二次函数综合运用.docx
课题：二次函数综合运用
1、 有一个二次函数的图彖，三位同学分別说出它的一些特点：
甲：对称轴是直线x = 4；
乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ____________________________
2、 关于x 的一元二次方程ax 2?3x ?1=0的两个不相等的实数根都在?1和0 Z 间(不包括?1和())，则a
的取值范围是 ___________________ 1、当一 2<兀<1时，二次函数y = -(X-7H )2 +m 2 4- 1有最大值4,则实数772的值为()
7
7 (A)一一 (B)語或一巧 (C) 2或一語 (D) 2或馆或一一 4
4 3. 知识迁移
我们知道，函数y=a (x - m) 2+n (azO, m>0, n>0)的图象是由二次函数y=ax?的图象向右平移m 个单 位，再向上平移n 个单位得到；类似地，函数y 二」^+n (kHO, m>0, n>0)的图象是由反比例函数y 丄
X ~ IT X
的图彖向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到，其对称中心坐标为(m, n)?
理解应用
函数丫=」^+1的图象可由函数的图彖向右平移 ________________ 个单位，再向上平移 __________ 个单
X - 1 X
位得到，其对称中心坐标为 ___________ ?
灵活应用
—4
_ 4
如图，在平而点角朋标系xOy 中，请根据所给的y 二」的图象画出函数y 二一 ?2的图象，并根据该图 x x ~ 2
象指出，当X 在什么范伟I 内变化时，y>- 1?
实际应用 某老师对一位学生的学习悄况进行跟踪研究，假设
刚学匚㈡ 完新知识吋的记忆存留量为1,新知识学习后经过的
吋间f 为x,发现该住的记忆存留量随x 变化的函数关系为
丨
4 yi= x+4 习后的记忆存超量是复习
前的2倍(复习的时间忽略不卜［4 计)，且复习后的记忆存
留量随x 变化的函数关系为
时进彳亍第-次复习，发现他复中
1!
*
y2=」一，如果记忆存留量为￡时是复习的"戢佳时机匚：
x - a 2 心
点〃，R他第一次复习是在“最佳时机点〃进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的〃最佳时机点〃？
° 3
4.如图，拋物线y x=ax-2ax^b经过A(-l, 0), C(2, Q)两点，与x轴交于另一点3
(1)求此拋物线的解析式；
(2)若拋物线的顶点为点P为线段OB上一动点(不与点B重合)，点Q在线段M3上移动，
ZMP0=45。，设线段MQ=牛”,求旳与兀的函数关系式，并直接写出自变量兀的収值范围；2
(3)在同一平而直角处标系中，两条总线兀二加，兀耳2分别与拋物线交于点E, G,与(2)中的函数图像
交于点F, /问四边形EFHG能否为平行四边形？若能，求加，八之间的数量关系；若不能，请说明理由。
5.已知：如图，菱形ABCD屮，对角线AC, BD相交于点0,且AC=12cm, BD=16cm.点P从点B出发, 沿BA方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为lcm/s, EF 丄BD,几与AD, BD, CD分别交于点E, Q, F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF, 设运动吋间为t (s) (0 (1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？ (2)设四边形APFE的面积为y (cn?),求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t,使Spy边形APFE： S菱形ABCD=17： 40?若存在，求出t的值，并求出此吋P, E两点间的距离；若不存在，请说明理由. 6.如图①，直线1： y=mx+n (m<0, n>0)与x, y轴分别相交于A, B两点，将AAOB绕点O逆时针旋转90。得到△ COD,过点A, B, D的抛物线P叫做1的关联抛物线，而1叫做P的关联直线. (1)若1： y=-2x+2,则P表示的函数解析式为____________ ；若P： y= - x2 - 3x+4,贝U1表示的函数解析式为___________ . (2)求P的对称轴(用含m, n的代数式表示)； (3)如图②，若1： y=-2x+4, P的对称轴与CD相交于点E,点F在1上，点Q在P的对称轴上.当以点C, E, Q, F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标； (4)如图③，若1： y=mx - 4m, G为AB中点，H为CD中点，连接GH, M为GH中点，连接OM.若OMW10,直接写出1, P表示的前数解析式. 7.已知抛物线G：y=d(x+l)“?2的顶点为且经过点B (-2, -1). (1)求A点的坐标和抛物线C］的解析式； (2)如图1,将抛物线G向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线相交于C, D 两点， 求s MAC: S&AD O'M i； (3)如图2,若过P (-4, 0), Q (0, 2)的直线为/，点E在(2)中抛物线C?对称轴右侧部分(含顶点)运 动，宜线加过点C和点E.问：是否存在直线加，使直线/,加与兀轴围成的三角形和直线Z,皿与y轴围成的三角形相似？若存在，求出总线加的解析式；若不存在，说明理由. . 3 &如图，二次函数y = ax2+bx(a^0)的图彖经过点(1, 4),对称轴是直线兀=-—,线段AD平行于轴，交抛物线于点D。在y轴上取一点C (0, 2),直线AC交抛物线于点B,连结0A, OB, 0D, BD。 (1)求该二次函数的解析式； (2)求点B处标和坐标平而内使△EODs^AOB的点E的处标； (3)设点F是BD的中点，点P是线段DO上的动点，问PD为何值时,将ABPF沿边PF翻折, 使ABPF与Z\DPF重叠部分的血积是Z^DP的血积的丄？ 4 D O B 备用图 解：(1) y=50- x (0≤x ≤160，且 x 是 10 的整数倍)。 2 2(3) W= - x +34x +8000= - (x -170) +10890， ∴当 x=160 时，W 最大=10880，当 x=160 时，y=50- x=34。答：一天订住 34 个房间时， （ （ 函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1. 求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项 式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。 