二次函数与折叠问题

数学专题：二次函数与折叠问题

例题1：（07宁德）已知：矩形纸片ABCD 中，26AB =厘米，18.5BC =厘米，点E 在AD 上，且6AE =厘米，点P 是AB 边上一动点．按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图1所示）； 步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接QE （如图2所示）

（1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ _________QE （填“>”、“=”、“<”号）；

（2）如图3所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：

①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点11Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ②当6PA =厘米时，PT 与MN 交于点22Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ③当12PA =厘米时，在图3中画出MN PT ，（不要求写画法），并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；

（3）点P 在运动过程，PT 与MN 形成一系列的交点123Q Q Q ，，，…观察、猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式．

C B

图1

图3

C E 图2

例题2（06广西钦州卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 为原点，E 为

AB 上一点，把CBE △沿CE 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点D 处，点A D ，的坐标分别为(50)，和(30)，．

（1）求点C 的坐标；

（2）求DE 所在直线的解析式；

（3）设过点C

的抛物线2

2(0)y x c b =+<与直线BC 的另一个交点为M ，问在该抛物线上是否存在点G ，使得CMG △为等边三角形．若存在，求出点G 的坐标；若不存

在，请说明理由．

例题3：（2009浙江湖州）已知抛物线2

2y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M .直线1

2

y x a =

-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N . (1)填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； (2)如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；

(3)在抛物线2

2y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由.

第（2）题

备用图

例题4：（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2

的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于

C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /

C ， 那么是否存在点P ，使四边形POP /

C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.