 及通项求5,32+=

二、数列

重点：由数列的递推公式，求数列的某些项 难点：由递推公式猜想数列的通项公式 一、知识要点：

1．已知数列的通项公式，求某一项。 2．判断一个数是否为数列的项。

3．由数列的递推公式求数列的指定项，由递推公式猜想数列的通项公式。 二、例题：

1．已知数列{}n a 中，1,121==a a 1, 以后各项由n n n a a a +=++12给出，写出这个数列的第6项。

2．已知一个数列)1(12,111>-+==-n n a a a n n ，求数列的前4项，并猜想出数列的通项公式。

3．已知数列的通项公式为302

--=n n a n

（1）求数列的前三项，60是此数列的第几项？ （2）n 为何值时，?0?0?0<>=n n n a a a

4．数列{}n a 对一切正整数n 满足n a a a a n n 692421

321-=?+???+++-，求{}n a 的前4项。

三、练习

1．53是数列??151173

、、、的（ ） A ．第18项 B ．第19项 C ．第20项 D ．第21项

2．以下四个结论中①数列的递推公式也是给出数列的一种方法 ②数列都可以用通项公式来表示 ③数列可以用图象表示，从图象上看，它是一群孤立点 ④数列的通项公式是唯一的 其中正确的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③④ 3．已知：n a a a n n (7,111-==>1），则n a 的通项公式为（ ）

A ．1

7-=n n a

B ．n

n a 7=

C ．n a n 7=

D ．)1(7-=n a n

4．已知：数列的通项公式为：302

--=n n a n ，则该数列中哪一项为+26？

5．数列}{n a 中，3

2

,121==a a ，且

2(21111≥=++-n a a a n n n 且)0≠n a 。则6a 等于（ ） A ．71 B ．72 C ．2

7

D ．7

6．在数列}{n a 中，已知n a a a n n 2,222+==+，则=8a

7．已知：数列}{n a 满足15,3,1421===a a a ，且q pa a n n +=+1。求q p 、的值。

8．已知数列}{n a 的通项公式为*

++∈=N n a n n n ,log )

2()1(，求此数列前30项的乘积。

9．数列}{n a 满足)(,5,11221*

++∈-===N n a a a a a n a n ，求2000a 的值。

10．在数列{}n a 中，21,3101==a a ，通项公式为B An a n +=，则=2013a ，=n a 2 11．已知数列{n a }满足n n a a a 2

1

,011=

>+且，则数列{n a }是（ ） A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 12．设n n n n n f 21312111)(???++++++=

，那么=-+)()1(n f n f （ ） A ．121+n B ．221+n C ．221121+++n n D ．2

21121+-

+n n 13．已知)(2*

∈+=N n n n a n λ且{n a }为递增数列，则λ的取值范围是（ ）

A ．2-≥λ

B ．R

C ．3->λ

D ．? 14．数列{n a }中，66,2171==a a ，通项公式是序号n 的的一次函数 （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）88是否是数列{}n a 中的项

三、等差数列

重点：等差数列的概念及通项公式 难点：等差数列通项公式的灵活运用 一、基础知识

1．等差数列的定义：

2．由等差数列定义知，其递推公式可写为：

3．由等差数列定义知，要证明一个数列为等差数列，只需证明：

4．若一个等差数列的首项为1a ，公差为d ，则其通项公式n a = 证明： 二、例题 1．（1）求等差数列8，5，2…的第20项

（2）401-是否为等差数???---,13,9,5的项？如果是是第几项。

2．在等差数列}{n a 中，已知31,10125==a a ，求首项1a 与公差d 。

3．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级。各级的宽度成等差数列，计算各级的宽度。

4．在等差数列}{n a 中，已知116,11021==a a ，则此数列在450到600之间有多少项？

5．证明：以q pn a n +=为通项公式的数列为等差数列（q p 、为常数）

6．在等差数列中，p a 与q a 是其中两项，求p a 与q a 间的关系。

三、练习

1．等差数列的首项为15，公差为6，则它从第 项开始，各项都大于100。

2．数列}{n a 的首项231=a ，公差数为整数的等差数列，且前6项为正的，从7项开始变为负的，则此数列的公差d = 。

3．若n m ≠,数列，n a a m ,,,21和数列n b b b m ,,,,321都是等差数列，则

1

21

2b b a a --=

4．若等差数列}{n a 中，q p ≠时，p a q a q p ==,则q p a += 。 5．一个等差数列的第5项等于10，第10项为25，则d = 。 6．一个等差数列的第5项为10，前3项和为3，那么（ ）

