几何条件代数化与代数运算几何化
几何条件代数化与代数运算几何化
——突破解析几何难点之两方法
解析几何解题方向：找关系。（1）找12,k k 关系，设直线方程；（2）找12,x x 关系，找解题方向；（3）找所设两变量关系（如找k 与m 关系，找12x x +与12x x 关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。
几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。
所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。
其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。 下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。 1、（第一次周考）
21. 设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，
B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB = .
（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=
15
4
，求椭圆C 的方程. 分析：1、几何条件代数化：2AF FB =
本质特征：,,F A B 且2AF FB =；代数关系：122y y -=或122()c x x c -=-. |AB|=
15
4
代数关系：弦长公式。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。
（21）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0.
（Ⅰ）直线l 的方程为
()y x c -
，其中c =
联立2222),
1
y x c x y a
b ?=-?
?+=??
得22224(3)30a b y cy b ++-=
解得22122222
(2)(2)
,33c a c a y y a b a b
+-==++ 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即
2= 23c e a ==. ……6分
（Ⅱ）因为21AB y =-
15
4=. 由23c a =
得b =
. 所以51544a =，得a=3
，b = 椭圆C 的方程为
22
195
x y +=. ……12分 2、（第二次周考）
21.设1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆22
221(0)y x a b a b
+=>>上的两点，已知向量11(,),x y m b a =
22(,)x y n b a = ，若0m n ?=
且椭圆的离心率2
e =，短轴长为2，O 为坐标原点。
（1）若直线AB 过椭圆的焦点F （0，c ）（c 为半焦距），求直线AB 的斜率k 的值。 （2）试问：AOB ?的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。 分析：1、几何条件代数化：平面向量条件0m n ?= 本质特征：m 与n
垂直；代数关系：
1212
220x x y y b a +=. A O B ?的面积 代数关系：弦长公式和点到直线的距离公式。
2、一般问题特殊化 直线AB 分斜率存在与不存在讨论。
3、代数运算几何化 利用0m n ?=
找,k b 关系，2224,b k =+把二元转化为一元。
解题方向：联立直线和椭圆方程解题。
21.（1）
22,1,c b b e a =∴====
，解得a=2, 所求椭圆的方程为2
214
y x += 知
c =设直线AB
的方程为y kx =+
22
1,4
y kx y x ?=+?
?+=??
消元，得221122(4)10,(,),(,)k x A x y B x y ++-= 则
1212
21
4
x x x x k -+=
=+。 由已知0m n ?=
得
2121212121212222
213
((1))444
413()0,444
x x y y k x x kx kx x x x x b a k k k +=++=+++++=-++==+解得
（2）①当直线AB 斜率不存在时，即1212,,x x y y ==-则联立，得0m n ?=
整理，得
22
11
0,4y x -=又点A 11(,)x y 在椭圆上，故22
1114y x +=
，解得11|||x y ==AOB ?的面积1121111
||||||2||122
S x y y x y =
-=?= ②当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为y=kx+b ,联立，得22
,
1,4
y kx b y x =+??
?+=??整理，得 222
(4)240k x kbx b +++-=，由0m n ?= 得12120,4
y y x x +=
即1212()()04kx b kx b x x +++=，将12122222,44
kb kb
x x x x k k --+==++代入整理，得
2224,b k =+AOB ?
的面积1
||||2
S AB b =
=
=22
||142b b k b ==+
∴三角形的面积为定值1。
2、（第三次周考）
20.已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：2
2
12
y x +=在y 轴正半轴上的焦点， 过F
且斜率为l 与C 交与A 、B 两点，点P 满足=++. (1)证明：点P 在C 上；
(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.
分析：1、几何条件代数化：=++ 本质特征：()OP OA OB =-+
；代
数关系：312312(),()1,2
x x x y y y =-+=-
=-+=-. A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上 本质特征：找圆心，PQ 与AB 垂直平分线交于圆
心，圆心到四点距离相等；代数关系：找斜率与直线上一点。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。
20.(1)(0,1)F ,l 的方程为1y =+,代入2
2
12
y x +=并化简得2410x --=.
