2013真题数一答案
2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. 1、已知极限0arctan lim
k x x x
c x
→-=，其中,k c 为常数，且0c ≠，则（ ） （A ）12,2k c ==- （B ）1
2,2k c ==
（C ）13,3k c ==- （D ）1
3,3
k c ==
【答案】（D ）
【考点】泰勒公式；洛必达法则 【难易度】★★
【详解】方法1：333
300011(())()
arctan 33lim lim lim k k k x x x x x x o x x o x x x c x x x
→→→--++-=== 1
3,3
k c ?==.因此，选（D ）.
方法2：用洛必达法则.
22211210
0001
1arctan 11lim
lim lim lim (1)k
k k k x x x x x x
x x x c x kx kx x k x
---→→→→-
-+====+
因此，123k k -=?=，13
c =
. 2、曲面2
cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）0x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --= 【答案】（A ） 【考点】平面方程 【难易度】★★
【详解】设2
(,,)cos()F x y z x xy yz x =+++，则
(,,)2sin()1(0,1,1)1x x F x y z x y xy F ''=-+?-=
(,,)sin()(0,1,1)1y y F x y z x xy z F ''=-+?-=-
(,,)(0,1,1)1z z F x y z y F ''=?-=
所以该曲面在点(0,1,1)-处的切平面方程为(1)(1)0x y z --++=即2x y z -+=-，故选（A ）.
3、设1()2f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==?L ，令1
()sin n n S x b n x π∞==∑，则9
()4S -=
（ ） （A ）
34 （B ）14 （C ）14- （D ）3
4
- 【答案】（C ）
【考点】函数在[-l,l]上的傅里叶级数 【难易度】★★★
【详解】1
1,[0,]
122
()1
12,[,1]22
x x f x x x x ?-∈??=-=??-∈??
将()f x 作奇延拓，得周期函数()F x ，周期2T = 则()F x 在94x =-
处连续，从而99111
()()()()44444
S F F f -=-=-=-=-.故选（C ）. 4、设221:1L x y +=，22
2:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆时针方
向的平面曲线，记33
()(2)(1,2,3,4)63
i
i L y x I y dx x dy i =++-=?，则{}1234max ,,,I I I I =（ ）
（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）4I 【答案】（B ）
【考点】格林公式 【难易度】★★★
【详解】记36y P y =+，323
x Q x =-，则
2222
211()22Q P y y x x x y ??-=---=-+?? 3322
()(2)()[1()]632i
i i
i L D D y x Q P y I y dx x dy dxdy x dxdy x y ??=++-=-=-+???????
用i D 表示i L 所围区域的面积，则有1D π=，22D π=
，34D D ==，1342D D D D <=<.
又因为被积函数2
2
1()02
y x -+≥，所以1342I I I I <=<.故选（B ）. 5、设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）
【考点】等价向量组 【难易度】★★
【详解】将矩阵A 、C 按列分块，1(,,)n A αα=L ，1(,,)n C γγ=L
由于AB C =，故111111(,,)(,,)n n n n nn b b b b ααγγ??
?
=
? ???
L L M M L L 即1111111,,n n n n nn n b b b b γααγαα=++=++L L L 即C 的列向量组可由A 的列向量组线性表示.
由于B 可逆，故1
A C
B -=，A 的列向量组可由
C 的列向量组线性表示，故选（B ）.
6、矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ??
?
? ???
相似的充分必要条件是（ ）
（A ）0,2a b == （B ）0,a b =为任意常数 （C ）2,0a b == （D ）2,a b = 为任意常数
【答案】（B ）
【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件 【难易度】★★
【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.
由20000000b ?? ? ?
?
??
的特征值为2，b ，0可知，矩阵1111a A a b a a ?? ?
= ? ???的特征值也是2，b ，0.
因此，2
21
111
22022401
1
20
a a E A a
b a b a a a a
a
-----=---=---=-=---0a ?= 将0a =代入可知，矩阵10100101A b ?? ?
= ? ???
的特征值为2，b ，0.
此时，两矩阵相似，与b 的取值无关，故选（B ）.
7、设123,,x x x 是随机变量，且1x ~(0,1)N ，2x ~2
(0,2)N ，3x ~2
(5,3)N ，
{}22(1,2,3)j j P P x j =-≤≤=，则（ ）
（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >> 【答案】（A ）
【考点】正态分布 【难易度】★★
【详解】{}1122(2)(2)2(2)1P P X =-≤≤=Φ-Φ-=Φ-，
{}2220202022(1)(1)2(1)1222X P P X P ----??=-≤≤=≤≤=Φ-Φ-=Φ-????，12P P ∴>
{}3335777221(1)()()(1)3333X P P X P --??