A ．=1a 2-，=d 3

B ．=1a 2，=d 3-

C ．=1a 3-，=d 2

D ．=1a 3，=d 2- 7．若数列{n a }的前n 项和322

+-=n n S n ，则数列{n a }是（ ）

A ．公差为2的等差数列

B ．从第2项开始是公差为2的等差数列

C ．公差为2-的等差数列

D ．从第2项开始是公差为2-的等差数列 8．在等差数列{}n a 中，36,31001==a a ，则=+5636a a （ ） A ．36 B ．38 C ．39 D ．42 9．在等差数列40，37，34，…，第一个负数项是（ ）

A ．第13项

B ．第14项

C ．第15项

D ．第16项 10．在等差数列{n a }中，d 为公差 （1）已知10174,19,10a a a a 及求== （2）已知,2,83251==+a a a a 求数列的通项n a （3）已知17,3

1,8a d a 求-==

（4）已知d a a a ，求的算术平均数为19,1651+=

11．设等差数列由三个数组成，三项的和是21，三项的平方和是179，求此数列

四、等差数列的性质

重点：等差数列的性质及性质的应用 难点：性质的运用

一、已知：等差数列}{n a 、}{n b 分别是1，4，7，10…和2，6，10，14…判断下列数列是否为等差数列，若是，其公差与}{n a 、}{n b 的公差有何关系。 1．}{n n b a + 3，10，17，24… 2．}2{+n a 3，6，9，12… 3．}21{n a

5,2

7

,2,21… 4．在数列}{n a 中，每隔两项取一项，1，10，19，28… 一般地等差数列}{n a 与}{n b 的公差分别是1d 、2d 则

1．数列}{n n b a +是 数列其公差为 2．数列}{m a n +是 数列其公差为 3．数列)0}({≠k ka n 是 数列其公差为 4．数列}{n a 每隔k 项取一项，组成新数列}{n c ，则}{n c 是 证明：

二、1．已知}{n a 是等差数列，52+-=n a n ，则①=+111a a

②=+102a a ③=6a

2．在等差数列}{n a 中，若m q p n m (+=+、n 、p 、)*

∈N q 则n m a a + q p a a +

证明：

一般地，若321,,a a a …n n a a ,1-是等差数列，则距首末两端 的两项和等于同一个常数。

3．在等差数列}{n a 中，若),,(2*

∈=+N l n m l n m ，则m a 、n a 、l a 的关系为 三、等差中项、定义： 1．求下列两数的等差中项

（1）

180-与

360

（2）2)(b a +与2

)(b a -

2．若和为S 的三个数成等差数列，可按下列三种方式求中间项。

（1）设此三数为d a d a a 2,,++ （2）设此三数为d a a d a +-,,

（3）设此三数为a d a d a ,,2--在此三种说法中，以第 种设法最简。 若四数、五数……成等差数列可分别设为 3．要证三数成等差数列，只要证 四、练习

1．在等差数列}{n a 中，（1）36,31001==a a ，则=+983a a

（2）30151296=+++a a a a 则=+201a a （3）,,105b a a a ==则15a =

2．等差数列}{n a 满足)(,147p m p a m a ≠==，则21a =

3．一个无穷等差数列}{n a ，公差为d ，则}{n a 中有有限个负数的充要条件为 4．c a b +=2，则c b a 、、成等差数列的 条件。 5．在等差数列}{n a 中，40113=+a a ，则876a a a ++= 6．三个数成等差数列其和为18，平方和为116，则此三数为 7．在等差数列}{n a 中，0>d 且4,126473-=+-=?a a a a ，则d =

8．夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7oC ，已知山顶气温是14.1oC ，山脚气温是26oC ，那么此山相对于山脚的的高度（ ）

A ．1500米

B ．1600米

C ．1700米

D ．1800米 9．已知数列{n a }中,1,273==a a 又数列{

1

1

+n a }为等差数列，则11a 等于（ ） A ．0 B ．

21 C ．2

7

D ．1- 10．首项为24-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ） A ．38>

d B ．3

8

≤

12．若等差数列的各项依次递减，且45642=a a a ，15642=++a a a ，则通项n a 为（ ） A ．32-n B ．32+-n C ．132+-n D ．92+n

13．已知等差数列{n a }中，33,39852741=++=++a a a a a a ，则=++963a a a （ ） A ．30 B ．27 C ．24 D ．21

14．若x 是b a ,的等差中项，2

22,b a x -是的等差中项，则a 与b 的关系是（ ） A ．0==b a B ．b a -= C ．b a 3= D ．b a b a 3=-=或 15．等差数列{n a }中，若243753=-=+a a a a ，则=2a （ ） A ．6- B ．6 C ．0 D ．12 16．若{n a }是等差数列，,20,86015==a a 则=75a

