江苏省海安高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试题 Word版含答案
阶段检测（二）
数学试卷
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分． 1． 命题“0x ?＞，20x x +≥”的否定是（ ）
A ．0x ?＞，20x x +＜
B ．0x ?＞，20x x +≤
C ．00x ?＞，2000x x +＜
D ．00x ?＞，2000x x +≤
2． 在△ABC 中，AC ＝3，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的最大内角的余弦值为（ ）
A ．4348
B ．14-
C ．712-
D ．1124-
3． 若{}n a 是首项为1的等比数列，则“
8
6
9a a ＞”是“23a ＞”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4． 已知函数()11f x x +＝，则()
12
f '-＝（ ）
A ．4
B ．1
C ．－4
D ．14
-
5． 若数列{}n a 的通项公式是()()132n
n a n --＝，则1210a a a ++
+＝（ ）
A ．15
B ．12
C ．－12
D ．－15
6． 已知椭圆22195
y x +＝的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是（ ） A 15 B 3 C ．3 D ．2
7． 已知△ABC 的顶点分别为()1,1,2A -，()5,6,2B -，()1,3,1C -，则AC 边上的高BD 等于（ ）
A ．5
B 41
C ．4
D ．58． 直三棱柱111ABC A B C -中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，BC ＝CA ＝1CC ，
则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）
A ．110
B ．25
C 30
D 2
9． 已知1F 、2F 是双曲线C ：22221y x a b
-＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若直线3y x ＝与双
曲线C 在第一象限交于点P ，过P 向x 轴作垂线，垂足为D ，且D 为2OF （O 为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（ ）
A 2
B 3
C 21
D 31
10．设函数()m f x x ax +＝的导数为()21f x x '+＝，则数列()1f n ??
????
（n *∈N ）的前n 项和是
（ ）
A ．1n n +
B ．21n n ++
C ．1n n -
D ．1n n +
11．下列结论正确的是（ ）
A ．若22a b ＞，则11a b ＜
B ．若x ＞0，则44x x
+≥
C ．若a ＞b ＞0，则lg lg a b ＞
D ．若ab ＞0，a ＋b ＝1，则114a b
+≥
12．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的是（ ）
A ．直线1A
B B ．直线1BB
C ．平面11A DC
D ．平面11A BC
13．若函数()e 1x f x -＝与()g x ax ＝的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为（ ）
A ．2
B ．0
C ．1
D ．－1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上． 14．若0＜x ＜1，则181x x
+-的最小值为 ▲ ．
15．设函数()e ln x f x a b x +＝，且()1e f '＝，()11e
f '-＝，则a ＋b ＝ ▲ ．
16．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝2，则三棱
锥P －ABC 的外接球与内切球的半径比为 ▲ ．
17．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则自上而下的第1节的容积为 ▲ ，这9节竹子的总容积为 ▲ ．
三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分12分）
已知命题p ：“11x ?-≤≤，不等式20x x m --＜成立”是真命题． （1）求实数m 的取值范围；
（2）若q ：－4＜m －a ＜4是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
设函数()1f x ax x b ++＝（a ，b ∈Z ），曲线()y f x ＝在点()()2,2f 处的切线方程为y ＝3．
（1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x ＝上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
20．（本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且231n n S a -＝． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()()
1311n
n n n b a a +++＝，求{}n b 的前n 项和n T ，并比较n T 与1316的大小．
21．（本小题满分14分）
A
B
()C H
()D G
E
F
图1
B
C
D
E
F
H
G
A
图2
图1是由菱形ABCD ，平行四边形ABEF 和矩形EFGH 组成的一个平面图形，其中2AB ＝BE ＝EH ＝1，π3ABC ∠＝，π4ABE ∠＝，将其沿AB ，EF 折起使得CD 与HG 重合，如图2．
（1）证明：图2中的平面BCE ⊥平面ABEF ； （2）求图2中点F 到平面BCE 的距离； （3）求图2中二面角E －AB －C 的余弦值．
22．（本小题满分15分）
已知抛物线C ：22x py ＝（0＜p ＜2）的焦点为F ，()02,M y 是C 上的一点，且52
MF ＝．
（1）求C 的方程；
（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k ?-＝且△OAB 的面积为16，求直线l 的方程．
23．（本小题满分15分）
已知椭圆C ：22214y x a
+＝（a ＞2），直线l ：y ＝kx ＋1（k ≠0）与椭圆C 相交于A ，B 两点，
D 为AB 的中点（O 为坐标原点）．
-，求椭圆C的方程；
（1）若直线l与直线OD的斜率之积为12
（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M，使得当k变化时，总有AMO BMO
＝．若
∠∠
存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
高二数学试卷
一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，两个都选对但不全的得2分，有选错或只选一个或不选的不得分．
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】A
8．【答案】C
9．【答案】D
10．【答案】A
11．【答案】BCD
12．【答案】AD
13．【答案】BCD
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中的横线上．14．【答案】942
+
15．【答案】1
16．【答案】
) 331
2
+
17．【答案】13
22升201
22
升
三、解答题：本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）
【答案】
19．（本小题满分12分） 【答案】 (1)f ′(x )＝a －
1
(x ＋b )2
， 于是???