=-≤≤=≤≤-=Φ--Φ-=Φ-Φ????，23P P ∴>
123P P P ∴>>.故选（A ）.
8、设随机变量()X t n ~，(1,)Y F n ~，给定(00.5)αα<<，常数c 满足{}2P X c >=，则
{}2P Y c >=（ ）
（A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α- 【答案】（C ）
【考点】t 分布；F 分布 【难易度】★★★
【详解】()X t n ~，则2
(1,)X F n ~
{}{}{}{}{}22222P Y c P X c P X c P X c P X c α>=>=>+<-=>=
二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答．题纸．．指定位置上. 9、设函数()y f x =由方程(1)
x y y x e
--=确定，则1
lim (()1)n n f n
→∞
-= .
【答案】1
【考点】导数的概念；隐函数的导数 【难易度】★★ 【详解】由(1)
x y y x e
--=，当0x =时，1y =.
方程两边求导得 (1)
1(1)x y y e y xy -''-=?--
将0x =，1y =代入计算得(0)1y '=
01()1
1()(0)
lim (()1)lim lim (0)11n n x f f x f n n f f n x
n
→∞→∞→--'-=== 10、已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x
y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3
个解，则该方程的通解为y = . 【答案】3212()x
x x x y C e
e C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.
【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★
【详解】312x x
y y e e -=-，23x y y e -=是对应齐次微分方程的解.
由分析知，*2x
y xe =-是非齐次微分方程的特解. 故原方程的通解为3212()x
x x x y C e
e C e xe =-+-，12,C C 为任意常数.
11、设sin ,sin cos x t y t t t
=??=+?（t 为参数），则224
t d y dx π== .
【考点】由参数方程所确定的函数的导数
【难易度】★★ 【详解】
11cos cos dy dy dt dy t t t dx dx dt dx dt t
dt
=?=?=?= 2
211cos dy d d y dt dx dx dx dt dx t
dt
=?=
=
224
1cos 4t d y dx ππ=?==12、
2
1
ln (1)
x
dx x +∞
=+?
. 【答案】ln 2
【考点】无穷限的反常积分 【难易度】★★ 【详解】
21
111ln ln 11
0ln 0ln ln 2(1)1(1)12
x x x dx dx x x x x x +∞+∞
+∞
+∞=-+=+=-=++++?
? 13、设()ij A a =是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若
0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，则A = .
【答案】-1
【考点】伴随矩阵 【难易度】★★★
【详解】**0T T
ij ij ij ij a A A a A A AA AA A E +=?=-?=-?=-= 等式两边取行列式得23
0A A A -=?=或1A =- 当0A =时，00T
AA A -=?=（与已知矛盾） 所以1A =-.
14、设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则{}
1P Y a Y a ≤+>= .
【答案】11e
-
【考点】指数分布；条件概率的计算 【难易度】★★
【详解】由题意可知，,
0,()0,
y e y f y y -?>=?
≤?
{}{}
{}
1
(1)(),1111()a a a a a
a
f y dy
P Y a Y a e e P Y a Y a P Y a e e f y dy
+--++∞->≤+-≤+>==
==->??
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15、（本题满分10分）
计算
1
?
，其中1ln(1)()x t f x dt t +=?.
【考点】积分上限的函数及其导数；定积分的分部积分法；定积分的换元法
【难易度】★★★ 【详解】1
ln(1)ln(1)
()(1)0,()x
t x f x dt f f x t x
++'=
?==
?
1
10
002()2(2()f x f x x dx '==-?
??
1102(1)224ln(1)f x =-=-=-+?
??
004[ln(]4ln 24x =-+-=-+?
? 其中
21111
2220
00001222(1)2(arctan )2(1)1114t t tdt dt dt t t t t t π?==-=-=-+++??? 所以，原式=4ln 28(1)824ln 24
π
π-+-=--
16、（本题满分10分）
设数列{}n a 满足条件03a =，11a =，2(1)0(2)n n a n n a n ---=≥，()S x 是幂级数
n
n n a x
∞
=∑的
和函数.
（Ⅰ）证明：()()0S x S x ''-=；（Ⅱ）求()S x 的表达式. 【考点】二阶常系数齐次线性微分方程 【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）证明：0()n
n n S x a x
∞
==
∑，1
1
()n n
n S x na x
∞
-='=
∑，
2
22
()(1)(2)(1)n n n n n n S x n n a x
n n a x ∞
∞
-+==''=-=++∑∑
20
()()[(2)(1)]n n n n S x S x n n a a x ∞
+=''-=++-∑
因为2(1)0n n n n a a ---=，0n ≥，所以2(2)(1)0n n n n a a +++-= 所以()()0S x S x ''-=
（Ⅱ）()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为2
10λ-=，从而1λ=± 于是微分方程的通解为12()x
x S x C e
C e -=+
由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==，得1212123,
1,21
C C C C C C +=??==?-+=?