17．已知等差数列{n a }中，的两个根，

是方程和0162

153=--x x a a 1110987a a a a a ++++则= 18．若关于的四个根组成且和的方程),(002

2b a R b a b x x a x x x ≠∈=+-=+-首项为

4

1

的等差数列，则=+b a

19．数列{n a }是等差数列，757362的等差中项为与，的等差中项为与a a a a ，则数列的通项n a 等于 20．求下列数列的通项公式

（1）{n a }的各项均为正数，且满足2,1211=++=+a a a a n n n （2）数列{n a }中，2

2,111+=

=+n n

n a a a a

（3）数列{}n a 满足42

2

1+=+n n a a 且0,11>=n a a

五、等差数列前n 项和

重点：等差数列前n 项和公式。难点：获得推导前n 项公式思路。 一、复习

1．设x 是b a 、的等差中项，并且2x 是2a 与2

b -的等差中项，则b a 、关系（ ）

A ．b a -=

B ．b a 3=

C ．0==b a

D ．b a -=或b a 3=

2．若)32lg(),12lg(,2lg +-x

x

成等差数列，则x 的值为（ ）

A ．0

B ．5log 2

C ．32

D ．0或32

3．在数列1、3、5、7……中，16+n 是第几项？

二、公式

1．设等差数列的前n 项和为n S ，即+++=321a a a S n …n a + （1）在等差数列}{n a 中，23121,,--+++n n n a a a a a a …相等吗？

（2）等差数列前n 项和公式（1）

2．小结

（1）n a 、n S 表达式中包括1a 、n a 、n S 、n 、d 五个量中，如果已知其中任意三个量，可求出另外

个未知量。 （2）n a 是n 的 次函数（)0≠d ， n S 是n 的 次函数（)0≠d 且不含 项。

（3）n a 与n S 关系：

三、例题

1．等差数列???---,2,2,6,10前多少项的和是54？

2．在等差数列}{n a 中，629,3

1

37==S d ，求1a 及37a 。

3．求集合,,7{*

∈==N n n mlm M 且m <100}的元素个数，并求出这些元素的和。

4．在等差数列中，10,10010010==S S ，求110S 四、练习

1．求前n 个自然数的和，0+1+2+...+)1(-n = 。 2．1+4+7+ (100)

3．在等差数列中，2,103241=-=+a a a a ，则=n S 。

4．一个等差数列共10项，其中奇数项和为2

1

12

，偶数项的和为15，则6a = 。 5．等差数列中，22,8114==a a ，则+++333231a a a …80a += 6．在等差数列}{n a 中，已知)(,n m n S m S m n ≠==求n m S +。

7．在等差数列{}n a 中，12010=S ，那么101a a +的值是（ ）

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

8．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 与d 时，1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是（ ）

A ． 7S

B ．8S

C ．13S

D ．15S

9．在等差数列{n a }中，81-=a ，它的前16项的平均值是7，若从中抽取一项，余下的15项的平均值为7.2，

则抽取的是（ ）

A ．第7项

B ．第8项

C ．第15项

D ．16项 10．在等差数列{n a }中，==

a a a

b n

n 确定的

数列{n b }的前n 项和是（ ）

A ．

)5(21+n n B ．)4(21+n n C ．)72(2

1

+n n D ．)2(+n n 12．在以下四个公式中，不是等差数列前n 项和公式的是（ ）

A ．2000200120022++=n n S n

B ．n n S n 200120022

+=

C ．2

2002n S n = D ． n S n 2002=

13．在项数为12+n 的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n =( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12

14．求和：=-+???-+-+-2

2222221009954321

15．若数列{}n a 的前n 项和),3,2,1(102

???=-=n n n S n ，则此数列的通项公式为 ，

数列{}n na 中数值最小的项是第 项（07北京高考.10）

16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= （09高考数学全国理.14） 17．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = （09高考数学辽宁理.14） 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =则9

5

S S = 19．在等差数列{n a }中

（1）已知115,5,600a d S 求== （2）已知175330,18S a a ，求== （3）已知16151252,36S a a a a 求=+++

（4）已知116,20S a 求=

（5）已知等差数列{n a }中，,0,166473=+-=a a a a 求{n a }前n 项和n

s

六、前n 项和习题课

重点：难点：等差数列前n 项和的应用

1．前100个正整数中，先划去1，然后又每隔两个数划去一个数，则留下的各数之和为 。

2．如果一个等差数列的前n 项和公式为c bn an S n ++=2

，其中c b a 、、是常数，则常数c 的值一定等于 。

3．在等差数列}{n a 中，若16,6152-=-=a a ，它的前 项最小，最小和是 。

4．已知等差数列的前n 项和n n S n 52

12

+-=，则它的前 项和最大。

5．三个数成等差数列，其和为9，积是15，这三个数是 。

6．若等差数列}{n a 中，2

1

=d 且S 100=145，则=+???+++99531a a a a 7．设数列}{n a 、}{n b 都是等差数列，100,75,2510010011=+==b a b a ，则数列}{n n b a +的前100项的和