一般式化为定点式） 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起 来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求出 x 的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出 x 的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后 x 的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在 注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 1. (本题满分 10 分) 某宾馆有 50 个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天 180 元时， 房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲。宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出 20 元的各种费用。根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340 元。设每个房间的房价每天增加 x 元(x 为 10 的正整数倍)。 (1) 设一天订住的房间数为 y ，直接写出 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围； (2) 设宾馆一天的利润为 w 元，求 w 与 x 的函数关系式； (3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？ 1 10 1 1 (2) W=(50- x)(180+x -20)= - x 2 +34x +8000； 10 10 1 1 10 10 当 x<170 时，W 随 x 增大而增大，但 0≤x ≤160， 1 10 宾馆每天利润最大，最大利润是 10880 元。 2． 本题满分 10 分）某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件； 如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件 商品的售价上涨 x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为 y 元． （1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接 写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？ 中考压轴题之——二次函数与根与系数关系 （黄冈市 2011）24．（14 分）如图所示，过点 F （0，1）的直线 y =kx ＋b 与抛物线 y = 1 x 2 4 交于 M （x 1，y 1）和 N （x 2，y 2）两点（其中 x 1＜0，x 2＜0）． ⑴求 b 的值． ⑵求 x 1?x 2 的值 ⑶分别过 M 、N 作直线 l ：y =－1 的垂线，垂足分别是 M 1、N 1，判断△M 1FN 1 的形状，并证明你的结论． ⑷对于过点 F 的任意直线 MN ，是否存在一条定直线 m ，使 m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由． 第 22 题图 （株洲市 2011 年）24．（本题满分 10 分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学 们一起研究某条抛物线 y = ax 2 (a < 0) 的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于 A 、 B 两点，请解答以下问题： （1） 若测得OA = OB = 2 （如图 1） ，求 a 的值； （2） 对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图 2 所示位置时，过 B 作 BF ⊥ x 轴于点 F ，测得OF = 1，写出此时点 B 的坐标，并求点 A 的横坐标； （3） 对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点 A 、 B 的连 线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 图 1 2 y F N M x l M 1 F 1 N 1 O 图 2 1、如图，已知抛物线 y=-x2+3x+6 交 y 轴于 A 点，点 C(4，k)在抛物线上，将抛物线向右平移 n 个单位长度后与直线 AC 交于心对称，求 n 的值。 3、如图，已知抛物线 y=x2-4x+3，过点 D(0， 的直线与抛物线交于点 M 、N ， - ) 2 与 x 轴交于点 E ，且点 M 、N 与 X 轴交于 E 点，且 M 、N 关于点 E 对称， 求直线 MN 的解析式。 * 例 7 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y =－ 2 x 2 + b x + c 经过 A （0，－4）、 3 B （ x 1 ，0）、 C （ x 2 ，0）三点，且 x 2 - x 1 =5． （1） 求b 、c 的值； （2） 在抛物线上求一点 D ，使得四边形 BDCE 是以 BC 为对角线的菱形； （3） 在抛物线上是否存在一点 P ，使得四边形 B P O H 是以 OB 为对角线的菱形？若存在，求 学 科 中考数学 课题名称 二次函数综合应用 教学目标 二次函数属于中考压轴题，知识点不仅多，考点灵活多变，而且难度较高，这就要求学生在复习二次函数时，须得把相关性质及相关解题技巧掌握扎实，理解透彻。本专题通过梳理二次函数的知识点(拓展知识点)，并结合近几年上海市中考数学最后2道题二次函数的考点，把握中考二次函数命题方向，提高学生利用二次函数和结合相似等综合知识点解决问题的能力。 教学重难点 重点：二次函数解析式的确定，二次函数与x 轴交点问题，二次函数最值问题，二次函数图像上点的 存在问题，二次函数与相似等其它知识点的结合。 难点：二次函数与相似等其它知识点的结合。 知识精解 二次函数性质及相关扩展 1、一般式：y=ax 2+bx+c(a≠0), 函数图像是抛物线； 2、开口方向：（1）a>0, 开口向上， （2）a<0, 开口向下; 3、顶点坐标：（-b/2a, (4ac-b 2)/4a ）, 对称轴：x= -b/2a 4、 顶点式：y=a(x+h)2+k(a≠0) h= -b/2a, k=(4ac-b 2)/4a 5、平移问题： ①将一般式化为顶点式； ②遵循原则：“左+ 右-，上+ 下-”（左右是指沿x 轴平移，上下是指沿y 轴平移） 例：将y=x 2+4x+3先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是多少？ 6、交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a≠0) ①一元二次方程根与系数的关系：x 1+x 2= -b/a, x 1.x 2=c/a ②求根公式：x ＝2 42b b ac a -±-，其中△＝b 2－4ac 叫做根的判别式。 