所以()2x
x S x e
e -=+
17、（本题满分10分）
求函数3(,)()3
x y
x f x y y e +=+的极值.
【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★ 【详解】先求驻点，令
32
3
()0132(1)033x y x y f x x y e x x f x y y e y ++??=++==-?????????=-??=++=????
或143x y =??
?=-??
再求驻点处的二阶偏导数
22
321(22)3x y f x x y x e x +?=+++?， 2231
(1)3x y f x y x e x y +?=+++??， 232
1(2)3
x y
f y x e y +?=++?， 由于在点2
(1,)3
--处，
5
23
2
2(1,)
3
f A e x
-
--?==-?，523
2(1,)3
f B e x y ---?==??，523
2
2(1,)
3
f C e y
-
--?==?
20AC B ?-<，0A <，所以点2
(1,)3
--不是极值点.
同样在点4
(1,)3
-处，
1
23
2
4(1,)
3
3f A e x
-
-?==?，123
4(1,)3
f B e x y --?==??，123
2
4(1,)
3
f C e y
-
-?==?
2
0AC B ?->，0A >，所以点4
(1,)3
-是极小值点，极小值为134(1,)3f e --=-.
18、（本题满分10分）
设奇函数()f x 在[1,1]-上具有二阶导数，且(1)1f =，证明： （Ⅰ）存在(0,1)ξ∈，使得()1f ξ'=； （Ⅱ）存在(1,1)η∈-，使得()()1f f ηη'''+=. 【考点】罗尔定理 【难易度】★★★
【详解】（Ⅰ）由于()f x 在[1,1]-上为奇函数，故(0)0f =
令()()F x f x x =-，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10F f =-=，
(0)(0)00F f =-=.由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()1f ξ'=.
（Ⅱ）考虑()()1(()())(())x
x
x
x
f x f x e f x f x e e f x e ''''''''+=?+=?=
[()]0x x e f x e ''?-=
令()()x
x
g x e f x e '=-，由于()f x 是奇函数，所以()f x '是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，
()()1f f ξξ''=-=，()()0g g ξξ?=-=.由罗尔定理可知，存在(1,1)η∈-，使得()0g η'=，
即()()1f f ηη'''+=. 19、（本题满分10分）
设直线L 过(1,0,0)A ，(0,1,1)B 两点，将L 绕z 轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面0z =，2z =所围成的立体为Ω. （Ⅰ）求曲面∑的方程；（Ⅱ）求Ω的形心坐标. 【考点】旋转曲面；空间直线的对称式方程；形心 【难易度】★★★★
【详解】（Ⅰ）直线L 过A 、B 两点，(1,1,1)AB =-u u u r ，所以直线L 的方程为1111
x y z
-==-
1x z
y z
=-???
=? 所以其绕z 轴旋转一周的曲面方程为 2222222(1)222x y z z x y z z +=-+?+=-+2211
2()22
x y z ?+--=
（Ⅱ）设形心坐标为(,,)x y z ，Ω关于xoz ，yoz 对称，0x y ==.
2222222
2
32
222022200
222
14
(22)73105(221)3x y z z x y z z zdz
dxdy
zdv z z z dz z dv zdz dxdy z z dz ππ+≤-+Ω
Ω+≤-+-+=====-+?
??
???????????
所以，Ω的形心坐标为7
(0,0,)5
. 20、（本题满分11分） 设110a A ??=
?
??
，011B b ??= ???，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵
C.
【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件 【难易度】★★★
【详解】由题意可知矩阵C 为2阶矩阵，故可设1234x x C x x ??
=
???
.由AC CA B -=可得 121
2343
4101011011x x x x a x x x x b b ??????????-= ? ? ? ? ??????????? 整理后可得方程组23124
134230
11
x ax ax a ax x x x x ax b
-+=??-++=??--=??-=? ① 由于矩阵C 存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换：
010010
11
11
011
110101000
10010111
0101
000010100
0a a a a a
a a a a
b b b -----??????
? ? ?--- ? ? ?
→→ ? ? ?---++
? ? ?-??????
方程组有解，故10a +=，0b =，即1a =-，0b =.
当1a =-，0b =时，增广矩阵变为10111011000000000000--??