为 。

8．已知2

qn pn S n +=（q p 、为常数且)0≠q ，求n a 并证明}{n a 为等差数列。

9．在等差数列中，S 10=310，S 20=1220，求n S 。

10．在等差数列}{n a 中，)(n m S S n m ≠=，求n m S +。

11．已知n S 是数列n a 的前n 项和，且}1

{,11n

S a =是首项为1，公差为2的等差数列，求数列}{n a 的通项公式。

12．已知172-=n a n ，当n 取什么值时，n S 最小？

13．设等差数列}{n a 的前n 项和为A ，第1+n 项到第n 2项和为B ，第21项到第3项和为C ，求证C B A 、、成等差数列。

14．（选做）已知数列}{n a 的前n 项和为)3(2

)

(1≥+=

n a a n S n n ，求证：}{n a 为等差数列。 七、等差数列习题课

重点、难点：等差数列的通项公式，前n 项和公式的综合作用。

1．等差数列}{n a 中，19122=+a a ，则13S =（ ）

A ．

2

249

B ．

2

247

C ．

2

245

D ．

2

243

2．等差数列}{n a 中，已知4:21=a a ，那么57:S S 的值为（ ）

A ．1

B ．

2

7 C ．3 D ．4

3．等差数列}{n a 中，公差0≠d 且d a ≠1。若前20项的和S 20=10M ，则下列（ ）不成立

A ．156a a M +=

B ．1012a a M +=

C ．d a M 1921+=

D ．d a M 19220-=

4．在首项是31，公差为4-的等差数列中，与零最靠近的项（ ） A ．7a B ．8a C ．9a D ．10a 5．等差数列96，88，80…的前n 项和n S 的最大值是（ ）

A ．606

B ．612

C ．618

D ．624

6．如果一个数列是等差数列，将它的各项取绝对值后仍是等差数列则（ ） A ．它是常数列 B ．其公差必大于0 C ．其公差必小于0 D ．都可能

7．等差数列}{n a 中，若

)(22

n m m n S S m n ≠=则m

n a a 的值是（ ）

A ．

n

m

B ．

n

m 1

2- C ．

1

2-n m

D ．

1

21

2--m n

8．已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和之比为

)(27

41

7*∈++N n n n ，则1111b a 等于（ ）

A ．

4

7 B ．

2

3 C ．

34

D ．

71

78 9．一个项数是奇数的等差数列，它的奇数项与偶数项之和分别为168和140，最后一项比第一项大30，则数列的项数是（ ） A ．21 B ．15 C ．11 D ．7 10．已知}{n a 为等差数列，1a >0且2015S S =，问它的前多少项和最大。

11．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知123=a ，且0,01312<>S S

（1）求公差d 的范围

（2）问前几项和最大，说明理由

12．（选做）已知数列}{n a 的前n 项和2

52n

n S n -=且||n n a C =。求}{n C 的前n 项和n P 。

13．已知两个等差数列{n a }、{n b }，它们的前n 项和分别为9

9,133

2,,b a n n T S T S n n n n 求若-+=

14．已知在正整数数列{n a }中，前n 项和n S 满足n S =2

)28

1+n a （ （1）求证：{n a }是等差数列 （2）若302

1

-=n n a b ，求数列{n b }前n 项和的最小值

15．已知数列{}n a 的前n 项和2

32n n S n -=，求数列{}

n a 前n 项和n S

八、等比数列

重点：等比数列的概念及通项公式；难点：等比数列通项的运用。 一、基础知识

1．等比数列定义： 2．等比数列递推公式： 3．等比数列的通项公式： 证明：

4．要证明一个数列是等比数列，应证明

5．在等比数列中，任意两项m a 、n a 间的关系 6．等比中项： 二、例题 1．试在21和1281

之间插入两个中间项，使其成等比数列，求这两个数。

2．已知}{n a 、}{n b 是项数相同的等比数列，求证}{n n b a ?是等比数列。

3．一个等比数列的第3项与第4项分别为12与18。求它的第1项与第2项。 三、练习 1．求证：以1

283-?=

n n a 为通项公式的数列为等比数列。 2．求等比数列1，2，4，8…的第10项 。 3．首项为3，末项为3072，公比为2的等比数列的项数 。

4．已知：数列的通项公式为n

n a )6

1(-=，那么它是一个递 （增或减）的数列，首项

=1a ，公比q = 。

5．求下列各数的等比中项。

（1）45与80

（2）224b a a +与2

24b a b +

6．一个各项均为正数的等比数列，它任何项都等于它后面连续两项的和，其公式q = 7．首项为

32

1

，从第11项开始，各项都比1大的等比数列的公比q 的取值范围 8．要使等比数列n

n n

n

10,10,1021?…的前n 项积超过105，那么n 的最小值是 。 9．在等比数列}{n a 中，若36,3244321=+=+a a a a ，则65a a += 10．在等比数列}{n a 中，1647,61115==a a ，则7a = 。 11．三数成等比数列，它们的积为64，其算术平均数为3