设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ,则12,44x x =
=
121212)21,2
x x y y x x +=
+=++=
由题意得312312(),()1,2
x x x y y y =-+=-
=-+=-所以点P 的坐标为(,1)2--.
经验证点P 的坐标(1)-满足方程22
12y x +=,故点P 在椭圆C 上
(2)由P (1)-和题设知，Q ，PQ 的垂直平分线1l 的方程为
2y x =-
. ① 设AB 的中点为M ,则1
)42
M ,AB 的垂直平分线2l 的方程为
124y x =
+. ② 由①、②得1l 、2l 的交点为1(,)88
N -.
||NP ==
,21||||2AB x x =-=
||4
AM =,||MN ==,
||NA ==
,故 ||||NP NA =,又 ||||NP NQ =, ||||NA NB =,所以 |||||||N A N P N B N Q
===, 由此知A 、P 、B 、Q 四点在以N 为圆心,NA 为半径的圆上。
4、（第四次周考）
20.设椭圆)0,(1:22
22>=+b a b
y a x E 过M （2，2），N （6，1）两点，O 为坐标原点.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围；若不存在，说明理由. 分析：1、几何条件代数化：平面向量条件OB OA ⊥ 本质特征：OA 与OB
垂直；代数关系：12120x x y y +=.
2、圆的切线 圆心到切线的距离等于半径，找,k m 关系。 |AB |的取值范围 代数关系：弦长公式和范围问题多样化。
3、一般问题特殊化 分斜率存在与不存在讨论。无斜率任何条件时，直线设成m kx y +=.
4、代数运算几何化 利用12120x x y y +=找,k m 关系，)1(3
8
22k m +=
把二元转化为一元。
解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 20.解：（1）将N M ,的坐标代入椭圆E 的方程得
??????
?=+=+116124
222
2b a
b a 解得.4,82
2
==b a 所以椭圆E 的方程为.14
82
2=+y x （2）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为 222R y x =+，其中.20< 设该圆的任意一条切线AB 和椭圆E 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点， 当直线AB 的斜率存在时，令直线AB 的方程为m kx y +=，① 将其代入椭圆E 的方程并整理得.0824)12(2 2 2 =-+++m kmx x k 由韦达定理得 .1 28 2,1242 221221+-=+-=+k m x x k km x x ② 因为 ⊥， 所以 .02121=+y y x x ③ 将①代入③并整理得0)()1(2 21212=++++m x x km x x k 联立②得)1(3 8 22 k m += ④ 因为直线AB 和圆相切，因此2 1||k m R += ,由④得,3 6 2= R 所以 存在圆3 8 2 2 = +y x 满足题意 . 当切线AB 的斜率不存在时，易得,382 221==x x 由椭圆方程得3 82221==y y 显然⊥， 综上所述，存在圆3 8 2 2 = +y x 满足题意. 解法一： 当切线AB 的斜率存在时，由①②④得 221221)()(||y y x x AB -+-= 2212)(1x x k -+=2122124)(1x x x x k -++= 12824)124(122222 +-?-+-+=k m k km k 121 3211 21242 22 2++?-++=k k k k 令1 2122++=k k t ，则121≤ +--=-=t t t AB 所以 ，12||3322≤≤AB 即32||3 6 4≤≤AB . 当切线AB 的斜率不存在时，易得364||= AB ，所以≤≤||36 4AB .32 综上所述，存在圆心在原点的圆382 2=+y x 满足题意，且 32||3 6 4≤≤AB . 5、（第五次周考） 20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2 ，且椭圆上任意一点到右焦点F 的距离 1. （1）求椭圆的方程； （2）已知点(,0)C m 是线段OF 上异于,O F 的一个定点（O 为坐标原点），是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于,A B 两点，使得AC BC =，请说明理由。 分析：1、几何条件代数化：AC BC = 本质特征：点C 在线段AB 的垂直平分线上；代数关系：找线段AB 的中点与中垂线的斜率. 2、代数运算几何化 利用点(,0)C m 在x 轴上，令0,y =下面就是个范围问题！点C 在线段OF 上异于,O F 或不在，由m 的范围。范围问题多样化。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 6、（第六次周考） 20、如图，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，且0=?BC AC ，AC BC 2=， （1）求椭圆的方程； （2）如果椭圆上两点P 、Q 使PCQ ∠的平分线垂直AO ，则是否存在实数λ使AB PQ λ=？请说明理由。 分析：1、几何条件代数化：0=?BC AC 本质特征：AC BC ⊥；代数关系：找线段AB 的中点与中垂线的斜率. AC BC 2=,则OC AC = 本质特征：ACO 是等腰直角三角形；代数关系：由此知 点C 的坐标，从而求方程； PCQ ∠的平分线垂直AO 本质特征：倾斜角互为相反数；代数关系：设一直线斜率为k ， 另一个为k -； AB PQ λ= 本质特征：PQ AB ；代数关系：斜率相等。