数学建模论文校园公交车调度问题

西南交通大学2012年新秀杯数学建模竞赛

题目：A题

组别：大二组

西南交通大学教务处

西南交通大学实验室及设备管理处

西南交通大学数学建模创新实践基地

校园通行车路线的设计

摘要

本文主要研究的是校园交通车的站点设置、在固定停车和招手即停两种模式结合下的运载能力、运行路线和时间安排以及相应行驶方案的规划问题。

问题一中，我们对校园通行车现有行车路线网络和常停站点进行了调查和分析。

首先，在数据处理阶段，将站点实体间的线路选择抽象为图论最短路模型,用Matlab软件画出三条主要的行车线路，然后利用GIS空间分析方法解决单个交通线路上站点规划问题。该方法依据乘客出行时间最短确定单个线路上的站点个数，结合GIS缓冲区分析和叠合分析，在路线上做站点设置的适宜性讨论，提出基于最优化理论和GIS空间分析技术的站点规划方法，确定站点的位置，从而提供一种可行的行驶方案。

问题二中，考虑固定停车和招手即停相结合的方案，我们首先将最佳行驶路线定义为车辆运行时间最短的路线，将图论中经典的Dijkstra算法（单源最短路径）进行改进，结合哈密尔顿图，以结点之间的时间作为权数，利用C++编程得到最佳推销员回路，也就是通行车行驶的最佳路径。

考虑到招手即停模式具有极大的随机性，为了便于调度，我们首先对乘车人次密度分布进行了调查和分析，并通过随机模拟出概率分布值较大的区域，将其抽象为一假想固定停车点，这样就将模型简化为固定停车点最佳行驶路径的问题。根据已得到的乘车时段分布规律和学校实际的作息时间表，按照模糊聚类分析法将一工作日数单位时间段划分为更概括的高峰期、低潮期和一般期，并应用Matlab中的fgoalattain进行非线性规划求出实际发车数，以及应用时间步长法估计发车间隔，从而给出两种模式结合下通行车每周运行的车辆数、路线和时刻表。

问题三中，我们首先对校区师生乘车需求人数进行了描述性统计，从乘车人数的均值、方差、峰度以及正态性四个角度对样本进行检测，找到相关的分布规律与结论，即每日在各时段中的乘车人数分布相似。随后，我们以ANOV A方差检验、组内与组间均值比较以及标准误差分析为手段，进一步验证了所得结论的准确性。并且以此建立较为理想化的整数规划模型，将全局约束以发车时间划分为几个高峰时段，用Lingo软件在个高峰时段约束中全局最优解，从而得到在已知行驶方案下校园通行车的运载能力。

本文建立的行驶方案模型能与实际紧密联系，结合校园实际情况对问题进行求解，并在模型扩展中利用计算机编程和仿真软件对所得结果和调度方案进行分析和评价，使得模型具有很好的通用性和推广性。

关键字：站点选址最优化原理 GIS 模糊聚类非线性规划图论

1 问题重述

西南交通大学犀浦校区位于成都市西北郫县犀浦镇，紧靠成都市外环线500米生态带，距市中心约12公里，校园占地约3000亩。犀浦校区的规划和建设都强调和突出“自然、人文”的先进理念，按照“一轴二带三环六区”的规划骨架，由南至北，逐步展开的。

从2004年第一批学生入住以来，犀浦校区的规模日渐扩大并趋于成熟。但是由于校区面积过大，出现了师生出行难，上课、回寝室、出校等所花时间较多等问题。为解决这一问题，校园内出现了便捷通行车，师生只用花费一元钱就可以在校内往返。

