数学概念的分类

数学概念的分类、特征及其教学探讨章建跃(2012-01-31 17:13:00)转载▼标签：教育分类：数学教育大视野

数学概念的分类、特征及其教学探讨

宁波大学教师教育学院邵光华人民教育出版社中学数学室章建跃

摘要：概念教学在数学教学中有重要地位．根据来源可将数学概念分为两类，相应地有两类概念教学方法．数学概念有多重特征，揭示这些特征是概念教学的重要任务．概念教学有多种策略，策略的使用能提高教学的有效性，数学教师应增长这方面知识．

关键词：数学概念；概念特征；概念教学

概念教学在数学教学中有关键地位，它一直是数学教学研究的一个主题．当前的课改实践中，存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情境化、生活化、活动化的倾向。所以，应更深入地研究概念教学，以丰富概念教学法的知识并指导实践．

本文在讨论概念分类及其特征的基础上，探讨数学概念有效教学的策略．

一、数学概念及其分类

数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映，是建立数学法则、公式、定理的基础，也是运算、推理、判断和证明的基石，更是数学思维、交流的工具．一般地，数学概念来源于两方面：一是对客观世界中的数量关系和空间形式的直接抽象；二是在已有数学理论上的逻辑建构．相应地，可以把数学概念分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念，这类概念与现实如此贴近，以至人们常常将它们与现实原型“混为一谈”、融为一体，如三角形、四边形、角、平行、相似等都有这种特性；另一类是纯数学抽象物，这类概念是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构造，没有客观实在与之对应，如方程、函数、向量内积等，这类概念对建构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉．

二、数学概念的特征

上世纪八十年代，国外有人提出，数学内容可以分为过程和对象两个侧面．“过程”就是具备可操作性的法则、公式、原理等；“对象”则是数学中定义的结构、关系．数学概念往往兼有这样的二重性，许多概念既表现为过程操作，又表现为对象结构．如“等于”概念，在数与式的运算中具有过程性，它表示由等号前的算式经运算得出等号后的结果的过程指向，在式的恒等变形中蕴涵着“往下继续算”的操作属性；而方程中“等于”的意义则不同，它没有过程指向性，只有结构意义，表示了等号两边代数式的一种关系．Sfard(1991,1994)等人的研究表明，概念的过程和对象有着紧密的依赖关系，概念的形成往往要从过程开始，然后转变为对象的认知，最后共存于认知结构中．在过程阶段，概念表现为一系列固定操作步骤，相对直观，容易模仿；进入对象状态时，概念呈现一种静态结构关系，有利于整体把握，并可转变为被操作的“实体”.

我们认为，关于数学概念特征的上述描述稍嫌抽象。为有利于教师把握，下面对数学概念的特征作更具体的描述。

（1）判定特征概念具有判定特征，也即依据概念的内涵，人们便能判定某一对象是概念的

正例还是反例．

（2）性质特征概念的定义就是对概念所指对象基本性质的概括，因而具有性质特征．

上述两个特征从另一个侧面表现了“概念的二重性”．判定特征有助于厘清概念的外延，性质特征有助于认识概念的内涵．

（3）过程性特征（运算过程或几何操作过程）有些概念具有过程性特征，概念的定义就反映了某种数学过程或规定了操作过程．如“分母有理化”隐含着将分母变形为有理数（式）的操作过程；“平均数”概念隐含着将几个数相加再除以个数的运算操作过程；“n的阶乘”蕴涵着从1连乘到n的运算操作过程；“向量的加法”概念规定了“形”（三角形法则）的操作过程；等。

（4）对象特征（思维的细胞，交流的语言词）概念是一类对象的泛指，如三角形、四边形、复数、向量等概念都是某类对象的名称，泛指一类对象；又如复数的模，就是与复数a+bi （a，b∈R）对应的结构式，规定这个式子就是模．

（5）关系特征有些概念具有关系特性，反映了对象之间的关系．如垂直、平行、相切、异面直线、集合的包含等，都反映了两个对象的相互关系，具有关联性、对称性．这些概念，静态角度看是一种结构关系，变化观点看则是运动过程中的某种特殊状态．特别的，具有主从关系的概念反映了相对于另一概念对象而言的对象，具有相依性、滋生性．如三角形的外接圆、角的平分线、二面角的平面角等，都是在其他概念对象基础上生成的．这些概念反映的都是特殊对象，其特殊性由明确的规定性所限制，这些规定性也是概念内涵的一部分．