即证1 3 PQ AB k k ==，关键在 于求出P,Q 点的坐标 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 20 解（1）以O 为原点，OA 所在的直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系 则A （2，0），设所求椭圆的方程为：224b y x 2 + =1(0 由椭圆的对称性知|OC |=|OB |,由AC ·BC =0得AC ⊥BC ， ∵|BC |=2|AC |，∴|OC |=|AC |， ∴△AOC 是等腰直角三角形，∴C 的坐标为（1，1）， ∵C 点在椭圆上 ∴22141b +=1,∴b 2=3 4,所求的椭圆方程为43422y x +=1 (5) 分 （2）由于∠PCQ 的平分线垂直OA （即垂直于x 轴），不妨设直线PC 的斜率为k ，则直 线QC 的斜率为-k ，直线PC 的方程为：y =k (x -1)+1,直线QC 的方程为y =-k (x -1)+1, 由???=-++-=0431)1(2 2y x x k y 得：(1+3k 2)x 2-6k (k -1)x +3k 2-6k -1=0（*） ……………8分 ∵点C （1，1）在椭圆上，∴x =1是方程（*）的一个根，则其另一根为2 2311 63k k k +--,设P （x P ,y P ）, Q (x Q ,y Q ),x P =2231163k k k +--, 同理x Q =2 2311 63k k k +-+, x y k PQ =31311 63311632)311 6331163(2)(2 2 222222=+-+- +---+-+++--?=--+=--k k k k k k k k k k k k k k x x k x x k x x y y Q P Q P Q P Q P ………10分 而由对称性知B (-1,-1),又A （2，0） ∴k AB =3 1 ∴k PQ =k AB ，∴AB 与共线，且AB ≠0,即存在实数λ，使=λAB . ……12分 7、（第七次周考） 20.已知直线l 与抛物线24x y =相切于点(2,1)P 且与x 轴交于点,A O 为坐标原点。定 点(2,0)B ，动点Q 满足0AB BQ ?+= . （1）求动点Q 的轨迹C 的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与动点Q 的轨迹C 有两个不同交点 ,M N ，就一定有0OM ON ?= ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由。 分析：1、几何条件代数化：0OM ON ?= 本质特征：OM 与ON 垂直；代数关系： 12120x x y y +=. 圆的切线 圆心到切线的距离等于半径，找,k m 关系。 2、代数运算几何化 利用12120x x y y +=找,k m 关系， )1(3 8 22k m +=把二元转化为一元。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。同第四次周考题。 8、（第八次周考） 20.已知椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为13，且椭圆上的点到焦点的最近距离为2， 若椭圆C 与x 轴交,A B 两点，M 是椭圆C 上异于,A B 的任意一点，直线MA 交直线 :9l x =于G 点，直线MB 交直线l 于H 点。 （1）求椭圆C 的方程； （2）试探求以GH 为直径的圆是否恒经过x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若 不经过，请说明理由。 分析：1、几何条件代数化：0OM ON ?= 本质特征：OM 与ON 垂直；代数关系： 12120x x y y +=. 圆的切线 圆心到切线的距离等于半径，找,k m 关系。 2、代数运算几何化 利用12120x x y y +=找,k m 关系， )1(3 8 22k m +=把二元转化为一元。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。同第四次周考题。 9（第九次周考） 20.如图，设抛物线2 :C y x =的焦点为F ，动点P 在直线 :20l x y --=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ， 且与抛物线C 分别相切于A ，B 两点． （1）求△APB 的重心G 的轨迹方程． （2）证明∠PF A =∠PFB ． 20.解：（1）设切点A ，B 坐标分别为()200x x ,和()2 11 x x ，()1 0x x ≠， ∴切线AP 的方程为：2 00 20x x y x --=；切线BP 的方程为：21120x x y x --=； 由于P 既在AP 又在BP 上，所以2002112020P P P P x x y x x x y x ?--=??--=?? 解得0101 2p p x x x y x x +?=???=?，0101(,)2x x P x x + 所以APB △的重心G 的坐标为013 p G p x x x x x ++= =， ()2 22 2010101010143 333 p p p G y y y x y x x x x x x x x y ++-+-++= === ， 所以2 34P G G y y x =-+，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为： ()23420x y x --+-=，即()21 423 y x x = -+． （2）方法1：因为20014FA x x ??=- ??? ，，01 01124x x FP x x +??=- ??? ，，21114FB x x ??=- ??? ，． 由于P 点在抛物线外，则0FP ≠ ． 201001001111 4cos x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP +????+--+ ???∴=== ∠， 同理有201101101111 4cos x x x x x x x x FP FB BFP FP FB FP +????+--+ ???=== ∠， AFP PFB ∴=∠∠． A y x F B P O 2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1 【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值． 从综合几何到几何代数化的数学思想方法 从综合几何到几何代数化的数学思想方法 一、几何代数化思想的由来 数学的发展是以数和形两个基本概念作为主干的，数学思想方法的各种变革也是通过这两个概念进行的。在数学的萌芽时期，数和形的研究并不是互相割裂的，长度、面积和体积的量度把数和形紧密地联系起来。可是，在尔后的数学发展中，数和形的联系却长期没能得到进一步的深化。