当△＞0时，抛物线与x 轴有两个交点； 当△＝0时，抛物线与x 轴有一个交点； 当△＜0时，抛物线与x 轴没有交点。 ③运用抛物线的对称性： 若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y ， 则对称轴方程可以表示为：12 2 x x x += 7、增减性： ①a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大。 ②a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大； 二次函数综合题常见题型 一、线段最值 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值； （3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标． 7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2、如图，二次函数的图象经过点D(0，3 9 得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3、如图，已知直线 1 1 2 y x =+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2 1 2 y x bx c =++与直 线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。 ⑴求该抛物线的解析式； ⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。 ⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|| AM MC -的值最大，求出点M的坐标。 4、如图，已知ABC =,点A、C在x轴上，点B坐标 ∠=?，AC BC ACB ?为直角三角形，90 为（3，m）（0 m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ Array并延长交AC于点F，试证明：() FC AC EC +为定值． 二次函数单元测评 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 二、4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第 ___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么 AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx 的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3， y3)是直线上的点，且-1 二次函数综合运用题型 二次函数的综合 一、知识整合 解二次函数综合题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意；探究解题思路；正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。 解二次函数综合题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 二、典型例题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线52 -+=bx ax y 交y 轴于点A ，交x 轴于点B(－5,0)和点C(1,0)，过点A 作AD ∥x 轴交抛物线于点D ． (1)求此抛物线的表达式； (2)点E 是抛物线上一点，且点E 关于x 轴的对称点在直线AD 上，求△EAD 的面积； (3)若点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，△ABP 的面积最大，求出此时点P 的坐标和△ABP 的最大面积． 例2.如图，抛物线顶点P(1,4)，与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于点 A，B． (1) 求抛物线的解析式． (2) Q 是抛物线上除点P 外一点，△BCQ 与△BCP 的面积相等，求点 Q 的坐标． 变式：如图，抛物线32 -+=bx ax y 过A(1,0)，B(－3，0)，直线AD 交抛物线于点D ，点D 的横坐标为－2，点P(m ，n)是线段AD 上的动点． (1)求直线AD 及抛物线的解析式； (2)过点P 的直线垂直于x 轴，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的长度l 与m 的关系式，m 为何值时，PQ 最长？ (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R ，使得P ，Q ，D ，R 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由． 二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 （2016?益阳第21题） 如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． x y 考点：考查二次函数，三角形的全等、三角形的相似。 解析：（1 ）∵抛物线顶点为A ， 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+， 将原点坐标（0，0）代入表达式，得1 3a =-． ∴抛物线对应的二次函数的表达式为：213y x =-+ ． （2）将0y = 代入213y x =-+ 中，得B 点坐标为：， 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =， 将A 代入表达式y kx = 中，得k = ， ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =． ∵BD ∥AO ，设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+， 将 B 代入y b = +中，得2b =- ， ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-． 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-， 将0x = 代入2y =-中，得C 点的坐标为(0,2)-， 由勾股定理，得：OA =2=OC ，AB =2=CD , OB OD ==． 在△OAB 与△OCD 中，OA OC AB CD OB OD =?? =??=? ， ∴△OAB ≌△OCD ． （3）点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2)，则C D '与x 轴的交点即为点P ，它使得△PCD 的周长最小． 