（6）形态特征有些概念描述了数学对象的形态，从形态上规定概念的属性特征．如三角形、四边形、三棱锥、四棱台等概念都具形态特征，它们给人留下的多是直观形象，用于判断时多从形态上先识别，根据形态就可大致判断是概念的正例还是反例．一般而言，“形如……的对象叫……”这类概念都具有形态特征．

三、概念的教学

上述数学概念的多重性，为教学指明了方向。总的来说，教师应在分析所教概念特性的基础上，选择适当的素材，设计恰当的问题情景，使学生在经历概念发生发展过程中，认识概念的不同特征；通过概念的运用训练，使学生掌握根据具体问题的需要改变认识角度、反映概念不同特征的方法，进而有效地应用概念解决问题．

1．概念教学的目标

概念教学的基本目标是让学生理解概念，并能运用概念表达思想和解决问题．这里，理解是基础．从认知心理学看，“理解某个东西是指把它纳入一个恰当的图式”，图式就是一组相互联结的概念，图式越丰富，就越能处理相关的变式情景．数学概念理解有三种不同水平：工具性理解（Instrumental Understanding）、关系性理解（Relational Understanding）和形式性理解（Formal understanding）．工具性理解指会用概念判断某一事物是否为概念的具体例证，概念作为甄别的工具而并不清楚与之相关的联系；关系性理解指不仅能用概念作判断，而且

将它纳入到概念系统中，与相关概念建立了联系；形式性理解指在数学概念术语符号和数学思想之间建立起联系，并用逻辑推理构建起概念体系和数学思想体系．理解概念是明确概念间的关系、灵活应用概念的前提，否则会产生判断错误，思维就会陷入困境．例如，如果角的弧度概念不明确，就会导致理解上的困难：sinx是一个实数，x是一个角度，如何比？更不用说求极限了．

概念学习不仅是理解定义描述的语义，也不只是能用以判断某个对象是否为它的一个例，还要认识它的所有性质，这样才能更清楚地掌握这个概念．从概念系统观看，概念的理解是一个系统工程，概念学习的最终结果是形成一个概念系统．学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念逐步构建一个概念网络，网络的结点越多、通道越丰富，概念理解就越深刻．所以，概念的学习需要一个过程，但不是一个单纯的逻辑解析过程，“讲清楚”定义并不足以让学生掌握概念．

概念教学不能只满足于告诉学生“是什么”或“什么是”，还应让学生了解概念的背景和引入它的理由，知道它在建立、发展理论或解决问题中的作用。核心概念的教学尤应如此．所以，概念教学前需要对概念进行学术解构和教学解构．学术解构是指从数学学科理论角度对概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析，包括概念的内涵和外延、概念所反映的思想和方法、概念的历史背景和发展、概念的联系、地位作用和意义等．教学解构是在学术解构的基础上，对概念的教育形态和教学表达进行分析，重点放在概念的发生发展过程的解析上，包括对概念抽象概括过程的“再造”、辨析过程（内涵与外延的变式、正例和反例的举证）和概念的运用（变式应用）等，其中寻找精当的例子来解释概念是一件具有创造性的教学准备工作．

2．概念教学的方式

众所周知，概念的获得有两种基本方式──概念形成与概念同化．同类事物的关键属性由学生从同类事物的大量例证中独立发现，这种方式叫概念形成；用定义的方式直接揭示概念，学生利用已有认知结构中的有关知识理解新概念，这种方式叫概念同化．两种获得方式对应着两类概念及两种教学方式．

（1）概念形成教学方式

新概念是对现实对象或关系直接抽象而成时，常采用概念形成教学方式，即通过创设情境从客观实例引入，抽象共性特征，概括本质特征，形成数学概念。这样可使学生感到数学源于自己周围生活而倍感亲切．如数轴的引入，从秤杆、温度计等实物引入，让学生认识到它们有如下共同要求：度量的起点，度量的单位，明确的增减方向，根据这些现实模型引导学生抽象出数学模型而形成数轴概念．这种方式遵循了由形象到抽象的思维规律．用此方式教概念，可以先用实物、教具或多媒体展示等作为引导性材料，让学生直观感知概念，在充分感知的基础上再作概括．这里要强调引导学生仔细观察、防止出现概念类化错误（不足或过度）的重要性．