这突出表现在几何和代数的不协调性发展上。 我们知道，几何学作为一门独立的数学学科，最先是在古希腊学者手中形成的，欧几里得《几何原本》的问世就是重要的标志。那时，代数尚处于潜科学阶段，尚未形成严谨的逻辑体系，只是以零散、片断的知识形态存在着。因此，从公元前3世纪到14世纪，几何学在数学中占据着主导地位，而代数则处于从属的地位。由于几何学有着严谨的推理方法和直观的图形，可以把种种空间性质、图形关系问题的探讨，归结成一系列基本概念和基本命题来推演、论证，所以数学家们大都喜欢运用几何思维方式来处理数学问题，甚至把代数看成是与几何不相干的学科。这种人为的割裂，不仅延误了代数的发展，也影响了几何学的进步。 随着数学研究范围的扩大，用几何方法来解决数学问题越来越困难，因为许多问题特别是证明问题往往需要高超的技巧才能奏效，而且推演、论证的步骤又显得相当繁难，缺乏一般性方法。正当几何学难于深入进展时，代数学日趋成熟起来。尤其是在16世纪代数学得到突破性进展，不仅形成了一整套简明的字母符号，而且成功地解决了二次、三次、四次方程的求根问题。这就使代数学在数学中的地位逐渐得到上升，于是综合几何思维占统治地位的局面开始被打破。 历史上最先明确认识到代数力量的是16世纪法国数学家韦达。他尝试用代数方法来解决几何作图问题，并隐约出现了用方程表示曲线的思想。他指出，几何作图中线段的加减乘除可以通过代数的术语表出，所以它们实质上属于代数的运算。随着代数方法向几何学的渗透，代数方法的普遍性优点日益表露出来，于是用代数方法来改造传统的综合几何思维，把代数和几何有机结合起来，互相取长补短，便成为十分必要的了。 实现代数与几何有机结合的关键，在于空间几何结构的数量化，即把形与数统一起来。这一项工作是由法国数学家笛卡儿完成的。笛卡儿继承和发展了韦达等人的先进数学思想，他充分看到代数思想的灵活性和方法的普遍性，为寻求一种能够把代数全面应用到几何中去的新方法思考了二十多年。1619年，他悟出建立新方法的关键，在于借助坐标系建立起平面上的点和数对之间的对应关系，由此可用方程来表示曲线。1637年，他的《几何学》作为《方法论》一书的附录出版，在这个附录中，他明确提出了坐标几何的思想，并用于解决许多几何问题。此书的问世，标志着解析几何的诞生。与笛卡儿同一时代、同一国度的另一位数学家费尔马，也几乎同时独立地发现了解析几何的基本原理。他的思想集中体现在他的《轨迹引论》一书中。 解析几何的出现开创了几何代数化的新时代，它借助坐标实现了空间几何结构的数量化，由此把形与数、几何与代数统一了起来。而坐标本身就是几何代数化的产物，是点与数的统一体，它既是点的位置的数量关系表现，又是数量关系的几何直观，因此它具有形与数的二重性。有了坐标概念，就可以把空间形式的研究转化为数量关系的研究了。 例如，求两点间的距离，如果两点的坐标(x1，y1)和(x2，y2)何学上两点之间的测量问题就转化成代数学上求一个代数式的值的问题。 再如，求两条曲线的交点，这是几何学中比较困难的一个问题，如果两条曲线的方程给定，那么通过解联立方程组就可求出交点的位置，因为方程组的解恰是二条曲线交点的坐标。 代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2 B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B 01-02学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 一（30%）填空题： 1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ； 100 () T αβ= ； 2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???，234056007B ?? ? = ? ??? ，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110 11100110001A ?? ? ? = ? ???的伴随矩阵*A =? ? ? ? ? ?? ? ； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1 ()G E A E -=-+，且1 G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ； 7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ； 8． 设实二次型222 12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭 球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。 二（8%）记1π为由曲线23 z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的 交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点） 。 三（8%）求经过直线22 21x y z x y z +-=??-+-=? 且与x y -平面垂直的平面方程. 四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中， 311101010,321003A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? . 五（12%）设线性方程组 构造几何图形解决代数问题 摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。 关键词 数形结合 解题 以形助数 教学 1.“以形助数”的思想应用 1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。 分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。如下图，由图我们不难得出A B=[0,3] 例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,155308x x x x --=-+-=-?=故。 B=[-2,3] A=[0,4] 评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。 