出租车数学建模问题

五、模型建立与求解

5.1问题一模型的建立和求解

5.1.1问题的分析

随着社会的进步和时代的发展，人们对出行的要求也变得越来越高。由于出租车行业对社会的服务逐步体现为供少于求，一种新兴的打车方式正在逐步成为主流。多家公司使用网络工作平台实现了出租车司机和乘客在网络上的沟通，并且对出租车提供了多种补贴方案。现在需要得到不同时间在不同城市的出租车与乘客之间的供求匹配程度。供求匹配程度的关键是供和求，供体现为出租车对乘客的服务普及度主要体现为成功登车率，乘客等待时间，里程利用率和万人拥有量，求体现为乘客对出租车的需求量。从供与求之间选择合适的指标作为对供求匹配程度的做出综合评价。对于空间的选择，由于现在数据采集只能收集一些城市的有关数据，所以我们可以采用将各种拥有出租车服务的地区划分具有方位代表性的一级城市（反映中国一级城市在互联网平台打车方案下的出租车供求匹配程度）。从这些城市中选择代表该区域平均水平的城市，作为需要的评价的空间。对于时间的选择，由于需求量对应不同时间段的变化较明显，我们选择具有代表性的时间段对于需求量的不同时间段可以划分为工作日高峰期和低峰期和节假日。针对这些具有代表性的不同时间和不同地点的乘客在等车时间上的消耗，出租车的里程利用率，车辆的万人拥有量和乘客成功登车率根据综合评价函数对供求匹配程度做出综合评价。综合评价的方式采用灰色关联分析法和自己构造的综合评价函数。

5.1.2模型的准备

（1）指标的标准化：

（1）成本型指标的标准化：采用如下规则标准化：

1i i M x x M m

-=

-1,2,,i n =L 其中{}{}min ,max i i m x M x ==，1i x 为i x 的标准化指标。

（2）效益型指标的标准化：对于乘客的成功登车率和出租车的里程利用率，它们的值越大对供求匹配贡献也越大，所以它们属于效益型指标，并采用如下规则标准化：

1i i x m x M m

-=

-1,2,,i n =L 其中{}{}min ,max i i m x M x ==，1i x 为i x 的标准化指标。

（3）中间型指标的标准化：每万人对应的车辆如果过少则乘客需求会大于出租车的供给，过多则供给会大于需求，所以每万人对应的车辆拥有量会对

应一个最佳平衡点，使用供需平衡达到最佳。乘客的等待时间如果过短，那么说明在这个阶段空载的出租车辆较多，乘客较易打到车，情况为供过于求，等待时间过长，则说明此时车辆的满载率较高以至于供小于求，空车数量较少，乘客需等待一段较长的时间才能打到车。所以等待时间有一个最佳值，反应最佳供需平衡点。综上，车辆的万人拥有量和乘客的等待时间均为中间型指标，对于乘客的等待时间，采用如下规则标准化：

1

i i i i x x x x -=1,2,,i n =L 其中{}{}1(),min ,max 2

i i i x M m m x M x =-==，1i x 为i x 的标准化指标。

根据城市的级别不同对应的最佳万人拥有量也不同，对于一、二、三线城市我们用如下的标准化：

其中{}{}1(),min ,max 2

i i i x M m m x M x =-==，1i x 为i x 的标准化指标。

5.1.3模型的建立与求解

我们以乘客在节假日，工作日的上下班高峰期为研究对象根据对有关资料的收集，且以不同城市为样本。对不同时间，不同地区的乘车匹配度做出综合评价，评分越高供求匹配程度越好。

采用灰色关联分析法进行综合评价

1、基于灰色关联分析法的各个时间段对不同城市的评价模型：

模型的假设：所有的指标的重要性是一样的。

（1） 确定评价对象和评价指标：评价对象是北京、武汉、广州、济南和宁

波等5个城市，评价指标有4个：乘客的成功登车率、出租车的万人拥有量、出租车的里程利用率和乘客的等待时间。规定参考数列为

{}00()1,2,3,4x x k k ==，比较数列为 {}()1,2,3,4,1,2,,i i x x k k i n ===L

（2） 权重w 的处理原则是超标倍数越多权重越大，因此,

11111223344212112233443131122334441411223344////////////////////X k w X k X k X k X k X k w X k X k X k X k X k w X k X k X k X k X k w X k X k X k X k =