（2）概念同化教学方式

新概念是基于数学逻辑建构形成时，常采用概念同化教学方式，即直接揭示概念的定义，借助已有知识进行同化理解．用这种方式教概念，可有不同的引入途径，需要强调的是应让学生理解引入新概念的必要性．这种方式其实是通过逻辑演绎进行概念教学．由于是从抽象定义出发，所以应注意及时用典型实例使概念获得“原型”支持，形成概念的“模式直观”，以弥补没有经历概念形成的“原始”过程而出现的概念加工不充分、理解不深刻的缺陷．

概念教学的基本原则是采用与概念类型、特征及其获得方式相适应的方式，以有效促进概念的理解．由于数学概念大都可通过逻辑建构而产生，因此概念同化是学生获得数学概念的主要方式，尤其是中学阶段，这样能让学生更清楚地认识概念的系统性和层次性，有利于学生从概念的联系中学习概念，在概念系统中体会概念的作用，从而不仅促进学生的概念理解，而且有利于概念的灵活应用．当然，如果学生的认知结构中，作为新概念学习“固着点”的已有知识不充分时，则只能采取概念形成方式．

概念符号化是概念教学的必要步骤，这是因为数学概念大都由规定的数学符号表示，这使数学的表示形式更简明、清晰、准确，更便于交流与心理操作．这里要注意让学生掌握概念符号的意义，并要进行数学符号和其意义的心理转换技能训练，以促进他们对数学符号意义的理解．

3．概念教学的策略

（1）直观化数学概念的掌握要经过一个由生动的直观到抽象的思维、再从抽象的思维到实际的应用的过程，甚至要有几个反复才能实现．借助概念的直观背景，对抽象概念进行直观化表征，可提高概念教学的有效性．数学中的直观是相对的，实物、教具模型、图形或多媒体呈现的图片等属于具体而生动的直观；已经熟知的概念、原理及其例等属于抽象而相对的直观．

（2）通过正例和反例深化概念理解概念的例可加深概念理解，通过“样例”深化概念认识是必须而有效的教学手段．其实，数学思维中，概念和样例常常是相伴相随的．提起某一概念，头脑中的第一反应往往是它的一个“样例”，这表明例在概念学习和保持中的重要性．如提起“函数”，我们头脑中可能立即浮现一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等的具体解析式及其图像．概念的反例提供了最有利于辨别的信息，对概念认识的深化具有非常重要的作用．反例的运用不但可使学生的概念理解更精确、准确，而且可以排除无关特征的干扰．要注意的是，反例应在学生对概念有一定理解后才使用，否则，如果在学生刚接触概念时用反例，将有可能使错误概念先入为主，干扰概念的理解．在揭示概念定义后，为进一步突出概念的本质特征，防止概念误解，可利用概念的正例或反例．如“异面直线”概念，要通过概念的正例和反例让学生认识到：异面直线是怎么也找不到一个平面将它们纳入其中的两条直线，而不是“在两个不同平面上的直线”．

（3）利用对比明晰概念有比较才有鉴别．对同类概念进行对比，可概括共同属性．对具有种属关系的概念作类比，可突出被定义概念的特有属性；对容易混淆的概念作对比，可澄清模糊认识，减少直观理解错误．如“排列”和“组合”，通过对比可以避免混淆；“最值”和

“极值”，通过对比可认识它们的差异，即前者有整体性而后者仅有局部性，“最值”一定能取到，“极值”未必能取到；等．

（4）运用变式完善概念认识通过变式，从不同角度研究概念并给出例，可以全面认识概念．变式是变更对象的非本质属性特征的表现形式，变更观察事物的角度或方法，以突出对象的本质特征，突出那些隐蔽的本质要素。简言之，变式是指事物的肯定例证在无关特征方面的变化．通过变式，可使学生更好地掌握概念的本质和规律．如“等差中项”，除了认识“若a，b，c成等差数列，则称b为a，c的等差中项”这一定义外，还必须认识变式“a －b＝b－c”“2b＝a＋c”；必须建立算法：a与b的等差中项是．由于学生习惯形象思维与记忆，对较抽象的数学概念要尽量引导学生从形的角度进行再认识，以获得概念的直观、形象支撑，如“极值”和“最值”．值得指出，概念变式的运用应服务于概念理解，并要掌握好时机，只有在概念理解的深化阶段运用才能收到理想效果．否则，学生不仅不能理解变式的目的，变式的复杂性反而会干扰学生的概念理解，甚至产生混乱．

