中考题型分类—第24题二次函数综合

中考第24题

——二次函数综合

题型一：二次函数与全等三角形

1.（2019交大一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；

（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣2≤m＜3时，直接写n的取值范围；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

题型二：二次函数与等腰三角形1.（工大七模）如图

,抛物线

1

C的图象与x轴交A(?3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3)，点D为抛物线的顶点。

(1)求抛物线

1

C的解析式；

(2)将抛物线

1

C关于直线1

x=对称后的抛物线记为

2

C,将抛物线

1

C关于点B对称后的抛物线记为

3

C，点E为抛

物线

3

C的顶点，，在抛物线

2

C的对称轴上是否存在点F，使得BEF

?为等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由。

题型三：二次函数与三角形面积

1.（2019工大四模）已知抛物线，L ：3-bx ax y 2

+= 与x 轴交于 A （-1,0），B 两点，与 y 轴交于点 C ，且 抛物线 L 的对称轴为直线 x = 1。 （1）求抛物线的表达式；

（2）若抛物线L ′抛物线 L 关于直线 x = m 对称，抛物线L ′与 x 轴交于点A ′,B ′两点（点A ′在点B ′左侧），

要使'2△△=ABC A BC S S ,求所有满足条件的抛物线L ′的表达式

2.（2019交大三模）如图，抛物线1C 的图象与x 轴交于A 、O 两点，顶点为点B （-1，-1）. （1）求抛物线1C 的函数表达式.

（2）将抛物线1C 绕点A 旋转180°得到抛物线2C ，设抛物线2C 的顶点为点'B ，试通过计算判断抛物线2C 是否过点B.

（3）在抛物线1C 或2C 的图象上是否存在点D ，使BO B BD B S S ''△△=?若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由

.

3.（2019龙岗一模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c -2

++=bx x y 与坐标轴交于点A 、B 、C ，已知A （-1,0），C （0,2）。 （1）求该抛物线的表达式。

（2）已知P 为线段BC 上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点D ，连接DB 、CD ，当△BCD 的面积最大时，求点P 的坐标。

4.（2019铁一中一模）已知一个二次函数，当x ＝2时，函数的最大值是1，且图象与x 轴两个交点A 、B （点A 在点B 的左侧）之间的距离为2。 （1）求该二次函数的表达式；

（2）画出该二次函数的草图：（要求标注：顶点坐标、与坐标轴的交点坐标和对称轴．）

（3）点M 为该图象的顶点，问在该图象上，且在x 轴下方是否存在点N ，使得S △AMN=S △BMN ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．

5.（2019铁一中六模）如图，抛物线2

5

2

++=bx ax y 与x 轴交于点A(-5.0),B(1.0)，顶点为foD ，与y 轴交于点C

（1）求抛物线的表达式和D 点的坐标。

（2）在直线AC 上方的抛物线上是否存在点E ，使得∠ECA=2∠CAB ，如果存在这样的点E ，求出▲ACE 的面积，如果不存在请说明理由。

6.（2019铁一中八模）定义:如图1. 抛物线y=a +bx+c(a 0)与x 轴交于A 、B 两点, 点P 在抛物线上(点P 与

A 、

B 两点不重合), 如果ΔABP 的三边满足则称点P 为抛y=a

+bx+c(a 0)的勾股点,.

(2)如图2, 已知抛物线C: y=a

+bx(a 0)与x 轴交于A. B 两点, 点P(1，)是抛物线C 的 勾股点, 求抛物

线C 的函数表达式;

(3)在(2)的条件下, 点Q 在抛物线C 上, 求满足条件S △ABQ=S △ABP 的点Q(异于点P)的坐标。

题型四：二次函数与等边三角形

1.（高新七模）已知抛物线21:23C y ax ax =--与x 轴交于A,B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于C 点，

顶点为D ，直线L ：1y x =+经过点A. （1）求抛物线1C 的函数表达式；

（2）将抛物线1C 和直线L 同时向上或者向下平移，得到抛物线2C 与直线'L ，设2C 与x 轴的交点为'

'

,A B ，顶点为'

D ，直线'

L 与2C 的对称轴交于M 点，当''

MA B V 是等边三角形时，求抛物线1C 和直线L 的平移方式和平移距离.

