2014年上海高考理科数学试题及参考答案

2014年普通高等学校招生统一考试上海市

数学试题（理科）及参考答案 满分150分;考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、函数212cos (2)y x =-的最小正周期是 ．

2、若复数12z i =+， 其中i 是虚数单位, 则1z z z ?

?+?= ??

? ．

3、若抛物线2

2y px =的焦点与椭圆22

195

x y +=的右焦点重合, 则该抛物线的准线方程为 ．

4、设2, (,),

(), [,).

x x a f x x x a ∈-∞?=?∈+∞? 若(2)4f =, 则a 的取值范围为 ．

5、若实数x ， y 满足1xy =, 则222x y +的最小值为 ．

6、若圆锥的侧面积是底面积的3倍, 则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．

7、已知曲线C 的极坐标方程为(3cos 4sin )1ρθθ-=, 则C 与极轴的交点到极点的距离是 ． 8、设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若)(43

1lim n n a a a

a +++=∞

→ , 则q = .

9、若2

13

2

()f x x x

-=-, 则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．

10、为强化安全意识, 某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练, 则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）． 11、已知互异的复数a ， b 满足0ab ≠, 集合22{, }{, }a b a b =, 则a b += ． 12、设常数a 使方程a x x =+cos 3s in 在闭区间[0,2

π]上恰有三个解123, , x x x , 则123x x x ++= .

13、某游戏的得分为1, 2, 3, 4, 5, 随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分．若() 4.2E ξ=, 则小白得5分的概率至少为 ．

14、已知曲线2

4:y x C --=, 直线:6l x =．若对于点(,0)A m , 存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0=+AQ AP , 则m 的取值范围为 ．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、设, a b R ∈, 则“4a b +>”是“2a >且2b >”的

(A) 充分条件

(B) 必要条件

(C) 充分必要条件

(D) 既非充分又非必要条件

16、如图, 四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱, AB 是一条侧棱,

)8,,2,1( =i P i 是上底面上其余的八个点, 则)8,,2,1

( =?i AP AB i 的不同值的个数为

(A) 1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

17、已知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点, 则关于x 和y 的方程组1122

1,1a x b y a x b y +=??+=?的解的情况是

(A) 无论k , 12, P P 如何, 总是无解 (B) 无论k , 12, P P 如何, 总有唯一解 (C) 存在k , 12, P P , 使之恰有两解 (D) 存在k , 12, P P , 使之有无穷多解 18、设2(), 0,()1

, 0.

x a x f x x a x x ?-≤?

=?++>??

若(0)f 是()f x 的最小值, 则a 的取值范围为 (A) [1,2]- (B) [1,0]-

(C) [1,2] (D) [0,2]

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥P ABC -, 其表面展开图是三角形123P P P , 如图．求123PP P △的各边长及此三棱锥的体积V ．

20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设常数0a ≥, 函数2()2x x a

f x a

+=-． (1)若4a =, 求函数()y f x =的反函数1()y f x -=;

(2)根据a 的不同取值, 讨论函数()y f x =的奇偶性, 并说明理由。

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图, 某公司要在A , B 两地连线上的定点C 处建造广告牌, 其中D 为顶端, AC 长35米, CB 长80米. 设点A , B 在同一水平面上, 从A 和B 看D 的仰角分别为α和β． (1)设计中CD 是铅垂方向．若要求2αβ≥, 问CD 的长至多为多少（结果精确到0.01米）？

(2)施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差．现在实测得38.12α?=,

18.45β?=, 求CD 的长（结果精确到0.01米）．

22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

在平面直角坐标系xOy 中, 对于直线:0l ax by c ++=和点111(,)P x y , 222(,)P x y , 即1122()()ax by c ax by c η=++++．若0η<, 则称点12, P P 被直线l 分隔．若曲线C 与直线l 没有公共点, 且曲线C 上存在点12, P P 被直线l 分隔, 则称直线l 为曲线C 的一条分隔线． (1)求证: 点(1,2)A , (1,0)B -被直线10x y +-=分隔;

(2)若直线y kx =与曲线2241x y -=的分隔线, 求实数k 的取值范围;

(3)动点M 到点(0,2)Q 的距离与到y 轴的距离之积为1, 设点M 的轨迹为曲线E 。 求证: 通过原点的直线中, 有且仅有一条直线是E 的分隔线.

23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

已知数列{}n a 满足1133

n n n a a a +≤≤, *

N n ∈, 11a =．

(1)若22a =, 3a x =, 49a =, 求x 的取值范围;

(2)设{}n a 是公比为q 的等比数列, n n a a a S +++= 21．若1133

n n n S S S +≤≤, *

N n ∈,

求q 的取值范围;

(3)若k a a a ,,,21 成等差数列, 且100021=+++k a a a , 求正整数k 的最大值, 以及k 取最大值时相应数列k a a a ,,,21 的公差．

参考答案：

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）

1、π2

1； 2、6； 3、2-=x ； 4、2≤a ； 5、22；

6、31arccos ；

7、

31； 8、215-； 9、（0,1）； 10、151； 11、-1； 12、

3

7π

； 13、0.2； 14、[]3,2. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）．

15、B; 16、A; 17、B; 18、D;