2a ＋12＋b
＝3，
a －
1
(2＋b )2
＝0.
解得???
??
a ＝1，
b ＝－1，
或???
a ＝9
4，
b ＝－8
3.
因为a ，b ∈Z ，故f (x )＝x ＋
1
x －1
. (2)证明：在曲线上任取一点????x 0，x 0＋1
x 0－1，
由f ′(x 0)＝1－1
(x 0－1)2知，过此点的切线方程为
y －x 20－x 0＋1x 0－1＝
????1－1(x 0－1)2(x －x 0)． 令x ＝1，得y ＝x 0＋1
x 0－1
，
切线与直线x ＝1的交点为? ??
?
?1，x 0＋1x 0－1；
令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，
切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；
直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为12??????
x 0＋1x 0－1－1|2x 0－1－1|＝
12????
2x 0－1|2x 0
－2|＝2.
所以所围成的三角形的面积为定值2.
20．（本小题满分14分） 【答案】
21．（本小题满分14分） 【答案】
（1）由题知，在BEC ?中：2
2
2
BC EC BE =+ 所以BE CE ⊥ ····································· 2分 又在矩形EFGH 中：EF CE ⊥ ······· 3分 且E BE EF =
所以⊥CE 平面ABEF ······················· 4分 又因为?CE 平面BCE
所以平面⊥BEC 平面ABEF ············ 5分
（2）由（1）知：⊥CE 平面ABEF ，所以CE AE ⊥ 因为菱形ABCD 中的3
ABC π
∠=
，所以ABC ?为等边三角形，2AC AB ==
，
所以在Rt AEC ?中：2
2
2
||=||||1,1AE AC CE AE -== ······················································ 6分 所以在AEB ?中，2
2
2
||=||||,AB AE BE AE BE +⊥ ······························································ 7分 又因为平面⊥BCE 平面ABEF ，且平面 BCE 平面BE ABEF =
所以AE ⊥平面BCE ············································································································· 8分 又因为//AF 平面BCE ，所以点F 到平面BCE 的距离为||1AE =·
································ 9分
（3）以E 为坐标原点，分别以EA EC EB 、、为z y x 、、轴建立空间直角坐标系E xyz - 所以)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,0(A C B E ······································································· 10分 由（1）知平面ABE 的法向量为(0,1,0)m EC ==, ························································ 11分 设平面ABC 的法向量(,,)n x y z =，因为(1,0,1)BA =-，(1,1,0)BC =-
由00
n BA n BC ??=???=??，得???=+-=+-00y x z x ，取1x =得，(1,1,1)n = ············································· 12分
所以||3cos 3||||
m n m n θ?==，即二面角C AB E --的余弦值为3 14分
22．（本小题满分15分）
【答案】
（1）将M （2，y 0）代入x 2＝2py 得y 0＝， 又|MF |＝y 0﹣（﹣）＝+＝，∴p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝2y ，-------5分
（2）直l 的斜率显然存在，设直线l ：y ＝kx +b ，A （x 1，y 1）、B （x 2，
）
由得：x 2﹣2kx ﹣2b ＝0
∴x 1+x 2＝2k ，x 1x 2＝﹣2b 由，k OA k OB ＝
?
＝
＝﹣＝﹣2，∴b ＝4
∴直线方程为：y ＝kx +4，所以直线恒过定点（0，4）， 原点O 到直线l 的距离d ＝
，
∴S OAB＝×d|AB|＝×?＝
＝2＝16，
∴4k2+32＝64，解得k＝±2
所以直线方程为：y＝±2x+4．---------14分
23．（本小题满分15分）
【答案】
（1）由得，显然，
设，，，则，，∴，.
∴.
∴. 所以椭圆方程为.-------6分
（2）假设存在定点，且设，由得.
∴. 即，
∴.
由（1）知，，∴. ∴. 所以存在定点使得.------14分