目前，这种通行车采取招手即停的方式，校园内的任意地点都基本可以到达，但是当规模进一步扩大，管理更加规范后，可能需要考虑固定班次和行车路线。

题图2给出了交大犀浦校区的平面地图，利用数学模型研究以下问题：

1、请在校园内设置一些固定停车点，并说明其合理性；

2、将固定停车和招手即停两种模式结合起来，给出每周通行车从上午7点到晚上10点的运行车辆数、运行路线及时刻表；

3、预测校园通行车在您安排的行驶方案下的运载能力。

2 问题分析

问题一：

影响固定停车点分布的主要因素有通行车的数量、乘客人数分布与到站规律、交通流量及线路上的其他随机因素对车辆运行的干扰。一般来说，站点安排应考虑到以下两点：

1)使乘客的出行总时间降到最低

2)固定停车点附近的所有乘客到达站点的总路程最短

本节就此问题仅对最短通行时间路径进行讨论，即在所用时间最短的前提下，求解所经过的道路点。

问题二：

考虑固定停车和招手即停两种模式结合，该情况的影响因子很多，且各因素都是随机的。因此，必须对模型做一定的简化。

首先，我们搜集了北区第一讲课之前乘车高峰时间段及乘车人数的统计数据并进行了描述性统计，由对样本的分析结果找到相关的人流密度分布规律，且通过模糊聚类分析对时间段进行划分，假设每日各时段的乘车人数分布相似。随后，通过检验与误差分析进一步验证所得结论的准确性，为以后的分析和建模做好准备。

之后，结合图论中的Dijkstra算法和哈密尔顿圈问题分析，得出适合该问题求解的最佳路径模型，根据已得到的乘车时段分布规律和学校实际的作息时间表，应用Matlab进行多目标规划并结合时间步长法估计发车间隔和发车数，从而给出两种模式结合下通行车每周运行的车辆数、路线和运行时刻表。

问题三：

根据问题一、二得出的行驶方案，利用计算机仿真对模型进行模拟和检验。根据已有数据建立多目标规划模型，考虑时间、车辆数、路线等对目标函数的约束，分析影响通行车运载能力的因素，求出全局最优解，并对所得结论进行实际合理性分析和验证。

3 模型假设

(1) 通行车在行驶过程中以20km/h V =的速度匀速运行，在停车点前后

各A m 内为加减速距离，平均车速为一般车速的一半；不考虑每一站停车延迟及其他因素的影响

(2) 考虑各站上下车以“先下后上”方式，每位乘客上下车时间都相等

(3) 通行车的运行时间只包括乘客上下车时间和必要的运行时间，不考

虑其他时间

(4) 乘客候车时间一般不超过10分钟，早高峰时一般不超过5分钟

(5) 如果候车人数多于座位数，假设等待的乘客不离开

(6) 通行车运行过程中处于良好状态，即不出现中途因电量不足或其他

故障临时停车或换乘情况

(7) 通行车按时刻表顺次发车，在同一时间段内相邻两辆车发车时间间

隔相同，且准时到达每个站点

(8) 通行车在每个固定站点停留时间均为30s T =

4 符号说明

20km/h V =:通行车运行过程中行驶速度

(,)w i j ：最短时间下从固定停车点i 到固定停车点j 之间的距离

l v ():表示从顶点0u 到v 的经过一条路所用时间的权

z v ():表示最佳的路线，v 的父亲点

i λ：第i 时间点需要乘车的人数(i =1,2,…k )

k :控制参数

c i Q N L =??:某时段运载能力

其中L 为通行车单程总运行距离

5 校园通行车固定停车点选择模型（问题一）

由于校园交通车行车网络受到道路状况、交通流量、道路长度、人流分布等

多种因素的制约，但考虑诸多因素建立起来的模型必然很复杂且难以求解。我们经分析取舍，考虑主要的影响因子，建立了一个用于解决固定停车点规划问题的方法。该方法主要基于最优化理论[1]和GIS 适宜性分析技术[2]，首先通过建立一

个优化的数学模型[3]确定固定停车点的总数目，同时同这个数学模型得到各影响

因子和站点个数之间关系的函数表达式，该表达式说明在什么地方适宜建固定停车点，从而为GIS适应性分析提供依据。

停车点数目确定后，在确定站点的空间布局。该方法采用了GIS适宜性分析技术，对人流分布、交通流量、道路状况等因素进行量化，通过叠合分析和缓冲区分析，找到最适宜的地方建立站点，用GIS的方法弥补了确定站点数目的优化数学模型的引入因素少的不足，使建立GIS辅助规划系统成为现实。