14

，这个数列为 。 12．已知}{n a 是等比数列，求证： }{},1

{

n n

a a 也是等比数列。 13．等差数列{n a }的首项11=a ，如果521,,a a a 成等比数列，则公差d =（ ） A ．2 B ．2-或0 C ．2或0 D ．2± 14．在等比数列{n a }中，，如果===396,9,6a a a 那么（ ） A ．4 B ．

23 C ．9

16 D ．2 15．等比数列{}n a 的公比为2，则

4

32

122a a a a ++的值为（ ）

A ．

41 B ．21 C ．8

1

D ．1 16．在各项斗为正数的等比数列{}n a ，31=a ，前三项和21，则=++543a a a （ ） A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 17．某种产品平均每三年降低价格

4

1

，目前售价640元，则9年后此产品价格为（ ） A ．210元 B ．240元 C ．270元 D ．360元

18．已知4,,,121a a 成等差数列，4,,,,1321b b b 成等比数列，则2

1

2b a a -的值为（ ）

A ．21

B ．2

1

- C ．2121或- D ． 41

19．在等比数列{n a }中，若93,a a 是方程091132

=+-x x 的两根，则6a 的值（ ） A ．3 B ．3± C ．3± D ．以上答案都不对 20．在等比数列{n a }中，120+++=>n n n n a a a a 且，该数列的公比q = 21．已知等差数列{n a }的公差931,,,0a a a d 且≠成等比数列，则

10

429

31a a a a a a ++++=

22．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *

--===∈则2009a =________；2014a =________

23．已知在等比数列{n a }中 （1）563,243,9a a a 求==

（2）53645342,2520a a a a a a a a a n +=++>求且 （3）,7321=++a a a n a a a a 求,8321= （4）n q a a n 求,3

2

,31,891===

24．已知数列满足)(12,111*

+∈+==N n a a a n n

（1）求证：数列{n a +1}是等比数列 （2）求{n a }的通项公式

九、等比数列的性质

重点：等比数列的性质及应用 难点：性质的应用 一、基础知识 1．若等比数列}{n a 、}{n b 的公比为21,q q 判断下面数列是否为等比数列，若是则公比为多少？

（1）}{n n b a ?

（2）t

n a {}

（3）)0}({≠M Ma n

（4）在原数列中每隔K 项取一项组成数列}{n c 。证明结论。

2．在等比数列}{n a ，与首末两项等距离的两项的 等于同一个常数。

3．在等比数列}{n a 中，若),,,(*

∈+=+N q p n m q p n m ，则n m a a ? q p a a ?。

证明：

特别地：当l n m 2=+时，2

t a n m a a ?。

4．已知：三数成等比数列，若知三数积为m ，怎样设最好？

若知三数和为S ，怎样设？ 如果是四数呢？ 二、例题

1．三数成等比数列，其积为125，其和为31。求此数列。 2．某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次（一个分裂为两个），经过4小时，这种细菌由一个可繁殖成多少？

3．20，50，100各加上同一个数常后，构成一个等比数列，求q 。

4．已知}{n a 成等比数列，前三项为33,22,++a a a 。则此数列第几项为2

113

-？ 5．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数也可成等比数列，已知这三个数的和为6。求此三个数。

三、练习

1．已知等比数列中，8,562==a a ，则=4a ，53a a ?= 。 2．已知：在等比数列中， a a b a ==105,。则15a = 。 3．在等比数列中，963a a a ??=27，则6a = 。

4．若方程c b a c b x c a b x b a ,,(0)(2)(2

2

2

2

2

=+++-+为非零实数）有实根。求证：c b a 、、成等比数列。

5．已知：三数成等比数列，和为26，且此三数分别加上1，2，3构成等差数列，求原三数。

十、等比数列前n 项和

重点：等比数列的前n 项和公式。难点：获得推导前n 项和公式的思路。 一、等比数列}{n a 前n 项和公式为

（1）当1≠q 时，n S = = （2）当1=q 时，n S =

证明：（一）错位相减法

（二）等比定理法

二、例题 1．求等比数列8

1

,41,21…的前8项和。

2．某制糖厂第1年制粮5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年内可使总产量达到30万吨？（保留到个位）

3．求和++++)1()1(22y x y x …)0)(1(≠++x y

x n n

4．求和+++=3

2

32a a a S …n

na +

三、练习 1．等比数列

8

3

,43,23…从第3项到第9项的和为 。 2．在等比数列}{n a 中，若96,1263-==a a ，则S 6= 。

3．已知数列++2

lg lg x x …10lg x +=110则++x x 2

lg lg …x 10

lg +=

4．已知正数等比数列}{n a 中，S 3=6，24987=++a a a ，则S 99= 。 5．等比数列a 、ab 、2

ab (1)

