(整理)常微分方程第四章

3.4 n 阶常系数线性齐次微分方程的解法

对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，n 个线性无关的解

)(,),(),(21x y x y x y n

我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的n 阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数),,2,1)((n i x p i 都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元n 次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元n 次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了. 形如

)(1)1(1)(x f y p y p y p y n n n n

的方程（其中),,2,1(n i p i 均为实常数），称为n 阶常系数线性微分方程.如果

0)( x f ，即

01)1(1)( y p y p y p y n n n n

称为n 阶常系数线性齐次微分方程.如果0)( x f ，称为n 阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍n 阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程

0 py y

这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解

px e x y )(.

因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即px e x y )(. 对于n 阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如

x e x y )(

的解，其中 是待定常数.为了确定 ，可以将x e x y )(代入方程

01)1(1)( y p y p y p y n n n n .

这时，需要计算y 的各阶导数)(,,,n y y y

),,2,1(,)(n i e y x i i

代入方程得：

0)(111 x n n n n e p p p

因为0 x e ，所以有

0111 n n n n p p p

该一元n 次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根.

x e x y )(是n 阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当 是线性微分方程的特征根.这样，求n 阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了.

下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解. 1、特征根互异

首先，假设特征方程有n 个互异的实根n ,,,21 .这时，就可以得到相对应的n 个解

x n x x n e x y e x y e x y )(,,)(,)(2121

因为n ,,,21 两两互异，所以

x n x x n e x y e x y e x y )(,,)(,)(2121

是n 个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为

x n x x n e C e C e C x y 2121)(.

其中n C C C ,,,21 是任意常数. 例1 求方程

023 y y

的通解.

解 特征方程为

0232

即

0)2)(1(

从而，特征根为

2,121

基本解组为

x x e x y e x y 221)(,)(

因此方程的通解为

x x e C e C x y 221)(

其中21,C C 是任意常数. 例2 求方程

045 y y y

的通解及满足初始条件：4)0(,1)0( y y 的特解. 解 特征方程为

0452

即

0)4)(1(

从而，特征根为

4,121

基本解组为

x x e x y e x y 421)(,)(

因此方程的通解为

x x e C e C x y 421)(

其中21,C C 是任意常数.

下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入

x x e C e C x y 421)( x x e C e C x y 4214)(

得

441

21

21C C C C 所以1,021 C C ，因此所求的特解为

x e x y 4)( .

其次，互异的特征根中含有复根，即n ,,,21 中有复数，不妨设bi a k （b a ,为实数）.这时，bi a k 所对应的解为

x k e x y )(.

由于bi a k 为复数，

x k e 应该如何定义呢？定义之后x k e x y )(的求导与k 为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题. 给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如

)sin (cos i r bi a z

其中a b

b a r arctan ,22 .

同时，复数也可以写成指数形式，即

i r i r i e e e re bi a z ln ln

所以有

)sin (cos )sin (cos ln ln i r i e e r i r

于是有

)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x k .

有了定义之后，我们来研究k 为复数与k 为实数时的求导计算是否相同.

性质1.无论 是实数还是复数，总有

x x e e )(.

证明 当 为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明 为复数的情形，设

bi a ，b a ,为实数.因为

)sin (cos )(bx i bx e e e ax x bi a x

所以

)cos sin ()sin cos ()sin ()cos ()(bx b bx a ie bx b bx a e bx e i bx e e ax ax ax ax x x ax ax e bi a bx i bx e b bx i bx i bx i bx a e ))(sin (cos ])sin (cos )sin (cos [.

由性质1，可得：无论 是实数还是复数，总有

x n n x e e )()(.

性质2.无论 是实数还是复数，对任意实数k ，总有

x k k x k e x kx e x )()(1 .

证明 当 为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明 为复数的情形，设

bi a ，b a ,为实数.这时

)sin (cos )(bx i bx e x e x e x ax k x bi a k x k

所以

)sin ()cos ()( bx e x i bx e x e x ax k ax k x k

)]cos sin (sin [)]sin cos (cos [11bx b bx a e x bx e kx i bx b bx a e x bx e kx ax k ax k ax k ax k ])sin (cos )sin (cos [)sin (cos 1b bx i bx i bx i bx a e x bx i bx e kx ax k ax k ))(sin (cos )sin (cos 1bi a bx i bx e x bx i bx e kx ax k ax k

x k k e x kx )(1 .

有了上述定义和性质，bi a k 所对应的解为

)sin (cos )(bx i bx e e x y ax x k

是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复

解的概念，并把复解实数化.