5.1 固定停车点选址的优化模型

5.1.1 影响固定停车点选址的相关因素

模型中选址问题的影响因子有人流分布、交通流量、交通起讫点、一般车速、道路状况等，我们主要考虑以下四点：

1)两相邻停车点间的距离(,)

w i j；

2)人流分布。根据实际情况，固定停车点应设置在人流密度相对较大的地

方；

3)道路状况。考虑交叉口和不同路段宽度、车道数对设站的影响：停车点

越靠近交叉口对乘客越方便，但考虑安全和交通流畅，一般应离开交叉

口30~50米[2]。为减少通行车行驶对学生步行以及骑自行车的影响，道

路路段宽度大的地点比宽度窄的地点更适宜设置固定停车点；

4)交通流量。路段上公交流量的分布状况是通行车停车点选址的重要依据。

通行车的停驶会给其他学生带来一定的干扰，因此，若路段交通状况原

本就比较拥挤，则不宜设置停车点。

5.1.2 通行车行驶线路规划

设置固定停车点的原则为方便乘客和节省乘客出行时间。

首先，我们根据校园车现今大体行驶路线，用Matlab软件画出假设的三条主要行车路线（如图5-1），该路线覆盖了学校已建成大部分地区的主干道。

图5-1

其中，

M:南门→南区体育场→一食堂→西二门→北区体育场→15号天佑斋1

M:南门→虹桥→X桥→体育馆→15号天佑斋→北区校车站

2

M:南门→南区校车站→一教→二教→图书馆→八教→北区校车站→15号3

天佑斋

5.1.2.1 最佳站距公式

利用乘客步行到站与离站时间、乘车时间之和最短的原理，得到最佳站距公

式为[2]：

式中，d为站距；r V为乘客到停车点的平均速度；L乘为乘客距离固定乘车点的平均距离；0t为站点停靠时间。求出最佳停车点站距后，在具体设置站点时，还应根据沿线用地性质进行合理布置。

5.1.2.2 基于最优理论的通行车优化模型

实际情况表明，当停车点很多时，每位乘客在线路上的行程会因为中途停车次数较多而导致总出行时间增大；而当停车点很少时，乘客平均到最近一个停车点的时间会加长，可能超过在路上形成部分所节省的时间，从而导致总出行时间还是很大。可见，当停车点间距很小或很大时，总出行时间都会较大，而在此间存在着某个最优站点数目，使总的行程时间最小[2]。

总行程时间最小的通行车优化模型为

r 4(1)min 2(1)M X A Y F XT V V V L A X Y

-?=+++???=-+? (1) 式中：F 为总出行时间；X 为停车点的个数；T 为公交车辆在公交站点停

留的时间；M 为乘客到最近停车点的平均距离；r V 为乘客到停车点的平均速度; L 为通行车路线的总里程数；Y 为一般车速V 运行的公里数，这样X T 为在站点总的停靠时间；4(1)X A V

-为在站点前后加减速的运行时间；Y V 是以速度V 运行的时间。

在式(1)中，除了M 与站点距离有关，和X 属于因变量外，r ,,A,V T V 都可做自变量，对于特定的r ,,A,V T V 值，可以得出一个最佳的X 值来。 以3M K X =（经验值），2(1)Y K A X =--代入式(1)的第一个式子得

r 34(1)2(1)min K K X A K A X F XT V V V

---=+++ 令0F x

?=?得

X = (2)

式(2)即为最优停车点数的公式

根据式(2)，在其他变量一定的情况下，人流越密集，那么停靠时间T 越大，则站点应建的越少；同样，人们到达停车点的速度越小，站点应建的越多[3]；公交车辆在路上可达到的加速度越大，则A 越小，停车点应建的越多[3]。这些都是进行GIS 适宜性分析的依据。

5.1.3 基于GIS 适宜性分析的停车点选址

当站点数目确定后，利用GIS 空间适宜性分析技术实现站点的空间定位，

主要步骤为

1、对人流分布，交通流量，道路状况进行量化。量化过程中采用下面的规

则：

[1]道路上的人流分布采用以10m 的步长逐点做100m 范围缓冲区的方法，

在缓冲区内的人数就是对应道路上的人流分布值（或者采用克里金插值生成人流密度表面，一般口越密集，站点应建的越少；反之人口过于稀少，也不应设置过多站点）；

[2]交通流量以实地采集的日平均数据为准；

[3]校园中道路状况大体相当，可看作相同忽略不计

说明：为了便于说明模型的思路，以下的图表都是示意性的，实际系统中将

量化成灰度图，以下是经量化获得的各影响因子的值。

表1 线路1M 人口分布、交通流量度量指标

南门 南体育场 一食堂 三食堂 北体育场 四食堂 15天佑斋

交通流量4533321 Q 7 9 8 8 7 6 6

2

南门玻璃桥虹桥X桥北区体育馆15天佑斋人流分布244622

交通流量543332 Q 7 8 7 9 5 4

3

南门一教二教图书馆八教北区校车站15天佑斋人流分布2445432

交通流量4113322 Q 6 5 5 8 7 5 4

注：表中人流分布按照很稀疏、稀疏、一般稀疏、中等、一般密集、密集、很密集分别对应

量化值2、3、4、5、4、3、2；交通流量从量很小过渡到很多分别对应6~0的量化值；道路

状况取较好状态度量值5.