题型五：二次函数与相似三角形

1.（2019高新四模）(1)在平面直角坐标系中，抛物线n mx mx y L ++=221：与x 轴交于A(?4,0)和点C ，

且经过点B(?2,3)，若抛物线1L 与抛物线2L 关于y 轴对称，求抛物线2L 的解析式；

(2)在(1)的条件下,记点A 的对应点为A′，点B 的对应点为B′，现将抛物线2L 上下平移后得到抛物线3L ，抛物线3L 的顶点为M ，抛物线3L 的对称轴与x 轴交于点N ，试问：在x 轴的下方是否存在一点M ，使△MNA′与△ACB′相似?若存在,请求出抛物线3L 的解析式；若不存在，说明理由。

2.（2019高新六模）如图已知点A (2,4)-和点B (1,0)都在抛物线22y mx mx n =++上 ．

（1） 求m 、n ；

（2） 向右平移上述抛物线， 记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，若四边形A A B B ''为菱形， 求平移后抛物线的表达式；

（3） 记平移后抛物线的对称轴与直线AB '的交点为点C ，试在x 轴上找点D ，使得以点B '、C 、D 为顶点的三角形与ABC ?相似 ．

3.（2019工大三模）如图，已知抛物线W 1经过点A （-1,0），B （2,0），C （0,2），点D 为OC 中点，连接AC 、BD 并延长BD 交AC 于点E 。 ⑴求抛物线W 1的表达式；

⑵若抛物线W 1与抛物线W 2关于y 轴对称，在抛物线W 2位于第二象限的部分上取一点Q ，过点Q 作QF ⊥x 轴，垂足为点F ，是否存在这样的F 点，使得△QFO 与△CDE 相似？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。

4.（2019铁一中九模）如图，抛物线y ＝ax 2

+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），图象与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，

问是否存在点E 使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似。若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．

题型六：二次函数与平行四边形

1.（2019高新三模）已知二次函数42-+=bx ax y 的图象M 经过A(-1，0)，C(2，-6)两点，顶点为P.

(1)求该二次函数的解析式和顶点P 的坐标;

(2)设图象M 的对称轴为l ，点)21)(,(<<-m n m D 是图象M 上一动点，当△ACD 的面积为

8

27

时，点D 关于l 的对称点为E ，能否在图象M 和直线l 上分别找到点P 、Q ，使得以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形?若能，求出点P 的坐标;若不能，请说明理由.

2.（2019工大二模）如图，抛物线L ：2y x bx c =-++与x 轴分别交于A （-1，0），B （4，0）两点.

(1)求抛物线的解析式以及顶点坐标；

(2)求第二象限内作矩形ADCE ,且AD =2，CD =4.将抛物线沿x 轴向左平移，当点C 落在平移后的抛物线'L 上是否存在点Q ，使以点O 、点B 、点Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

3.（2019工大六模）在平面直角坐标系中,抛物线1C

:c bx x y 2++=的图象与x 轴交于A. B 两点,A 点在

原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),与y 轴交于C(0,?3) (1)求抛物线1C 的表达式；

(2)设抛物线1C 的顶点为D ，分别写出抛物线1C 关于点B,关于点A 的对称抛物线2C ,3C 的函数表达式； (3)设2C 与x 轴的另一个交点为1A ，顶点为1D ,3C 与x 轴的另一个交点为1B ,顶点为2D ，在以A. B. D.1A 、

1B 、1D 、2D 这七个点中的四个点为顶点的四边形中，求面积最大的四边形的面积。

4.（2019工大九模）在平面直角坐标系中，等边△AOB 的边AO 在x 轴上，点A(4,0)，点O （0,0），点B 在

第一象限.

（1）若抛物线1C 经过点A 、O 、B ，求抛物线1C 的表达式；

（2）点D 是平面内的一点，以点A 、B 、O 、D 为顶点的四边形是平行四边形.现将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，若抛物线2C 经过点A 、D 两点，求抛物线2C 的函数表达式.

5.（2019交大二模）如图，点A （-2，4）和点B （1，0）在抛物线4bx ax y 2++=

上.

⑴求抛物线的表达式；

⑵向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为1A ，点B 的对应点为1B ，若四边形B B AA 11为菱形，求平移后抛物线的对称轴；

⑶在⑵的条件下，记平移后抛物线的对称轴与直线B A 1的交点为点C ，试在平面内找一点D ，使得以点1A 、1B 、

C 、

D 为顶点的四边形是平行四边形，求D 点的坐标.

6.（2019交大五模）如图，抛物线L ：c bx ax y ++=2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A(-1，

0)OB ＝OC ＝30A ，若抛物线L2与抛物线L 关于直线x ＝2对称 (1)求抛物线L1与抛物线L2的函数解析式；

(2)在抛物线L1上是否存在一点P ，在抛物线L2上是否存在一点Q ，使得以BC 为边，且以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形?若存在，求出P 、Q 两点的坐标;若不存在，请说明理由.