+++=

+++=

+++=

+++ 其中51

,1,2,3,4i ij j k k i ===∑，这里的ij k 是4个主要指标的标准限值。

1234(,,,)X X X X X =为某个时间在某个城市统计得到的数据。

（3） 计算灰色关联系数：

0000min min ()()max max ()()()()()max max ()()x s s t s t i i s s t

x t x t x t x t k x k x k x t x t ρξρ-+-=-+- 为比较比较数列i x 在参考数列0x 在第k 个指标上的关联系数，其中[]0,1ρ∈为分辨系数。其中，称0min min ()()x s t x t x t -，0max max ()()s s t

x t x t -分别为两级最小差和最大差

（4） 计算灰色加权关联度：1()n

i k i k r w k ξ==∑

k w 为第k 个评价指标对应的权重。

（5） 评价分析，根据灰色加权关联度的大小，对各评价对象进行排序，关

联度越大，评价结果越好。

评价结果如下：

2、基于Borda 计数法的计分评价模型：

（1）综合时间段对不同地区的总体评分

根据以上建立的灰色关联分析法模型对节假日，高峰期和低峰期三个特殊时间段的6个主要城市的打车的供求匹配程度进行评价，考虑要综合这三个特殊时间段的评价效果，并再进行综合评价，采用Borda 计数法，根据不同城市在不同时间段的出租车供求匹配程度的排序进行评分，并计算出3次评分后的总分，总分越大匹配程度越高，则第i 个地区（被评价对象）i S 的Borda 数为：

31()()(1,2,6)

i j i j B s B S i ===∑L ，

其中()j i B S 为在第j 个排序方案中排在第i 个被评价对象后的个数

对城市供求匹配程度的评分和排序：

（2）综合地区对不同时间段的总体评分

综合考虑在不同时段内的不同地区的供求匹配程度，根据不同城市在不同时期的供求匹配程度的排名，采用Borda 计数法，根据不同城市在不同时间段的出租车供求匹配程度的排序进行评分，总分越大匹配程度越高，则第i 个时期（被评价对象）i S 的Borda 数为：

6

1()()(1,23)i j i j B s B S i ===∑，

其中()j i B S 为在第j 个排序方案中排在第i 个被评价对象后的个数

对于时期供求匹配程度的评分和排序：

5.2问题二模型的建立和求解

5.2.1问题的分析

为了增加平台的下单数量，平台公司通过推出补贴政策对乘客和司机进行鼓励，刺激乘客消费和出租车保有量的增加。问题二是对各公司的补贴方案作出合理评价，补贴方案按照补贴对象的不同分为对出租车司机的补贴和对乘客的补贴。需要缓解打车难，我们以成功乘车率，乘客的等待时间和出租车的万人拥有量作为衡量打车难易程度的指标。且以实行补贴方案后的成功乘车率，乘客的等待时间和出租车的万人拥有量的变化量作为评价指标，做出对缓解程度大小的评价。对不同的方案在同一个城市之中对打车难的缓解程度做出评价，由于，方案在不同级别的城市中的对缓解打车难的效果不同，我们分别对这些方案在一线城市和三线城市推出后的效果做出评价。评分最高的方案，作为对打车难问题缓解最有效的方案。补贴方案按照补贴对象的不同分为对出租车司机的补贴和对乘客的补贴。乘车率指标反映了乘客能够打到出租车的概率，该指标能够较全面的反映打车的难易程度，我们认为出租车司机的补贴和对乘客的补贴对乘车率也有影响，采用多元回归的方式得出补贴金额和乘车率之间的关系。考虑到，金额大小对人们在心理因素上有所吸引，我们可以构造对出租车司机的平均补助资金一个对出租车司机的吸引程度的大小的相关函数，以及构造对乘客的平均补助资金对乘客的吸引程度的相关函数。从心理因素方面分析出补贴金额和乘车率之间的关系，与回归分析的结果进行比较。