过点D 作DQ ⊥y ，垂足为Q ，则PO ∥DQ ．∴C PO '?∽C DQ '?． ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ，∴PO =， ∴ 点P 的坐标为(． 二次函数与平行四边形的综合题 7 第22课时 二次函数的综合运用 一、考点分析 1、抛物线形问题 2、二次函数与一次函数的综合 3、二次函数与存在性问题 4、二次函数与几何知识的的综合 二、典例解析 例1、（2008白银市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边．．分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． (1) 点A 的坐标是__________，点C 的坐标是__________； (2) 当t = 秒或 秒时，MN = 2 1 AC ； (3) 设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式； (4) 探求(3)中得到的函数S 有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由． 例2、一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从5月1?日起的50天内，它的市场售价y 1与上市时间x 的关系可用图（a ）的一条线段表示；?它的种植成本y 2与上市时间x 的关系可用图（b ）中的抛物线的一部分来表示． （1）求出图（a ）中表示的市场售价y 1与上市时间x 的函数关系式． （2）求出图（b ）中表示的种植成本y 2与上市时间x 的函数关系式． （3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？ （市场售价和种植成本的单位：元/千克，时间单位：天） 例3、(2008年西宁市) 28．如图14，已知半径为1的 1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为1 O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2 y x bx c =-++的图象经过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 三、考点精练 1.（2008年泰安市）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和2 22y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．． 是（ ） 2、学校要建造一个圆形喷水池,在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ．O 恰好在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．且在过OA 的任意平面上的抛物线如图l －2－36所示，建立平面直角坐标系（如图l －2－37），水流喷出的高度y (m)与水面距离x (m)之间的函数关系式是2532 2 y x x =-++，请回 答下列问题： （1）花形柱子OA 的高度； （2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不至于落在池外？ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 图14 2020中考数学压轴训练：二次函数综合题（含答案） 1. 已知抛物线C：y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B(A在B的左侧)两点，与y轴交于点D(0，3)，且顶点为E(1，4). (Ⅰ)求抛物线C的解析式； (Ⅰ)将抛物线C经过某种平移后得到抛物线C′，顶点变为E′(1，k)(k＜4)，设平移后D的对应点为D′，且OD′＝2. Ⅰ求抛物线C′的解析式； Ⅰ点Q在抛物线C′的对称轴上，若AD′＝AQ，求点Q的坐标. 解：(Ⅰ)设抛物线C的解析式为y＝a(x－1)2＋4， 代入D(0，3)，得a＋4＝3，解得a＝－1， Ⅰ抛物线C的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3； (Ⅰ)ⅠⅠE(1，4)，E′(1，k)(k＜4)， Ⅰ抛物线向下平移了(4－k)个单位长度， ⅠD′(0，3－4＋k)，即D′(0, k－1)， ⅠOD′＝2， k－1＝2，解得k＝3或k=－1， Ⅰ|| Ⅰ抛物线C′的解析式为y＝－(x－1)2＋3或y＝－(x－1)2－1， 即y＝－x2＋2x＋2或y＝－x2＋2x－2； ⅠⅠOD′＝2， ⅠD ′(0，2)或D ′(0，－2)． 令y ＝0，则有－x 2＋2x ＋3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3， Ⅰ点A 的坐标为(－1，0)． 设点Q 坐标为(1，m )． ⅠAD ′2＝(0+1)2＋(±2－0)2＝5， AQ 2＝(－1－1)2＋(0－m )2＝m 2＋4， Ⅰm 2＋4＝5，解得m ＝±1. ⅠQ 点坐标为(1，1)或(1，－1)． 2. 已知二次函数y ＝ x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点． (Ⅰ)若A (－2，0)，B (3，0)，求二次函数的解析式； (Ⅰ)若b ＝－(3m －1)，c ＝2m 2－2m (其中m ＞－1)． Ⅰ二次函数与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)(x 1＜x 2)两点，且－1≤12x 1－13x 2≤1，试求m 的取值范 围； Ⅰ当1≤x ≤3时，二次函数的最小值是－1，求m 的值． 解：(Ⅰ)把A (－2，0)，B (3，0)代入y ＝ x 2＋bx ＋c ， 得?????4－2b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得?????b ＝－1c ＝－6 ， Ⅰ二次函数的解析式为y ＝x 2－x －6； (Ⅰ)Ⅰ令y ＝0，则x 2－(3m －1)x ＋2m 2－2m ＝0， 二次函数的综合应用㈠ 一、典例精析 考点一：二次函数与方程 1.已知抛物线与x轴没有交点． (1)求c的取值范围；(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由． 2.