-n ab

…)0,0(≠≠b a 前n 项和n S =

6．等比数列}{n a 中，40,204321=+=+a a a a ，求 S 6。

7．有5个数54321,,,,a a a a a 成等比数列，前4项和为236+，后四项和为266+，求此5个数。

8．七个实数排成一排，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，且奇数项之和与偶数项之积的差为42，首末两项与中间项之和为27，求中间的值。 9．（选做）在等比数列中，,,2212211n n n n a a a T a a a T +?++=+?++=++

3T =2212+++n n a a +…n a 3+。问321T T T 、、有什么关系？并证明之。

10．已知{n a 是公比为

2

1

的等比数列}，若1009741=+???++a a a 则99963a a a a +???+++的值（ ） A ．25 B ．50 C ．75 D ．125

11．公比为整数的等比数列{n a }中，87653241,12,18a a a a a a a a +++=+=+那么=（ ） A ．480 B ．493 C ．495 D ．498

12．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且41a ，22a ，3a 成等差数列。若1a =1，则4s =（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16

13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2

110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ）

A ．38

B ．20 B ．10 B ．9

14．等差数列}{n a 的公差不为零，首项1a =1，2a 是1a 和5a 等比中项，则数列}{

n a 的前10项之和是（ ） A ．90 B ． 100 B ． 145 B ．190

15．等比数列{n a }中，,25log log log 21022212=+???++=a a a q ，

公比 则=+???++1021a a a

16．在等比数列{}n a 中，7,8621321=+???++=++a a a a a a ，则公比=q 17．（1）在等比数列{}n a 中，4

5

,106431=

+=+a a a a ，求4a 与5S （2）在等比数列{}n a 中，96,2,189===n n a q S ，求1a 与n

18．已知数列{n a }满足是首项为???-???---,,,,,123121n n a a a a a a a 1，3

1

公比为的 等比数列，{n a }的表达式

19．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知1S ,3S ,2S 成等差数列 （1）求{n a }的公比q （2）求1a 3a -=3，求n S

20．（1）已知数列{n a }中，n

n n n a a a a 求,2,311+==+

（2）一个有穷等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项和为170 求这个数列的公比及项数

十一、等比数列习题课

重点、难点：等比数列的前n 项和公式的应用 一、选择题

1．数列}{n a 是一个常数列，下面结论正确的是（ ）

A ．}{n a 等差数列，也是等比数列

B ．}{n a 不是等差数列，也不是等比数列

C ．}{n a 是等差数列，不一定是等比数列

D ．}{n a 是等比数列，不一定是等差数列

2．若一个等比数列的前n 项和是c ab S n

n +=其中c b a 、、是常数，且0,0≠≠b a ，1≠c ，那么c b a 、、必

须满足的条件是（ ） A ．0=+c b B ．0=+c a

C ．0=++c b a

D ．c b a ==

3．设等比数列}{n a 的前n 项和为r S n

n +=3，那么r 的值等于（ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．3 4．已知}{n a 是等比数列且n a >0，252645342=++a a a a a a ，则53a a +=（ ）

A 、5

B ．10

C ．15

D ．20

5．若c b a 、、成等比数列，又m 是b a 、的等差中项，n 是c b 、的等差中项，那么

=+n

c

m a （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

6．某人从1996年起，每年7月1日到银行新存入a 元，一年定期，若年利率r 保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2003年7月1日将所有存款及利息取回，他可取回的钱数（元）为（ ）