5.2.2模型的建立和求解

（1）对一级城市与三级城市在不同方案下的打车难易度的缓解程度的评价：

1、指标的选取：

我们选择和打车难易度的相关指标，成功乘车率，乘客的等待时间和出租车的万人拥有量的变化量作为评价指标：

成功乘车率的变化量：

10ααα=-V

0α为方案实行前的成功乘车率，1α为方案实行后的成功乘车率，αV

为成功乘车率的变化量。

乘客等待时间的变化量：

01t t t =-V

0t 为方案实行前的乘客的等待时间，1t 为方案实行后的乘客的等待时间，t V 为等待时间的变化量。

出租车的万人拥有量的变化量：

10n n n =-V

0n 为方案实行前的出租车的万人拥有量，1n 为方案实行后的出租车的万人拥有量，n V 出租车的万人拥有量的变化量。

以上指标均为效益型指标，我们认为即使在供过于求的时刻，这些指标也是越大越好，因为我们只考虑缓解乘客方面的打车难问题。

在问题一的评价模型的基础上，分别对一线城市代表和三线城市代表在方案实行后的缓解程度做出综合评价：

2、结果如下：

（2）补贴金额对缓解打车难程度影响的研究：

乘车率指标反映了乘客能够打到出租车的概率，该指标能够较全面的反映打车的难易程度，我们认为出租车司机的补贴和对乘客的补贴对乘车率也有影响，所以在研究中我们只选择乘车率作为衡量打车难易程度的指标。

1、基于多元分析法的补贴金额和打车难度的关系分析

我们将乘车率作为衡量打车难的指标：

w x

ρ= ρ为乘车率，w 为运营出租车的保有量，x 为运营出租车的需求量。

我们假设1b 与ρV ，2b 和ρV 之间存在相关性，并进行相关性检验，结果如下：

目前需要得到的关系是对司机的补贴和对乘客的补贴对乘车率变化的影响，对于该模型的影响我们不能直接得出，我们通过多元回归的方法得出：

01122b b u ρβββ=+++V

ρV 为乘车率的增加量，1b 为对司机的补助金额，2b 为对乘客的补助金额。

得出理论上的最佳方案和现有最佳方案。

2、基于心理因素影响的补贴金额和打车难度的关系分析

同时，我们可以考虑对乘客的补助对潜在乘客数量（即运营出租车的保有量）的影响，车费越少，越能引起人们打车的消费。以及对司机的补助对现有运营车辆的影响，补助越多，越能吸引人们加入出租车司机的行业中。根据这些心理因素引起的不同补助金额对运营出租车的保有量和需求量影响的关系，我们同样也能得出补贴政策对乘车率的影响，并且利用该模型对多元回归模型的结果进行比较和检验。由心理学的相关知识和模糊数学隶属度的概念，根据人们对一件事物的心理变化遵循规律，定义

1）有意担任司机这个职位人的心理曲线为：

21

1()111()1, 0b b e λμλ-=->

1b 为对司机的补助金额，1 λ为常量（根据历史数据求得）

实行补贴政策后的出租车保有量1w 为

[]1111()w w b μ=+

w 为实行政策前的出租车保有量

2）乘客的心理曲线为：

22

2()222()1, 0b b e λμλ-=->

2b 为对司机的补助金额，2 λ为常量（根据历史数据求得）

实行补贴政策后的出租车需求量1x 为：

[]1221()x x b μ=+

x 为实行政策前的出租车需求量

由此，实行政策后的乘车率1ρ与补贴金额的关系为：

[][]111221()1()w b x b μρμ+=

+

5.2.2模型的分析和检验

5.3问题三模型的建立和求解

5.3.1问题的分析 问题三是为打车软件服务平台设置最佳的补贴方案，对于一个软件服务平台的合理性进行评价的因素为乘车率和平台的盈利。以这两个目标的作为需要优化的目

标函数，对于平台的利益我们需要考虑维护成本，补贴支出和下单收入。建立多目标优化模型：

对于平台收益：

12()S R b b n c =---

R 为下一笔订单的收入，

1b 为对顾客的补助金额，2b 为对出租车司机的补助金额，n 为订单的数量，c 为平台固有维护成本。

对于乘车率：

n x

ρ= x 为为运营出租车的需求量。

订单的数量也会受到对乘客补助影响，和原来价格高低的影响。

模型：

1212

max ().E S S R b b n c n s t x n b x b ρ

ρ=+=---???=???∝?∝?? 对于