2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a=．
2．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1}，B={x|x＞a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是．
3．（4分）一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于弧度．
4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=．
5．（4分）若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是．6．（4分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是．
7．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），则f （x）在R上的零点个数为．
8．（5分）设f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，则的值为．
9．（5分）设f﹣1（x）为f（x）=4x﹣2+x﹣1，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值为．
10．（5分）已知函数f（x）=，且f（0）为f（x）的最小值，则
实数a的取值范围是．
11．（5分）设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为．
12．（5分）已知下列四个命题：
①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有；
②函数均为奇函数；
③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4﹣x）=f（x），
那么f（2）=f（2018）；
④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1
其中正确命题的序号是．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分
13．（5分）“x＜2”是“x2＜4”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
14．（5分）设函数f（x）=，则（a≠b）的值为
（）
A．a B．b
C．a，b中较小的数D．a，b中较大的数
15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．
C．D．
16．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）
A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数
C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数
三、简答题（第17题12分，第18-19题14分，第20-21题18分）
17．（12分）解关于x的不等式：
18．（14分）设a∈R，函数；
（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；
（2）若对任意的x∈R成立，求a的取值范围
19．（14分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
20．（18分）已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a 的取值范围；
（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=在x∈[1，6]上的最小值．
21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：
①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数
g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．
（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；
（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”
（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．
2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）若关于x的不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞），则实数a=4．
【解答】解：由，
得（x﹣a）（x+1≥0，
故﹣1，4是方程（x﹣a）（x+1）=0的根，
故a=4，
故答案为：4
2．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1}，B={x|x＞a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（﹣∞，1] ．
【解答】解：由|x﹣2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，
∵B={x|x＞a}，且A∩B=A，
∴A?B，即a≤1，
故答案为：（﹣∞，1]．
3．（4分）一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于弧度．
【解答】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．
故答案为：．
4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a=3．
【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），
即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），
∴4=log2（1+1）+a
∴4=1+a，
a=3．
故答案为：3．
5．（4分）若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：若，则满足f（x）＞0，即﹣x﹣2＞0，
变形可得：＞1，
函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，
解可得：x＞1，
即x的取值范围为（1，+∞）；
故答案为：（1，+∞）．
6．（4分）已知f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是．
【解答】解：根据题意，f（x）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，
即a的取值范围为：
故答案为：
7．（5分）定义在R上的偶函数y=f（x），当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），则f （x）在R上的零点个数为0．
【解答】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），
函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．
因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．
故答案为：0．
8．（5分）设f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，则的值为7．
【解答】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，
可得：，
∴b=﹣6a﹣25；c=11a+61；d=﹣6a﹣36，
∴[f（4）+f（0）]
=（256+64a+16b+4c+2d）
=（128+32a+8b+2c+d）
=（128+32a﹣48a﹣200+22a+122﹣6a﹣36）
=×14
=7．
9．（5分）设f﹣1（x）为f（x）=4x﹣2+x﹣1，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f ﹣1（x）的最大值为4．
【解答】解：由f（x）=4x﹣2+x﹣1在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[﹣，2]，
可得y=f﹣1（x）在[﹣，2]上为增函数，
因此y=f（x）+f﹣1（x）在[﹣，2]上为增函数，
∴y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为f（2）+f﹣1（2）=2+2=4．
故答案为：4．
10．（5分）已知函数f（x）=，且f（0）为f（x）的最小值，则
实数a的取值范围是[0，4] ．
【解答】解：若f（0）为f（x）的最小值，
则当x≤0时，函数f（x）=（x﹣a）2为减函数，
则a≥0，
当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），
即4+3a≥a2，
解得：﹣1≤a≤4，
综上所述实数a的取值范围是[0，4]，
故答案为：[0，4]
11．（5分）设a、b∈R，若函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为（0，1）．
【解答】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，
即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，
??，
如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1
∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，﹣2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，﹣4）时
∴f（1）的取值范围为（0，1）
故答案为：（0，1）
12．（5分）已知下列四个命题：
①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有；
②函数均为奇函数；