（5）对概念精致一定意义上，概念的精致可理解为概念浓缩，即抓住概念的精要所在！概念的精练表达和“组块”占居记忆空间少且易于提取．我们曾就增函数概念调查过5位非数学专业大学毕业生，结果是：一人答“当x1大于x2时，f(x1)大于f(x2)”；一人答“好象是函数值跟着大吧”；另三人答“上凸增函数类的”，并用手比画．所以，学习“增函数”，首先应有直观形象（图像）的引入，然后到语言描述，再到数学符号语言的描述。这些过程结束并理解了什么叫“增函数”后，学生会回到简单而本质的关键词上，对关键词的表征就是概念本质属性的表征，这正是概念精致所要达到的高度．这也表明，在学生的认知结构中，“概念定义”是惰性的，甚至会被遗忘，起作用的是精致后的概念精要．因此，概念教学必须经历概念精致过程，以使学生提炼出代表性特征．

（6）注意概念的多元表征数学概念往往有多种表征方式，如利用现实情境中的实物、模型、图像或图画进行的形象表征，利用口语和书写符号进行的符号表征等．不同的表征将导致不同的思维方式，概念多元表征可以促进学生的多角度理解；在不同的表征系统中建立概念的不同表征形式，并在不同表征系统之间进行转换训练，可以强化学生对概念联系性的认识；建立概念不同表征间的广泛联系，并学会选择、使用与转化各种数学表征，是有效使用概念解决复杂、综合问题的前提。因此，使学生掌握概念的多元表征，并能在各种表征间灵活转化，是数学概念教学的基本策略．

（7）将概念算法化学习概念的目的是应用；反之，应用能促进概念的深刻理解．概念的应用可分为两类，一是用概念作判断，二是把概念当性质用。为了更好地运用概念，需要将概念算法化，即要将陈述性的概念定义转化为程序性的算法化知识．如将“二面角的平面角”算法化：①角的顶点在二面角的棱上，②角的两边分别在二面角的两个面内，③角的两边都与二面角的棱垂直。由此得作一个二面角的平面角的算法：先在二面角的棱上任取一点，再从这点出发，在二面角的两个面内分别作与二面角的棱垂直的射线；判断一个角是否为二面角的平面角的算法：先看顶点是否在棱上，再看角的两边是否分别在二面角的两个面内，最后看角的两边是否都与棱垂直，一项不符合，就被否定．通过上述算法化学习，二面角的平面角概念才能更为好用．没有实现陈述性概念定义的算法化是学生不能应用概念的主要原因之一．

四、核心数学概念及其教学

数学概念的最重要特征是它们都被嵌入在组织良好的概念体系中．数学的逻辑严谨性主要体现在数学概念的系统性上，后继概念大多是前概念基础上的逻辑建构，个别概念的意义总有部分来自与其它概念的相互联系，或出自系统的整体特征．

在一个概念体系中，有些概念处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它有密切的联系，我们称这种概念为核心概念（key concept）或本源概念（root concept）．

核心数学概念的特征，从学科角度看有：（1）在数学内部具有广泛的联系性，（2）对数学发展具有奠基性作用和持续影响；从数学学习角度看：（1）是一个意义丰富的认知根源，在此基础上，通过较简单、方便的认知扩充策略，不必进行认知重构就能得到数学认知结构的基本发展；（2）在发展更复杂的理解时仍具有重要的作用．

从上所述可知，核心数学概念具有一般概念所不具备的基础性、可生长性．因此，核心数学概念的教学，除了遵从一般概念教学要求外，还有其自身的特殊要求．其中，最关键的是要树立“整体观”和“系统观”，要以核心数学概念为“纲”，将相关概念统整为一个网络系统，达成“纲举目张”之效。这就是说，核心数学概念的教学必须实现从工具性理解到关系性理解的过渡。这就要求在核心数学概念的教学中，要重点考虑概念的来源、相关概念及其关系、概念的作用（新知识的诠释、旧知识的翻新）等，并更要突出概念形成的过程性．特别值得注意的是，核心数学概念的形成不是一蹴而就的，常常需要几节课或一个阶段才能完成概念建构，甚至是一个长期、动态的建构过程，函数概念就是最典型的例证．