1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 例:（2009山东理）若函数 ()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是 分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数 ()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a > 一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y 代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1) (2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx, 几何条件代数化与代数运算几何化 几何条件代数化与代数运算几何化 ——突破解析几何难点之两 方法 解析几何解题方向：找关系。（1）找1 2 ,k k 关 系，设直线方程；（2）找1 2 ,x x 关系，找解题方向； （3）找所设两变量关系（如找k 与m 关系，找1 2 x x 与12 x x 关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。 几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。 所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。 其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。 下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。 1、（第一次周考） 21. 设椭圆C ： 22 22 1(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点 F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =. （1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程. 分析：1、几何条件代数化：2AF FB = 本质特 征：,,F A B 且2AF FB =；代数关系： 1 2 2y y -=或1 22() c x x c -=-. |AB|=15 4 代数关系：弦长公式。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 （21）解：设1 1 2 2 (,),(,)A x y B x y ，由题意知1 y ＜0，2 y ＞ 0. （Ⅰ）直线l 的方程为 3() y x c =-，其中22 c a b = -联立22 223(), 1 y x c x y a b ?=-??+=??得2 2224(3)2330 a b y b cy b ++-= 解得22122222 3(2)3(2),33b c a b c a y y a b a b +-== ++ 因为2AF FB =，所 以1 2 2y y -=. 即 222222 3(2)3(2) 233b c a b c a a b a b +-=? ++得离心率 2 3 c e a = =. ……6分 （Ⅱ）因为 21 1 13 AB y y =+-，所以 2224315343ab a b = +. 由 解析几何中的几何条件代数化 综合分析：解析几何是用代数的方法研究几何问题，通过曲线的几何性质帮助解析几何是其解题策略之一，几何性质帮助解题，一是直接参与思维推理过程，二是指以形引导代数推理的方向、方法。 【课前小练】 1.设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3- ，那么PF =_______________. 2.过抛物线y 2=4x 的焦点F 作弦AB ，若BF AF 2=，则弦AB 所在直线的方程是____________. 3.抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线13 322=-y x 相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=_______________. 4.椭圆T ：122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)的左．右焦点分别为21,F F ，焦距为2c ，若直线)(3c x y +=与椭圆T 的一个交点M 满足，则该椭圆的离心率等于__________ 5.如图F 1、F 2是椭圆C1：x 24 +y 2=1与双曲线C2的公共焦点A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是_________________, 6.已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为_________ 【典型例题】 例1.已知,,A B C 是椭圆2 2:14 x W y +=上的三个点，O 是坐标原点. （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 例2.椭圆1:22 22=+b y a x C 的离心率为2 3，长轴端点与短轴端点间的距离为5． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过点D （0，4）的直线l 与椭圆C 交于两点E ，F ， ①设)4 1,0(-B ，若BF BE =,求直线l 的斜率。 变式1.A 是椭圆的右顶点，且EAF ∠的角平分线是x 轴，求直线l 的斜率。 代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 阅读理解问题——几何问题代数化 1.观察下图： 第1题图 我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x＋y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x＋4y，遵循以上规律，解答下列问题： （1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为; （2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2． ①求x和y的值； ②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形. 