A ．6

)1(r a + B ．7

)1(r a + C ．8

)1(r +

D ．

)]1()1[(8r r r

a

+-+ 二、填空题。

1．等比数列}{n a 中，6,284==S S ，则20191817a a a a +++的值为 。

2．等比数列的通项公式n

n a -=42则5S = 。

3．若c b a 、、成等比数列，

6

,

4,2c

b c a b a +++成等比数列，则该数列公式为 。 4．在等比数}{n a 中，已知30,12032==n n S S ，则=n S

5．设c b a b a c a c b c b a -+-+-+++,,,组成等比数列，其公式为q ，那么3

2

q q q ++的值等于 。

三、解答题

1．等比数列的第n 项和13+?=n

n k S ，则k 的值是多少？

2．已知：三个数为等比数列，若将等比数列的第3项减去32，则成等差数列，再将此等差数列的第2项减去4，又成等比数列，求原来的三个数。

3．已知)(x f y =为一次函数，且)4(),5(),2(f f f 为等比数列，且15)8(=f ，求

))(()2()1(*∈+?++=N n n f f f S n 的表达式。

4．在数列}{n a 中，已知))((2,22111*

+∈+?++==N n a a a a a n n

求证：此数列从第二项起是等比数列。

5．（选做）已知等差数列?,lg ,lg 21x x 的第r 项为S ，第S 项为r 。求+++321x x x ….n x +

十二、等差、等比数列习题课（一）

重点、难点：等差数列，等比数列的通项公式，前n 项公式的综合应用。 一、填空题

1．在a 与b 之间插入三个数，使它们成等比数列，则此三数为

2．在160与10之间插入三个数，使它们成等比数列，则此三数成 3．已知数列}1

{

n

b 与等差数列且4,262==b b ，则4b = 4．若n n S n 352

+=则=n a 5．若b b S n

n (3+=为常数）则=n a

6．在等比数列中，6,251==a a ，则=3a

7．在等比差数列中，n b S a S n m (,==>m ）则n m S += 8．若一个数列既是等差数列，又是等比数列则该数列为

9．已知1a ，32,a a 成等差数列，c 是正常数，则321,,a

a a C C C 是 数列。

10．已知1a ，32,a a …成等比数列，且各项均为正数，1>a ，且1≠a ，则321log ,log ,log a

a a

a a

a …是 数列。 11．1+4+7+…+)13(+n =

12．某商品零售价2001年比2000年上涨25%欲控制2002年比2000年上涨10%，则2002年比2001年降价 。 二、简答题

1．求和：)()2()1(2

n a a a S n

-+?+-+-=

2．一个递减的等比数列，其前三项之和为62，前三项的常用对数和为3，则数列第5项的值为多少？

3．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两项之和为11，中间两项之和为10，求这四个数。

4．已知某市1991年底人口为100万，人均住房面积为5m 2，如果该市人口平均增长率为2%，每年平均新建住房面积为10万m 2，试求到2001年底该市人均住房面积为多少平方米？

5．（选做）设}{n a 成等差数列，n a

n b )2

1

(=，已知8

1

,821321321==++b b b b b b ，求n a 。

6．已知数列{n a }中，n S 是其前n 项和，并且1,2411=+=+a a S n n （1）设,12n n n a a b -=+求证：数列{n b }是等比数列 （2）设n n

n a c 2

=

，求证：数列{n c }是等差数列 （3）求数列{n a }的通项公式及前n 项和的公式

7．设数列{n a }的前n 项和)(42*

∈-=N n a S n n ，数列{n b }满足：n n n b a b 21+=+

21=b 且（1）求通项n a （2）求{n b }的前项的和n T

十三、等差、等比数列习题课（二）

重点、难点：等差数列，等比数列的通项公式，前n 项和公式的综合应用。

1．数列161

4,813,412,211…前n 项的和为（ ）

A ．2212n n n ++

B ．12122+-+n n n

C ．n n n 2122-+

D ．12

1

2)1(+--n n n 2．三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=b

a

（ ）

A ．4

7

B ．4

C ．4-

D ．2

3．在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（ ）

A ．100

B ．120

C ．140

D ．150

4．已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（ ） A ．495- B ．765 C ．1080 D ．3105 5．某企业的生产总值月平均增长率为p %，则年平均增长率为（ ）

A ．12p %

B ．12

%)1(p +

C ．1%)

1(11

-+p D ．1%)

1(12

-+p

6．设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知

331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与44

1

S 的等差中项为1，求通项n a 。

7．设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为3

1

的等比数列。（1）求n a （2）求++21a a …n a +

8．在等比数列}{n a 中，已知27

21154321=++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。

9．（选做）已知两个数列}{n a ，}{n b 满足关系式)(3212121*∈+?++++?++=

N n n

na a a b n

n ，若}{n b 是等差数列，求

证}{n a 也是等差数列。

10．（选做）已知数列}{n c 其中n

n n c 32+=且数列}{1n n pc c -+为等比数列。

（1）求常数p

（2）设}{n a ，}{n b 是公比不相等的两个等比数列。n n n b a c +=证明数列}

{n c 不是等比数列。

十四、数列的通项（一）

重点：利用n S 、n a 的关系及一阶递推公式求通项公式。

难点：如何构造等差、等比数列。 一、观察法 写出数列的一个通项公式，使得它的前几项分别为以下各数： 1．9

16,78,54,32+--… 2．9，99，999，9999… 3．1，5，7，17，31，65…

二、已知n S ，求n a

1．在数列}{n a 中，已知n n a S 22-=，求通项公式n a 。 2．在数列}{n a 中，3,2111==+++a a S S n n n 。求通项公式n a 。