三、解答题（本大题共有5题，满分74分） 19、(本题满分12分)

解：∵由题得，三棱锥P ABC -是正三棱锥

∴侧棱与底边所成角相同且底面ABC ?是边长为2的正三角形

∴由题得，3

ABC BCA CAB π

∠=∠=∠=

，

112233

PBA P AB P BC P CB P AC PCA ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 又∵,,A B C 三点恰好在123,,P P P 构成的123PP P ?的三条边上 ∴112233

3

PBA P AB P BC P CB P AC PCA π

∠=∠=∠=∠=∠=∠=

∴11223

32P A PB P B P C PC P A ====== ∴1213234PP PP P P ===，三棱锥P ABC -是边长为2的正四面体

∴如右图所示作图，设顶点P 在底面ABC 内的投影为O ，连接BO ，并延长交AC 于D ∴D 为AC 中点，O 为ABC ?的重心，PO ⊥底面ABC ∴22333BO BD =

=，263PO =，11326222232233

V =?????= 20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解：（1）由题得，248

()1(,1)(1,)2424

x x

x f x +==+∈-∞-+∞-- ∴1

21()2log 1x f

x x -+??

=+ ?-??

，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞

∵2()2x x a

f x a

+=-且0a ≥∴①当0a =时，()1,f x x R =∈，

∴对任意的x R ∈都有()()f x f x =-，∴()y f x =为偶函数

②当1a =时，21(),021x x f x x +=≠-，2112()2112

x x

x x

f x --++-==--， ∴对任意的0x ≠且x R ∈都有()()f x f x =--，∴()y f x =为奇函数 ③当0a ≠且1a ≠时，定义域为{

2log ,}x x a x R ≠∈， ∴定义域不关于原定对称，∴()y f x =为非奇非偶函数

21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解：（1）由题得，∵2αβ≥，且022

π

βα<≤<

，tan tan 2αβ∴≥

即2403516400

CD

CD CD

≥-

，解得，202CD ≤，∴28.28CD ≈米 由题得，18038.1218.45123.43ADC ∠=--=，

∵

3580sin123.43sin18.45

AD +=，∴43.61AD ≈米

∵2

2

2

35235cos38.12CD AD AD =+-???，∴26.93CD ≈米

22、(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．

（1）证明：由题得，2(2)0η=?-<，∴(1,2),(1,0)A B -被直线10x y +-=分隔。 （2）解：由题得，直线y kx =与曲线2

2

41x y -=无交点

即222241

(14)10x y k x y kx

?-=?--=?

=?无解 ∴2

140k -=或22

1404(14)0k k ?-≠??=-

，∴11

(,][,)22k ∈-∞-+∞ （3）证明：由题得，设(,)M x y ，∴

22(2)1x y x +-?=，

化简得，点M 的轨迹方程为22

2

1

:(2),0E x y x x +-=

≠。 ①当过原点的直线斜率存在时，设方程为y kx =。

联立方程，22

22

221(2)1(1)44x y k x kx x x y kx ?+-=??+-+=??=?

。

令2

2

()(1)44F x k x kx =+-+，21

()G x x

=

，显然()y F x =是开口朝上的二次函数 ∴由二次函数与幂函数的图像可得，()()F x G x =必定有解，不符合题意，舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为0x =。 显然0x =与曲线2

2

2

1

:(2),0E x y x x +-=≠没有交点，在曲线E 上找两点(1,2),(1,2)-。

∴110η=-?<，符合题意

综上所述，仅存在一条直线0x =是E 的分割线。

23、(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．

解：（1）由题得，2

63

[3,6]933

x x x x ?≤≤???∈??≤≤??

（2）由题得，∵1133

n n n a a a +≤≤，且数列{}n a 是等比数列，11a =，

∴11

133n n n q q q --≤≤，∴1

11()03

(3)0

n n q q q q --?-≥???-≤?，∴1[,3]3q ∈。 又∵

1133n n n S S S +≤≤，∴当1q =时，133

n

n n ≤+≤对n N *∈恒成立，满足题意。 当1q ≠时，1111133111n n n

q q q q q q

+---?≤≤?---

∴①当1[,1)3q ∈时，(3)2(31)2n n q q q q ?-≥-?-≤?，由单调性可得，11(3)2(31)2q q q q ?-≥-?-≤?，解得，1

[,1)3q ∈

②当(1,3]q ∈时，(3)2(31)2n n q q q q ?-≤-?-≥?，由单调性可得，11(3)2

(31)2

q q q q ?-≤-?-≥?，解得，(1,2]q ∈

（3）由题得，∵1133

n n n a a a +≤≤，且数列k a a a ,,,21 成等差数列，11a =， ∴1[1(1)]13[1(1)]3

n d nd n d +-≤+≤+-，∴(21)2(23)2

d n d n +≥-??-≥-?，∴2

[,2]21d k ∈--

又∵100021=+++k a a a ，∴221()(1)10002222

k d d d d

S k a k k k =

+-=+-= ∴220002k d k k -=-，∴2

200022[,2]21

k k k k -∈---，解得，[32,1999]k ∈，k N *∈ ∴k 的最大值为1999，此时公差为1

1999

d =-。