③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4﹣x）=f（x），
那么f（2）=f（2018）；
④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1
其中正确命题的序号是②③④．
【解答】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，
f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2?2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞﹣x，
即x+＞0，由f（﹣x）+f（x）=log2（x2+1﹣x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（﹣x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；
若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f（x）+f（2﹣x）=0，且满足f（4﹣x）=f（x），则f（4﹣x）=﹣f（2﹣x），即f（2+x）=﹣f（x），可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即f（x）为最小正周期为4的函数，可得f（2018）=f（4×504+2）=f（2），那么f（2）=f（2018），故③正确；
设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．
故答案为：②③④．
二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分
13．（5分）“x＜2”是“x2＜4”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，
故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，
14．（5分）设函数f（x）=，则（a≠b）的值为
（）
A．a B．b
C．a，b中较小的数D．a，b中较大的数
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴当a＞b时，
==b；
当a＜b时，
=a．
∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．
故选：C．
15．（5分）如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A．B．
C．D．
【解答】解：y′==，
令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，
故函数在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，
而x=0时，函数值y=0，
x→﹣∞时，y→﹣∞，x→+∞时，y→0，
16．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f （x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）
A．f（x）为奇函数B．f（x）为偶函数
C．f（x）+1为奇函数D．f（x）+1为偶函数
【解答】解：∵对任意x1，x2∈R有
f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1
∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，
∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，
∴f（x）+1为奇函数．
故选：C．
三、简答题（第17题12分，第18-19题14分，第20-21题18分）17．（12分）解关于x的不等式：
【解答】解：关于x的不等式：，即﹣（a+）log2x+1＜0，即（log2x﹣a）?（log2x﹣）＜0．
当a＞时，即a＞1 或﹣1＜a＜0时，＜log2x＜a，＜x＜2a，原不等式的解
集为{x|＜x＜2a}．
当a=时，即a=±1时，不等式即＜0，显然它无解，即解集为?．当a＜时，即0＜a＜1 或a＜﹣1时，＞log2x＞a，＞x＞2a，原不等式的解集为{x|＞x＞2a}．
18．（14分）设a∈R，函数；
（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；
（2）若对任意的x∈R成立，求a的取值范围
【解答】解：（1）根据题意，函数，其定义域为R，
若f（x）为奇函数，则f（0）==0，解可得a=﹣1；
故a=﹣1；
（2）根据题意，，即＜，
变形可得：＜，即3（a﹣1）＜a（3x+1），（①）
分3种情况讨论：
当a=0时，（①）变形为﹣3＜0，恒成立，
当a＞0时，（①）变形为＜3x+1，
若＜3x+1恒成立，必有≤1，解可得a≤，
此时a的取值范围为（0，]，
当a＜0时，（①）变形为＞3x+1，
不可能恒成立，
综合可得：a的取值范围为．
19．（14分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．再由C（0）=8，得k=40，
因此．
而建造费用为C1（x）=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ），令f'（x）=0，即．
解得x=5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
20．（18分）已知函数f1（x）=e|x﹣2a+1|，f2（x）=e|x﹣a|+1，x∈R．
（1）若a=2，求f（x）=f1（x）+f2（x）在x∈[2，3]上的最小值；
（2）若|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x∈R恒成立，求a 的取值范围；
（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=在x∈[1，6]上的最小值．
【解答】解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e|x﹣3|+e|x﹣2|+1=e3﹣x+e x﹣1（3分）≥2=2e，
当且仅当e3﹣x=e x﹣1，即x=2时等号成立，∴f（x）min=2e．（6分）
（2）|f1（x）﹣f2（x）|=f2（x）﹣f1（x）对于任意的实数x恒成立，
即f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x﹣2a+1|≤e|x﹣a|+1对于任意的实数x恒成立，
∴|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）
又|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|（x﹣2a+1）﹣（x﹣a）|=|﹣a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需
|﹣a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）
（3）g（x）==（13分）
∵f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增
∴比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x﹣2a+1|与|x﹣a|+1的大小关系
令F1（x）=|x﹣2a+1|，F2（x）=|x﹣a|+1，
G（x）=其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）
∵4≤a≤6∴2a﹣1≥a≥1，令2a﹣1﹣x=1，得x=2a﹣2，由题意可以如下图象：
（15分）
当4≤a≤6时，a≤6≤2a﹣2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：
①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数
g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．
（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；
（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函
数”
（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a
的值．
【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，
可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，
0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，
则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，
由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，
则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，
则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；
由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，
则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，
即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，
可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，
可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，
可得a﹣1≥，
由x＞0时，=≤1，
则a﹣1≥1，即a≥2；
又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，
则＞（a﹣1）x，
x=0时，显然成立；
x＞0时，a﹣1＜，
可得a﹣1≤1，即a≤2．
则a=2．