?
?
?
?
??
34,x x 为自由变量，令341,0x x ==，代入相应齐次方程组，得211,1x x =-=
令340,1x x ==，代入相应齐次方程组，得210,1x x ==
故1(1,1,1,0)T ξ=-，2(1,0,0,1)T ξ=，令340,0x x ==，得特解(1,0,0,0)T
η= 方程组的通解为112212112(1,,,)T
x k k k k k k k ξξη=++=++-（12,k k 为任意常数）
所以121121k k k C k k ++-??
= ???
.
21、（本题满分11分）
设二次型2
123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α?? ?= ? ???，123b b b β??
?= ? ???
（Ⅰ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T
ααββ+；
（Ⅱ）若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22
122y y +
【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）证明：
2123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++
1111123212321232123233332(,,)(,,)(,,)(,,)a x b x x x x a a a a x x x x b b b b x a x b x ????????
? ? ? ?
=+ ? ? ? ? ? ? ? ?????????
112323(,,)(2)T T T x x x x x x Ax x ααββ??
?
=+= ? ???
，其中2T T A ααββ=+
所以二次型f 对应的矩阵为2T
T
ααββ+. （Ⅱ）由于,αβ正交，故0T
T αβαβ== 因,αβ
均为单位向量，故
1α==，即1T αα=.同理1T ββ=
2(2)22T T T T T T A A ααββαααββααααββαα=+?=+=+=
由于0α≠，故A 有特征值12λ=.
(2)T T A βααββββ=+=，由于0β≠，故A 有特征值21λ=
又因为()(2)(2)()()()1123T T T T T T
r A r r r r r ααββααββααββ=+≤+=+=+=<， 所以0A =，故30λ=.
三阶矩阵A 的特征值为2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22
122y y +.
22、（本题满分11分）
设随机变量X 的概率密度为2
1,03,()0,x x f x a ?<
=???其他，令随机变量2,1,,12,1,2x Y x x x ≤??=<
（Ⅰ）求Y 的分布函数；（Ⅱ）求概率{}P X Y ≤.
【考点】连续型随机变量的概率密度的性质；连续型随机变量分布函数的计算；条件概率的计算
【难易度】★★★★ 【详解】（Ⅰ）依题意有
()1f x dx +∞
-∞
=?
，即1
2
230
0119
193x dx x a a a a
===?=?
Y 的分布函数 {}()Y F y P Y y =≤
由Y 的概率分布知，当1y <时，()0Y F y =； 当2y >时，()1Y F y =；
当12y ≤≤时，{}{}{}{}{}()1111Y F y P Y y P Y P Y y P Y P X y =≤==+<≤==+<≤
{}{}3
223
2111121(18)9927
y P X P X y x dx x dx y =≥+<≤=+=+??
所以Y 的分布函数为3
0,1,1()(18),12,27
1,2Y y F y y y y
??=+≤≤??>??
（Ⅱ）{}{}3
2211912927P Y P X x dx ==≥==?，{}{}12
01121927
P Y P X x dx ==≤==?，
{}71227
P Y <<=. {}{}{}{}{}1122P X Y P X Y Y P Y P X Y Y P Y ≤=≤==+≤== {}{}1212P X Y Y P Y +≤<<<<
{}{}{}191712272727P X P X P X X =
≤+≤+≤ 2201911171911878272727927272727272727
x dx =?++=?+?+=?
23、（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为23,0,
(;)0,x e x f x x θ
θθ-?>?=???
其他，其中θ为未知参数且大于零，
12,,,n X X X L 为来自总体X 的简单随机样本.
（Ⅰ）求θ的矩估计量；（Ⅱ）求θ的最大似然估计量.
【考点】矩估计法；最大似然估计法 【难易度】★★★ 【详解】（Ⅰ）
2
2
3
20
0(;)()x x x EX xf x dx x e dx e dx e d x x x
θ
θ
θ
θθθ
θθθ-
-
-
+∞
+∞
+∞
+∞-∞
==?
==-=?
?
?
? 令EX X =，则X θ=，即X θ=，其中1
1n
i i X X n ==∑.
（Ⅱ）对于总体X 的样本值12,,,n x x x L ，似然函数为
2
31
1
()(;)i
n n
x i i i
L f x e
x
θ
θθθ-
====∏∏
（0i x >），
31
ln ()(2ln ln )n
i i i
L x x θ
θθ==--
∑，
令11ln ()2121()0n n i i i i d L n d x x θθθ
θ===-=-=∑∑，得121n i i
n
x θ==∑
θ的最大似然估计量12?1n
i i
n
X θ==
∑.