三、由一阶递推公式求通项公式

1．数列}{n a 中，已知n a a a n n +==+11,3。求通项公式n a

2．在数列}{n a 中，已知11=a ，)2.(12

1

1≥+=-n a a n n 。求通项公式n a 。

3．在数列}{n a 中，已知n n

n a a a 2,111==+。求通项公式n a 。

四、练习

1．已知正数列}{n a 的前n 项和为)1

(21n

n n a a S +=求数列}{n a 的前3项，并由此猜测出n a 。

2．在数列}{n a 中，已知n n a n S a 2

1,1==，求通项公式n a 。

十五、数列的通项（二）

重点：由递推的公式、根式、指数求通项公式。难点：如何构造相应的等比数列。 一、换元法

1．在数列}{n a 中，已知)2(2

111,211≥=-=-n a a a n n 。求通项公式n a 。

二、取倒数法

2．在数列}{n a 中，已知3

,211+==+n n

n a a a a 。求通项公式n a 。

三、取对数法

3．在数列}{n a 中，已知n n a a a =,2=1+1。求通项公式n a 。

4．在数列}{n a 中，已知)2(2,441

3

1≥==-n a a a n n 。求通项公式n a 。

四、练习

1．数列8

1

41211,41211,211,1-+-+--…的第n 项=n a 。

2．已知等差数列}{n a 前三项依次为3,1,1++-a a a 。则其通项n a = 3．若数列}{n a 由)1(2,211≥+==+n n a a a n n 确定，则100a =

4．数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和n S 与n a 之间满足)2(1

222≥-=n S S a n n

n

（1）求证：数列}1

{n

S 是等差数列

（2）求数列}{n a 的通项公式

5．在数列}{n a 中，已知2,11≥=n a 时，n a 、n S 、2

1

-n S 成等比数列，求n S 、n a 的表达式。

6．数列}{n a 对一切自然数n 满足+++32142a a a …n a n n 692

1

-=+-求数列}{n a 的通项公式。

十六、数列求和

重点：用累加法、倒序相加法、错位相减法、拆项法求数列前n 项的和 难点：如何选择合适的方法 一、1．已知n

n a 23

=

。求n S 2．5+55+555+…+555…5=

3．求和。)32()332()232()132(3

2

n S n

+?+?++?++?++?=

4．已知n

n n a 2

1

2-=。求n S

5．已知)

1(1

+=

n n a n 求n S

6．已知：2

n a n =。求n S 二、总结数列求和方法 三、练习 1．已知)

2(1

+=

n n a n ，求n S

2．已知：13321

-+?=-n a n n 。求n S

3．+++=2642a a S (1)

2-?+n a n

n 个5

4．)2

14121()4121(21n S +?+++?+++=

5．数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别记作n S 与'

n S ，如果32,122'2-+=-+=n n S n n S n n ,设n n n b a C ?=。求

}{n C 前n 项和n P 。

十七、数列求和和与应用题

重点：（1）巩固求前n 项和的方法 （2）用数列求解应用题 难点：建立合适的数学模型解应用题

1．求)

12)(12(1751531311+-+??+?+?+?n n 的和

2．=+??++++??++++++n

321132112111

3．=+++??++++++1

1

231321211n n

4．设}{n a 为等差数列，公差是d ,则

=+??++++-1

2127553311

111n n a a a a a a a a

5．=++??+?+?+?)1(433221n n

6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液，用水填满，这样继续下去，一共倒了4次，这时容器里还有多少纯酒精？（保留到1位）

7．某林场原有森林木材存量为a ,木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，为了实验经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标，则x 的最大值是多少？（1g2=0.3）

8．（选做）已知数列}{n a 的前n 项和为2

10n n S n -=，数列}{n b 的每一项||n n a b =，求数列}{n b 的前n 项和。

3.1.1 不等关系与不等式

【基础知识】

一、不等式的定义及分类

1．定义： 2．分类：

二、比较两代数式大小的理论依据

000<-?<=-?=>-?>b a b a b a b a b a b a

注：任意两实数b a ,，在三个关系中有且仅有一种关系成立。

▲：作差法

【典例精析】

例1．比较x x -2

和2-x 的大小。 练：比较322

--+x x x 与的大小。 小结：

例2．比较122-+x x x 与的大小。 练：已知b a >, 试比较3

a 与3

b 的大小。 小结：

【当堂练习】

1．请用不等号表示下列关系： （1）a 是非负实数；

（2）实数a 小于3，但不小于-2；

（3）a 和b 的差的绝对值大于2，且小于等于9。

2．试比较

2

44a a

+和1的大小。

3．已知求证,b a ≠：

)(2422b a b b a +>+

4．已知,,+∈R b a 且b a ≠，试比较5

5

b a +和2

3

3

2

b a b a +的大小。

5．列出下题中未知数x 所满足的不等式（或不等式组）：

一辆汽车原来每天行驶x 公里，如果它每天多行驶19公里，那么在8天内它的行程s 就超过2200公里；如果它每天比原来少行驶12公里，那么行驶同样的路程s 就需超过9天时间。 【课堂小结】

3.1.1 不等关系与不等式习题

1．下列不等式①)(232

R x x x ∈≥+ ②),(3

2

3

3

5

5

R b a b a b a b a ∈+≥+ ③)1(22

2

--≥+b a b a ，其中正确的个数为（ ）个

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

2．已知,11

,1,1,012

2

a

C a B a A a +=

-=+=<<-把C B A 、、由小到大排为 3