7.（2019铁一中二模）已知：抛物线56:21+-

=x x y L 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y

轴交于点C ，顶点为M 。 （1）请求出C 、M 两点的坐标；

（2）将抛物线56:21+-=x x y L 绕平面内的某一点旋转180°，旋转后得到抛物线2L ，抛物线2L 的顶点为M ˊ，与x 轴相交于E 、F 两点（点F 在点E 的右侧），使得抛物线2L 过点M ，且以C 、M 、M ˊ、F 为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有满足条件的抛物线2L 的顶点坐标。

8.（2019铁一中三模）如图所示,抛物线22y x x c =-+的顶点A 在直线l ：5y x =-上。

(1)求抛物线顶点A 的坐标；

(2)设抛物线与y 轴交于点B,与x 轴交于点C 、D(点C 在点D 的左侧),判断△ABD 的形状, 并说明理由； (3)将抛物线沿直线l 的方向平移,平移后抛物线的顶点为A′,是否存在点A',使以点A'A 、B 、D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在求平移后所有满足条件的抛物线的函数表达;不存在,请说明理由。

题型七：二次函数与正方形

1.（2019高新一模）定义两个二次系数之和为，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数“互为友好同轴”二次函数。，例如:的“友好同”二次函数为

(1)请求出

的“友好同轴”二次函数； (2)如图，二次函数

:

与其“友好同轴轴”二次函数

都与

轴交于点

，

分别为B ’、C ’，连结

BB ’，B ’C ’，C ’C ，CB ，若.且四边形

为正方形，求的值。

（1）求抛物线C1的表达式；

（

2

）

将

C

1

平

移

后

得

到

抛

物

线

C

2

，

点

D

、

E

在

C

2

上

（

点3.（2019铁一中五模）已知抛物线L：

2

5

2

2

1

y2+

-

-

=x

x与x轴交于A,B两点（A点在B点的左侧），顶点为D点。

（1）直接写出A.B,D三点的坐标。

（2）设M（m,0)为x轴上一点，将抛物线L绕点M旋转180°得到抛物线

1

L

①当抛物线

1

L经过原点时，直接写出m的值。

②当C点为第一象限内抛物线

1

L的点，E点第一象限的点，问是否存在以BD为边，以B,D,C,E,为顶点的正方

形，若存在，请求出此时抛物线

1

L的解析式，若不存在请说明理由。

题型八：二次函数与菱形

1.（2019高新五模）已知抛物线L ：c bx x y ++=2

经过点M （2，-3），与y 轴交于点C （0，-3）. （1）求抛物线L 的函数表达式；

（2）平移该抛物线，设平移后的抛物线为L'，抛物线L'的顶点记为P ，L'的对称轴与x 轴交于点Q ，已知点N （2，-8），怎样平移才能使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的平行四边形为菱形?

2.（2019交大四模）已知抛物线L ：c bx x y ++=2经过点M （2，-3），与y 轴交于点C （0，-3）.

（1）求抛物线L 的表达式;

（2）平移该抛物线，设平移后的抛物线为'L ，抛物线'L 的顶点记为P ，它的对称轴与x 轴交于点Q ，已知点N （2，-8），怎样平移才能使得以M 、N 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？

3.（2019交大四模）已知抛物线L ：c bx x y ++=2

经过点M （2，-3），与y 轴交于点C （0，-3）.

（1）求抛物线L的表达式;

（2）平移该抛物线，设平移后的抛物线为'L，抛物线'L的顶点记为P，它的对称轴与x轴交于点Q，已知点N（2，-8），怎样平移才能使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为菱形？

4.（2019铁一中七模）在平面直分角坐标系中,已知抛物线 L：y=a+bx+3与x 轴交于 A(-3,0)和 B（1,0）两点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点。

(1)求这条抛物线的函数表达式和顶点D 的坐标；

(2)将抛物线L沿B、D 所在的直线平移，平移后点B 的对应点为B’,点C 的对应点为C’,点D的对应点为D’,当四边形 BB’C’C 是菱形时,求此时平移后的抛物线的函数表达式.

题型八：二次函数与矩形

1.（工大八模）已知抛物线L1与x轴交于A、B两点，点A在点B左边，AB＝4，顶点C坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线L1的函数解析式；

（2）记L1关于x轴上一点M对称的抛物线为L2，L2的顶点为D，L2与x轴的交点记为E，F，其中点E为点A的对应点，若以A、C、D、E为顶点的四边形是矩形，求出点M的坐标及抛物线L2的解析式．题型八：二次函数与三角函数

1.（2019高新二模）在平面直角坐标系中,抛物线y=?6x+4的顶点M在直线y=kx?2上。

(1)求直线L的函数表达式；

(2)现将抛物线沿该直线L方向进行平移,平移后的抛物线的顶点为M′,与x轴的右交点为C,连接NC,当tan∠NCO=2时，求平移后的抛物线解析式；