高考复习专题：数形结合法解函数的零点问题

高考复习专题：数形结合法解函数的零点问题

类型一：数形结合法解与一元二次方程有关的相嵌函数的零点问题

1.设函数

lg|2|2

()

12

x x

f x

x

-≠

?

=?

=

?

，若关于x的方程2

[()]()0

f x bf x c

++=恰有3个不同的实数解123

,,

x x x则123

()

f x x x

++的值等于____________.lg4

2.设定义域为R的函数

1

1

|1|

()

11

x

x

f x

x

?

≠

?

-

=?

?=

?

，若关于x的方程2

[()]()0

f x bf x c

++=恰有3个不同的实数解123

,,

x x x，则222

123

x x x

++的值等于_________.5

3.已知函数()

y f x

=是定义域为R的偶函数，当0

x≥时，

2

1

02

4

()

13

()2

24

x

x x

f x

x

?

-≤≤

??

=?

?-->

??

，若关于x的方程2

7

[()]()0,

16

a

f x af x a R

++=∈有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是_____________.

4.已知函数()

y f x

=是定义域为R的偶函数，当0

x≥时，

2

5

02

16

()

1

()12

2

x

x x

f x

x

?

≤≤

??

=?

?+>

??

，若关于x的方程2

[()]()0,,

f x af x b a b R

++=∈有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是______.

5.已知函数1

1

()||||f x x x x x

=+

--，关于x 的方程2[()]|()|0,(,)f x a f x b a b R ++=∈恰有6个不同实根解，则a 的取值范围是_______________.

6．函数|1|,1()1()1,12

x a x f x x -=??

=?+≠??若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同

的实数解,则a 的取值范围是____________．

解析：关于x 的方程2

2()(23)()30f x a f x a -++=的根为3

(),()2

f x a f x ==

，画出3

(),,2

y f x y a y ===的图像，数形结合知选B

7．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程23[()]2()0f x af x b ++=的不同实根个数是_______________.

8．已知,,,a b c d 均为实数，函数32

()(0)32

a b f x x x cx d a =

+++<有两个极值点12,x x ，（12x x <），满足21()f x x =，则方程2[()]()0a f x bf x c ++=的实根个数是________.

类型二：数形结合法解分段函数的零点问题

9．已知函数()f x 满足：①定义域为R ；②x R ?∈，有(2)2()f x f x +=；③当[0,2]x ∈时，()222f x x =--．记()()x f x x ?=([8,8])x ∈-．根据以上信息，可以得到函

数()x ?的零点个数为____________．

10．设函数()f x 的定义域为R ，1()1,10

()3,

01x

x f x x x ?--<

(1)(1)f x f x +=-，

若在区间[1,5]-上函数()()g x f x mx m =--恰有6个不同点，则实数m 的取值范围是____________．

11．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，2()f x x =，当0x >时，

(1)()(1)f x f x f +=+ ，且 若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有5个不同的公共点，

则实数k 的值为 ．

[解析] 因为0x >时，()(1)1f x f x =-+，所以()f x 就是将(1)f x -先向右平移一个单位，然后再向上平移一个单位，所以当[1,2]x ∈时，2()(1)1f x x =-+，当[2,3]x ∈时，

2()(2)2f x x =-+，根据()f x 为奇函数可以得到()f x 如

图所示的草图，当直线y kx =与2()(1)1f x x =-+相切时，2(2)20x k x -++=，

2(2)80,222k k ?=+-==-，所以要使y kx =与函数()y f x =的图象恰有5个不同的

公共点，则222k =-.

12．如果关于x 的方程

24

x

kx x =+有4个不同的实数解，则实数k 的取值范围是（ D ） A ．10,4?

? ???

B ．1,14??

??? C ．()1,+∞ D ．1,4??+∞ ???

13．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]

()12,(1,3]

m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程

3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为 . 15

(

,7) 类型三：数形结合法解复合函数的零点问题

14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=，当(0,1]x ∈时，1

()12||2

f x x =--，则方程5(())4(1)f f x x =

-在区间[1,3]-内的所有不等实根之和为

________.8

15．已知函数21,(0)

()log ,(0)

ax x f x x x +≤?=?

>?，若函数(())1y f f x =+有

4个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】(0,)+∞ 函数(())1y f f x =+的零点，即方程

(())1f f x =-的解个数，

（1）当a =0时， 2

1,0

()log ,0x f x x x ≤?=?>?，如图（1）

当x ＞1时，x =2，(())1f f x =-成立，∴方程(())1f f x =-有1解， 当0＜x ＜1，log 2x ＜0，∴方程(())1f f x =-无解， 图（1）

当x≤0时，()1f x =，(())0f f x =， ∴(())1f f x =-有1解，故a =0不符合题意； （2）当a ＞0时，如图（2）

当x ＞1时，x =2，(())1f f x =-成立，

当0＜x ＜1，log 2x ＜0，∴方程(())1f f x =-有1解，

当

1

a

＜x ≤0时，0＜f （x ）≤1，∴(())1f f x =-有1解， 图（2） 当1

x a

≤-时，()0f x <，∴(())1f f x =-有1解，

故(())1f f x =-有4解； （3）当a ＜0时，如图（3） 当x ＞1时，1

x a

=

，(())1f f x =-成立，∴(())1f f x =-有1解， 当0＜x ≤1时，()0f x ≤，(())1f f x =-，成立，∴(())1f f x =-有1解，

当x ≤0时，()1f x ≥，(())1f f x =-成立∴(())1f f x =-有1解， 图（3）

故(())1f f x =-仅有3解，不符合题意，综上：a ＞0）．

16.