解：（1）25x＋16y，（n＋1）2x＋n2y； 【解法提示】∵第1个图形中“正方形多项式”为4x＋y， 第2个图形中“正方形多项式”为9x＋4y， 第3个图形中“正方形多项式”为16x＋9y， ∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x＋16y， 第n （n 为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n ＋1）2x ＋n 2y . （2）①依题意,得45 25162 x y x y +=??+=?， 解得 2 3x y =?? =-? ， ②Q ＝（n ＋1）2x ＋n 2y ＝?n 2＋4n ＋2＝?（n ?2）2＋6， 当n ＝2时，Q 最大值为6， ∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6． 2.如图，正方形ABCD 内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD 的 顶点A 、B 、C 、D 把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 第2题图 （1）填写如表： （2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD 内部有多少个点？ （3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？若能，此时正方形ABCD 内部有多少个点？若不能，请说明理由． 解：（1）如下表： 正方形ABCD 内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成三角形的个数 4 6 ____ ____ … ____ 代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0 2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________. 线性代数(B)教学大纲 （课程编号学分：2；上课32；习题课0，实验0；课外上机：0） 东南大学数学系 一．课程的性质与目的 本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是工科非电类专业学生本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。 二．课程内容的教学要求 1．行列式 （1）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； （2）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； （3）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式； （4）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理； （5）掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算； （6）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。 2．矩阵 （1）理解矩阵的概念； （2）理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； （3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； （4）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质； （5）了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵； （6）了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。 3．矩阵的初等变换与Gauss消元法 （1）理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系； （2）理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念； （3）了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系； （4）了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解； （5）理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系； 1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b 代数儿何综合题一、基础题 （大兴，2010期末，18） 18.已知：如图，在山8C中，ZC = 90°,P为43上一点，且 点p不与点刀重合，过点户作PE1AB交刀C边于点点厅不与点。 重合，若力3 = 10,4。= 8,设，户的长为x,四边形PEC3周长为*. （1）求证：/^APE s MCB ； （2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象 （丰台，2010期末，21） 22.（本小题满分6分） 已知：如图，渔船原本应该从A点向正南方向行驶回到港口P,但由于受到海风的影响，渔船向西南方向驶去，行驶了240千米后到达B点，此时发现港口P在渔船的南 偏东60°的方向上，问渔船现在距港口P多远？（结果精确到0.1千米）（参考数据: V2M.41, V3M.73,际"24, ^6^2.45) （丰台，2010期末，25） 25.（本小题满分7分） RtAABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，ZC=90°, AB=6, AC=3,点A在x轴上由原点。开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至与点。重合时，运动结束.在上述运动过程中，OG始终是一个以 AB为直径的圆. （1）试判断在运动过程中，原点。