2、按照上面的规则生成对交通路径的交通流量、人流分布的灰度图，结果

分别如图1、2，再对两个图层进行叠合分析，对量化指标栅格化得到栅格

图（图略）

图1 交通流量图图2 人流分布图图3 在叠加结果上

做缓冲区

3、根据固定停车点数X，在交通路径上等间距取X个点。对每个点在步骤

2、得到的栅格图上做半径为10m的点缓冲区（图3）

4、在缓冲区内交通流量、人流分布量化值最大的位置设置固定停车点

5.1.4 固定停车点选择方案

以起点南门处为中心，沿前行方向分别以200m和500m绘制圆弧，形成环形缓冲区，选取缓冲区内量化值最大的点作下一个站点；若缓冲区内出现最大量化值相等的点，那么就取距离上一个点为300m的点为站点；再以寻找到的站点为新的起点，重复上述步骤，直到线路终点，如图5-2为设计总图

图5-2

5.3 模型的评价

由图可以观察到，利用该方法设计的校园通行车固定停车点个数为11个，这些站点在道路交叉口附近和人流密集的教学区、住宿区都有分布，非常方便学生上下课以及出入校园的情况。而且比较现有的通行情况，固定线路和停车点减少了乘客总的出行时间，提高了运载效率。因此，利用该方法进行选址是比较合理的。

当然，为了模型方便求解，我们对于交通流量、道路状况、人流分布等因素的相关关系，以及它们在站点选择时所占的权重并没有多加考虑。

另外，如果考虑到学校未来的规划（如图5-3），则需增加一条线路

图5-3

M:南门→七教→一五教→东门→行政大楼→北区校车站→研究生小高楼4

→教师公寓

人流分布244622交通流量543332 Q 7 8 7 9 5 4 该线路可方便教师出行及上下课的情况。

6 将固定停车和招手即停相结合的通行车行驶方案模型（问题二）

结合问题一我们可定义通行车最佳行驶路线为：在所用时间最短的前提下所

经过的道路点。为了求出最短时间下的优化路径从而给出合理的行车路线的方

案，我们采用了图论中最佳推销员回路以及Dijkstra算法建立相关模型。

6.1 招手即停模式的概率抽象模型

对于学生来说，每天乘车的人数为随机变量，因此为了探讨交通车运行数据

的规律，首先要对每天乘坐校车的学生的人数的分布情况进行统计分析。

我们实地调查了一周每天早晨北区宿舍楼附近的候车情况，高峰期大致出现

在7：45~8:00之间(如图6-1所示)

对总体学生乘车人数的样本总体进行描述性分析，得到下表(表6-1)：

6.2 最佳行驶路线模型的建立

如图6-3为问题一中确定的固定停车点的抽象线图，编号分别表示各站点，

两点间连线表示可通行。

图 6-3

6.2.1最佳推销员回路问题的哈密尔顿图

首先考虑运行线路为环线的情况。在加权图G=(V,E,F)中,给出最佳H图定

义：

1.权最小的哈密尔顿图成为最佳H图

2.经过每个顶点至少一次且权最小的闭通路成为最佳销售回路

由定义可知，本题可以转化为最佳推销员回路问题。有给定的G=(V,E)构造一个以V为顶点集的完备图''

G=(V,E,F),'E中的每条边(,)

X Y的权等于顶点X与Y在图G中最短路径的权，即min(,)()

=

X Y w e'

根据哈密尔顿回路，由C++语言编写程序和相应解释见附件（附录二）。

下面给出程序运行结果：

以该方法可给出37种不同的行车路线，其中最短路径为：

L总

1→9→10→8→7→6→11→5→4→3→2→1，总行驶里程=5106m

6.2.2 根据Dijstra算法的最佳路径

根据所学图论知识，我们将图采用邻接矩阵的形式描述，(,)

w i j表示在最短

时间下从道路点i 到道路点j 之间的距离，如果没有直接连通，则为无穷大，计算机可以用一个很大的数据代替（如matlab 中的inf ）。由于Dijkstra 算法只能求从结点i 到其他各结点的最短路径，对每个顶点，定义两个标记（l v ()，z v ()），其中：l v ()表从顶点0u 到v 的经过一条路所用时间的权。z v ()表示v 的父亲点，用以确定最佳的路线。算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l v ()为从顶点0u 到v 的最时间的权。输入 G 的带权邻接矩阵),(v u w 。