定义3.4 函数)(),(x v x u 都是实数函数，设复值函数

)()()(x iv x u x y

是常系数线性齐次微分方程

01)1(1)( y p y p y p y n n n n

的解，则称复值函数)(x y 为方程的复解. 定理3.11设复值函数

)()()(x iv x u x y

是常系数线性齐次微分方程

01)1(1)( y p y p y p y n n n n

的解，则复值函数的实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.

证明 因为复值函数)()()(x iv x u x y 是常系数线性齐次微分方程

01)1(1)( y p y p y p y n n n n

的解，所以有

0))()(())()(())()(())()((1)1(1)( x iv x u p x iv x u p x iv x u p x iv x u n n n n

即

))()(())()((]))(())([())(())((1)1()1(1)()( x iv x u p x v i x u p x v i x u p x v i x u n n n n n n 即

)

())(())([()]()())(())([(1)1(1)(1)1(1)(x v p x v p x v i x u p x u p x u p x u n n n n n n n 0)]( x v p n

所以

0)()())(())((1)1(1)( x u p x u p x u p x u n n n n 0)()())(())((1)1(1)( x v p x v p x v p x v n n n n

即，实部)(x u 和虚部)(x v 都是方程的解.

我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数bi a k ，则该复数根对应一个复解

)sin (cos bx i bx e y ax

而该复解的实部函数bx e x u ax cos )( 和虚部函数bx e x v ax sin )( 都是齐次方程的解，即，该复根bi a k 对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决： （1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于n 个，怎么处理？ （2）将复解实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？ 因为方程

01)1(1)( y p y p y p y n n n n

的系数),,2,1(n i p i 全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，bi a 是特征根，则bi a 也是特征根.这样，复解是成对出现的，bi a 所对应的复解为

)sin (cos bx i bx e y ax

这时，它的实部函数和虚部函数同bi a k 的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根bi a 对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是n 个.而且，实部函数和虚部函数可以由bi a 所对应的两个复解

)sin (cos )(1bx i bx e x y ax 和)sin (cos )(1bx i bx e x y ax

来表示，即

)]()([21

)]sin (cos )sin (cos [21cos )(21x y x y bx i bx e bx i bx e bx e x u ax ax ax

)]()([21

)]sin (cos )sin (cos [21sin )(21x y x y i bx i bx e bx i bx e i bx e x v ax ax ax

下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征根所对应的解组成的函数组仍然是线性无关，从而仍然为齐次方程的基本解组.

定理3.12 如果)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是在区间),(b a 上的n 个线性无关的函数，21,k k 是两个非零常数，则函数组

)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n

在区间),(b a 上仍是线性无关的.

证明 设函数组)(,)()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n 的线性组合等于零.即

0)()())()(())()((3321222111 x y C x y C x y x y k C x y x y k C n n

即

0)()()()()()(332221112211 x y C x y C x y k C k C x y k C k C n n

因为函数组)(,)(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的，所以

0,0,0322112211 n C C k C k C k C k C

因为21,k k 不为零，由0,022112211 k C k C k C k C 可得：

021 C C

所以

0321 n C C C C

因此，函数组)(,),()),()(()),()((3212211x y x y x y x y k x y x y k n 在区间),(b a 上仍是线性无关的.

解决了上述问题后，互异特征根出现一个复根时，则与它共轭的复数也是特征根，这一对特征根对应一对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组.如果出现两对共轭的特征根，则会对应两对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组，依次类推，遇到复数特征根都可以将它所对应的复解实数化. 例3 求方程

044 y y y y

的通解.

解 特征方程为

04423

即

0)4)(1(2

从而，特征根为

i 2,13,21

基本解组为

x x y x x y e x y x 2sin )(,2cos )(,)(321

因此方程的通解为

x C x C e C x y x 2sin 2cos )(321

其中321,,C C C 是任意常数. 例4求方程

05262)4( y y y y y

的通解.

解 特征方程为

05262234

即

0)52)(1(22

从而，特征根为

i i 21,4,32,1

基本解组为

x e x y x e x y x x y x x y x x 2sin )(,2cos )(,sin )(,cos )(4321

因此方程的通解为

x e C x e C x C x C x y x x 2sin 2cos sin cos )(4321

其中4321,,,C C C C 是任意常数. 2、特征根有重根

设1 是)1(n k k 重特征根（1 为实数或复数），则1 对应着齐次方程的一个解x e x y 1)(1 .但是，1 是k 重特征根，相当于k 个特征根，只得到了一个解.