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）． ⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 考点二：二次函数与最大问题 3、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点. （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：（其中是原点）； （3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，请 求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 5、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的 周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 考点三：二次函数与等腰三角形、直角三角形 6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90，AC=BC ，OA=1，OC=4，抛物线y=x 2+bx+c 经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ． （1）求b ，c 的值； （2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点（点A 、B 除外），过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下： ①求以点E 、B 、F 、D 为顶点的四边形的面积； ②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由． 8如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值． 【引例】求下列二次函数的最值: =2+2 _3 （1）求函数y x x 的最值. （2）求函数y x ★方法归纳： 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在处取得最大值（或最小值） < < X X X 如果自变量的取 值范围是 ，分两种情况：> 1 2 a 0顶点在自变量的取值范围内 时，以 为例，最大值是 ；最小值是 顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性 一、二次函数实际应用 【例1】某商品的进价为每件 20元，售价为每件 30,每个月可买出180件；如果每件 商品的售价每上涨 1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于 35元，设每件商 x x x y 品的 售价上涨 元（为整数），每个月的销售利润为 的取值范围为 元。 二次函数（三） 二次函数的应用 2+2 _3 x 的最值.（0 x 3） y x x （1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围; （2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少? （3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？售价满足什么条件, 利润不低于1920元? ★解题回顾：总利润=* ;找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价. 先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的，然后根据函数性质 并结合函数图象求最值. 【例2】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定 为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元. (1) 商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？ (2) 设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. (3) 该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着 一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？(其它销售条件不变) 二次函数的性质及应用综合练习题 一、单选题 1.关于x 的方程22370x x +-=的根的情况,正确的是( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3.下列关于二次函数()2 231y x =--的说法，正确的是( ) A.对称轴是直线3x =- B.当3x =时，y 有最小值，是1- C.顶点坐标是(3)1, D.当3x >时，y 随x 的增大而减小 二、解答题 4.解方程： (1)224195 x x ＝ (2)2410x x ＝ 5.为更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，近年来，我县开展农村绿色电站建设。县城某旧发电厂改造成了绿色书吧，并面向社会开放．据统计，第一个月借阅人数达480人次，并且借阅人次逐月增加，到第三个月末累计借阅人数2280人次，若借阅人次的月平均增长率相同． （1）求借阅人次的月平均增长率； （2）因条件限制，书吧每月接纳能力不超过1500人次，在借阅人次的月平均增长率不变的条件下，问书吧能否接纳第四个月的借阅人次，并说明理由． 6.如图,现有长度100米的围栏，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，BC 的长度不大于墙长。 ⑴ 可以围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米?如果不能，请说明理由。 ⑵ 可以围成总面积为640平方米的三个大小相同的矩形羊圈？如果能，求羊圈的边长AB BC ，各为多少米？如果不能，请说明理由。 7.如图，关于x 的二次函数2y x bx c ++＝的图象与x 轴交于点()10A ， 和点B ，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D ． （1）求二次函数的表达式； （2）在y 轴上是否存在一点P ，使PBC △为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M N 、同时停止运动，问点M N 、运动到何处时，MNB △面积最大，试求出最大面积． 8.如图是某公园一喷水池，在水池中央有一垂直于地面的喷水柱，喷水时，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下.若水流喷出的高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的函数关系式为 2(1) 2.25y x =--+. (1)求喷出的水流离地面的最大高度； (2)求喷嘴离地面的高度； (3)若把喷水池改成圆形，则水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流不落在水池外？ 