算法步骤：

1）赋初值：令 {}0=S u ，0()=0l u \,v S V S ?∈=令l v ()=W u v (,)0，z v ()= u 0 u ←u 0

2）更新l v ()、z v ()：\v S V S ?∈=,若l v ()>l u W u v ()(,)+

则令l v ()=l u W u v ()(,)+，z v ()=u

3）设v *是使l v ()取最小值的S 中的顶点，则令S=S ∪{v *}，u ←v *

4）若S φ≠，转步骤2，否则停止

用上述算法求出的l v ()就是u 0到v 的最短时间的权，从v 的父亲标记)(v z 追溯到u 0, 就得到u 0到v 的最佳路线（程序用C 语言编写，具体代码见附录一，源程序见附件）

程序运行结果如下：

给定问题一求解出的11个固定停车点之间的连通关系，根据算法和已知相邻的点的距离，选择具有11个节点的有向图6-2，我们可以得到其各边权重及拓扑结构。

图6-4

上述程序选取了节点7为目的节点，程序中采用邻接矩阵表示一个有向图，输入为该图的邻接矩阵以及目的节点，输出为图中各点的邻接关系，依照次邻接关系可得到到达目的节点的最短路径。如从节点2到达节点7，需顺次经过第3点、第4点和第5点，最优路径为2—3—4—5—7，路程总长度为1482m.

该方法可以求出最短路径以及所对应的路程，在车速假设一定的前提下，所对应的行车时间最短，也就是说减少了乘客的总出行时间，提高了运行效率。

6.3 非线性规划分析法求解通行车线路安排及时刻表

首先通过数据的分析，考虑到方案的可操作性，根据学校实际的作息时间表，我们对时间段按照模糊聚类分析法划分为不同时间段高峰期、低潮期和一般期。

引入乘客利益

6.3.1 符号约定

λ：某一时段发车次数（注：由于数据给定为平均客流量只需考虑在一个完整的周期内的车次，即从始发站到终点站的这段时间）

β：该时段的平均满载率（一般情况下，车辆满载率不应超过100%，也不要低于50%）

T=+i L t v

∑：一辆通行车走完全程的时间 i a ：第i 站上车平均客流量

V

Q α∑=∑:供求匹配比

k ：控制参数

Q :某时段运客能力

6.3.2 发车次数的确定

依据前面的分析，兼顾乘客出行时间与线路利用效率最大化，对6.2中求解出的最佳路线建立如下的多目标规划模型：

目标函数1：Ⅰ 供求的最优匹配 2min()Q V β?-

Ⅱ 各时段的发车车次均最小 min{}n

约束条件：①各时段的平均满载率限制 0.51β≤≤

②供求匹配比限制

目标函数Ⅰ使某一时段的运客能力Q 与运输需求(实际客运量)V 达到最优匹配，β反映满载率高低的影响；目标函数Ⅱ使所需的最大发车次，在满足约束条件下尽可能少，以使总车辆数较少。

约束条件①是限制满载率满足运营调度要求，条件②是限制供求匹配比k α≤；为使始发站车场每天起始时刻的车辆数保持不变，需使总发车次数与总收车次数相等,即必须使单程车次总数达到匹配(12=λλ) ,而受满载率限制，1λ不能减少，因此用二次规划可求得各时段发车次数i λ

目标函数2：1min k

i i i Z C X ==∑ i 1,2,..k =?（） 约束条件：满足每一个时刻点的乘车人数即可，即1k

i i i i X d λ=≥∑ i 1,2,..k =?（）

6.3.3 发车数量及发车间隔的确定

对于这个问题，我们采用上时间步长法，根据假设一个时段内发车间隔时间i t 相等，则i t 可由λ确定，从而得到发车时刻表。按此发车时刻表模拟实际运行过程，目标是确定能满足时刻表的最小车辆数n ,统计各项运营指标，搜索最优调度方案解。