与OG的位置关系，并说明理由； （2）设点C坐标为（x,y）,试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长. 二、提高题 （吕平，2010期末，25） 25. （7分）已知，抛物线y^ax1轴的两个交点分别 为A（1,0）, B（4, 0）,与y轴的交点为C. （1）求出抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P,M为顶点的三角形与AOCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （朝阳，2010期末，24） 24.（本小题7 分）如图，在z^ABC 中,ZA=90°, AB=8, 过M点作MN〃BC交AC于点N.以MN为 直径作。0,并在。0中作内接矩形AMPN.令 AM=x. （1）用含x的代数式表示AIVINP的面积S； （2）当x为何值时，。。与直线BC相切？ （3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的 面积为V，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？/ P \ B ------------------ C （第24题） （朝阳，2010期末，25） 25.（本小题8分） 已知：在/XABC中，ZACB=90°, CD_LAB于点D,点E在AC上，BE交CD于点G, EF1BE交AB于点F. 几何背景入手，代数方法出来 ——由浙江2010年高考理科数学第21题谈解析几何解题策略 奉化高级中学 胡尤 摘要:解析几何题一直以来是高考的重头戏，对考生而言也是个“烫手的山芋”。算不快、算 不对、没有思路等等问题始终困扰着考生，且影响着考分。归根结底，关键之处在于条件的转化与化归，而这其中很重要一点就是几何条件的转化，本文以浙江2010年高考理科数学第21题为载体来谈解析几何解题策略之“几何背景入手，代数方法出来”. 关键词：几何条件、代数方法、优化 案例：（2010浙江，21）已知1>m ，直线,02:2=--m my x l 椭圆21222 ,,1:F F y m x C =+ 分别为椭圆C 的左、右焦点. （1）当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程； （2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点， 21F AF ?，21F BF ?的重心分别为G ，H. 若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. 一、考查知识点 第（1）小题考查椭圆的几何性质。 第（2）小题为取值范围问题，主要考查直线与椭圆、点与圆的位置关系。 知识要求： 1. 能解决点与圆，直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题. 2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 3.能运用数量积表示两个向量的夹角 二、解题分析 1.解题思路探索：（1）引参数（题目已给出——m ）（2）由题目所给几何条件建立关于 m 的不等式（函数法本题不适合） 2.确定解题突破点：（1）如何把已知几何条件“原点O 在以线段GH 为直径的圆内”转化为代数操作性强的不等关系。（2）如何把几何不等关系转化为代数不等式。 解1. （Ⅰ）略 几何条件代数化与代数运算几何化 ——突破解析几何难点之两方法 解析几何解题方向：找关系。（1）找12,k k 关系，设直线方程；（2）找12,x x 关系，找解题方向；（3）找所设两变量关系（如找k 与m 关系，找12x x +与12x x 关系等），进行消元。方法：代数运算几何化。 几何条件代数化：把题目中的几何条件转化为代数关系（一般是坐标关系）。 所谓“代数运算几何化”是指：执行代数运算时，要结合几何条件。毕竟，解析几何研究的是几何问题。常见文字表述是“点在曲线上”，通过代数运算可找到“两变量之间的关系”，达到“消元目标”。这是种“消元意识”。大多数同学解析几何题解不出，缺的就是这种“运算能力和消元意识”。 其它重要意识：几何条件代数化；一般问题特殊化；最值问题多样化；去除思维模式化。 下面以春期周考数学理科解析几何题来说明。 1、（第一次周考） 21. 设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ， B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB = . （1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|= 15 4 ，求椭圆C 的方程. 分析：1、几何条件代数化：2AF FB = 本质特征：,,F A B 且2AF FB =；代数关系：122y y -=或122()c x x c -=-. |AB|= 15 4 代数关系：弦长公式。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 （21）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为 ()y x c - ，其中c = 联立2222), 1 y x c x y a b ?=-? ?+=?? 得22224(3)30a b y cy b ++-= 解得22122222 (2)(2) ,33c a c a y y a b a b +-==++ 因为2AF FB = ，所以122y y -=. 即 2= 23c e a ==. ……6分中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数)
从综合几何到几何代数化的数学思想方法
代数几何综合题含答案
几何与代数历年真题版
构造几何图形解决代数问题
一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)
初三数学代数几何综合题
几何条件代数化与代数运算几何化
解析几何中的几何条件代数化
代数几何综合题(含答案)
中考数学代数几何综合题2
2019年中考数学突破专题之 阅读理解问题——几何问题代数化
代数几何综合题含答案
2019届中考数学总复习：代数几何综合问题
几何与代数教学大纲
九年级数学代数几何综合题解析提高班教师版
代数几何综合题.doc
几何背景入手代数方法出来
几何条件代数化与代数运算几何化