9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(3,0)A 、点(1,0)B -，与y 轴交于点C . ：二次函数综合运用 例题1、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = - 4 1-m x 2+45m x +m 2-3m +2与x 轴的交点分别 为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 （1）求点B 的坐标； （2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）；当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； 例题2、如图（1），抛物线42 y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C . （1）求点A 的坐标； （2)当b =0时（如图（2）），ABE V 与ACE V 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关 b ；若 例题3、如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，3），以点C 为顶点的抛物线 c bx ax y ++=2恰好经过x 轴上A 、B 两点． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了多少个单位? 解： 例题4、已知：二次函数2 2y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数． （1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）； （2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点； （3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围． 二次函数题 选择题： 1、y=(m-2)x m2- m 是关于x 的二次函数，则m=（ ） A -1 B 2 C -1或2 D m 不存在 2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)模型的是（ ） A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系 C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D 圆的周长与半径之间的关系 4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（ ） A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2 C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2 5、抛物线y= 2 1 x 2 -6x+24的顶点坐标是（ ） A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D 6、已知函数y=ax 2 +bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ①abc 〈０ ②a ＋c 〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c 〈３b A １ B ２ C ３ D ４ 7、函数y=ax 2-bx+c （a ≠0）的图象过点（-1，0），则 c b a + =c a b + =b a c + 的值是（ ） A -1 B 1 C 21 D -2 1 8、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ） B 二填空题： 13、无论m 为任何实数，总在抛物线y=x 2＋2mx ＋m 上的点的坐标是————————————。 16、若抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝２，最小值为－２，则关于方程ax 2+bx+c ＝－２的根为————————————。 17、抛物线y=（k+1）x 2+k 2-9开口向下，且经过原点，则k ＝————————— 解答题：（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数y=x 2 +bx+c ，其图象对称轴为直线x=1，且经过点（2，﹣）． （1）求此二次函数的解析式． （2）设该图象与x 轴交于B 、C 两点（B 点在C 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点E ，使△EBC 的面积最大，并求出最大面积． 二次函数的综合运用 类型一、利用二次函数求实际问题中的最大（小）值 1. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元． （1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？ （2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？ 2. 某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设公司获得的总利润为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？（总利润=总销售额-总成本） 3. 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 1 y（元）与销售月份x（月）满 足关系式3 36 8 y x =-+，而其每千克成本 2 y（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所 示． ⑴试确定b、c的值； ⑵求出这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式； ⑶ “五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 类型二、利用二次函数解决抛物线形建筑问题 4. 某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽为4m，顶部距离地面的高度为4.4m，现有一辆满载货物的汽车欲通大门，其装货宽度为2.4m，高度为8.2m，试判断该车能否顺利通过此门。 y2 圆与二次函数综合题 1、已知：二次函数y=x2-kx+k+4的图象与y轴交于点c，且与x轴的正半轴交于A、B两点（点A 在点B左侧）。若A、B两点的横坐标为整数。 （1）确定这个二次函数的解析式并求它的顶点坐标；（2）若点D的坐标是(0,6），点P（t,0)是线段AB上的一个动点，它可与点A重合，但不与点B重合。设四边形PBCD的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）若点P与点A重合，得到四边形ABCD，以四边形ABCD的一边为边，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积，并注明三角形高线的长。再利用“等底等高的三角形面积相等”的知识，画一个三角形，使它的面积等于四边形ABCD的面积（画示意图，不写计算和证明过程）。 2、（1）已知：关于x、y的方程组有两个实数解，求m的取值范围； (2）在（1）的条件下，若抛物线y=-(m-1)x2+(m-5)x+6与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y=(m+1)x-2的解析式； （3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法。 3、已知：二次函数y=x2-2(m-1)x+m2-2m-3，其中m为实数。 （1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图像与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的 图像与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0),且x1、x2的倒数和为,求这个二次函数的解析式。 4、已知二次函数y1=x2-2x-3. (1)结合函数y1的图像，确定当x取什么值时，y1>0,y1=0,y1<0; (2)根据（1）的结论，确定函数y2= (|y1|-y1)关于x的解析式； （3）若一次函数y=kx+b(k 0)的图像与函数y2的图像交于三个不同的点，试确定实数k与b应满足的条件。 5、已知：如图，直线y= x+ 与x轴、y轴分别交于A、B两点，⊙M经过原点O及A、 B两点。 （1）求以OA、OB两线段长为根的一元二次方程； （2）C是⊙M上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD=∠CBO, 写出经过O、C、A三点的二次函数的解析式； （3）若延长BC到E，使DE=2,连结EA，试判断直线EA与 ⊙M的位置关系，并说明理由。（河南省） 6、如图，已知点A（tan ,0）B(tan ,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左 边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角。 （1）若二次函数y=-x2- 5/2kx+(2+2k-k2)的图像经过A、B两点，求它的解析式； （2）点C在（1）中求出的二次函数的图像上吗？请说明理由。（陕西省） 7、已知抛物线y=x2和直线y=(m2-1)x+m2. 二次函数应用（能力提高） 一、选择题： 1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ C ） （A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-14 2.已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过( B ) （A）一、二、三象限（B）一、二、四象限（C）一、三、四象限（D）一、二、三、四象限 3.当a>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=ax2+bx+c的是（ A ） （C）（D）第7题 4.抛物线y=ax2+bx+c的图象如图，OA=OC，则（ A ） （A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是 5.若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是 ( C ) (A)0 二次函数的综合应用 类型一 由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 1．二次函数y ＝－x 2＋ax －b 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是（ ） 类型二 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值 1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A ．a ＞0 B ．c ＜0 C ．3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根 D ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小 2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC ，则下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a .其中 正确结论的序号是____________. 类型三 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值． 类型四 限定自变量的取值范围求最值 1．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（ ） A ．4和－3 B ．－3和－4 C ．5和－4 D ．－1和－4 2．二次函数y ＝－12x 2＋3 2 x ＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是（ ） A ．3.125 B ．4 C ．2 D ．0 3．已知0≤x≤3 2 ，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值 B ．有最小值3 4，有最大值1 C ．有最小值1，有最大值19 4 D ．无最小值，也无最大值 类型五 限定自变量的取值范围求函数值的范围 1．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y 的取值范围是（ ） A ．－1≤y≤5 B ．－5≤y≤5 C ．－3≤y≤5 D ．－2≤y≤1二次函数综合应用题(有答案)
二次函数与根与系数关系综合运用(可编辑修改word版)
初中数学二次函数综合应用
二次函数综合题类型
初三二次函数综合测试题及答案
二次函数综合运用题型
二次函数七大综合专题
二次函数的综合运用
2020中考数学 压轴训练：二次函数综合题(含答案)
二次函数的综合应用
二次函数的综合应用.doc
二次函数的性质及应用综合练习题(附答案)
二次函数综合运用
初中数学二次函数综合题及答案
二次函数的综合运用
-圆与二次函数综合题精练(带答案)
二次函数综合应用---含答案
二次函数综合应用(培优)