七、线性变换习题课

1．复习线性变换的概念

例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。

证明：R上：有==

又

故A是R上线性空间C的线性变换。

C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。

由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。

2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。

例2设A,B是线性变换，如果证明：

，（k>0）

证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法.

对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知

=AB=(BA+E)A+A-BA2

=BA2+A+A-BA2=2A 结论成立.

设当k时结论成立,即,也即.

当k+1时,

=ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1

=BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k

所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立.

例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换.

证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵.

设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B.

因为,所以由得AB=BA.由的任意性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,ch.4.ex.7.3),于是为数量变换.

有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换.

3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法.

A可逆10存在使=E.

A是双射.

A在基下的矩阵A可逆—有限维

例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关.

证明:证法一:

“”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关.

“”线性无关,

因dimV=n,故使得

=A()

令使=()

易见,且,即

又任给设=

有()==

故,从A可逆.

证法二:利用双射

“” A是双射,则0==A()

得0=(0对应0)

故,线性无关.

“”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射.

证法三:利用矩阵

A可逆A在下的矩阵A可逆

()A也是一组基=n

线性无关

例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆.

证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组基为,则为V的一组基.

“” A可逆,故线性无关,1,2的秩为r,n-r,

和分别为1和2的基,故.

“”,有dimV=dim,=(),故为AV的一组基,即线性无关,A可逆.

4.小结:线性变换矩阵的求法,进一步掌握矩阵的概念.

为V的一组基,

() =()A, ()=()X为另一组基,有

()=()

例6在空间P[x]n中,是线性变换,求在基

,下的矩阵.

证明: 首先由ex.1.5)知,是线性变换,是线性变换,故是线性变换.

其次,只要求出,用表示,就可得A.

=(1)=1-1=0,

所以, (,)=(,), 所求矩阵为.

例7设三维线性空间V上的线性变换A在基下的矩阵为

1).求在基()下的矩阵;

2).求在基()下的矩阵,其中k;

3).求在基()下的矩阵.

证明:1). =

= =

()=()

所求矩阵为。

又可()=()=（）故所求矩阵为A

2)= ()

又()=()

故所求矩阵为A=A

3).=

所求矩阵为

又()=()

故所求矩阵为

A = A

例8,在任一组基下矩阵都相同,则是数乘变换.

证明: 要证在任一组基下矩阵是数量阵.

设在基下下的矩阵为A,对任一n阶非退化方阵X,()=()X为V的另一组基,在此基下的矩阵为即,由的任意性, A为数量阵.

事实上,此时A与任意可换:设可逆矩阵使,则可逆,与A交换,得

于是,由P.204 ex.7 3), A为数量阵,从而为数量变换.

例9证明:下面两个矩阵相似,其中是1,…,n的一个排列:

, .

证明: 曾在二次型中证明过它们合同,显然它们等价,将它们看成一个线性变换在不同基下的矩阵.

设,在基()下的矩阵为A,则显然()是V的另一组基,此基下的矩阵为B.

将线性变换与方阵的特征诸概念列表对比,指出异同,明确求法.

矩阵A

线性变换

特征多项式

特征值

特征向量

有限维

例11设是线性变换的两个不同特征值, 是分别属于的特征向量,证明: 不是的特征向量.

证明:只要证

若有这样的存在,则

===

而属于不同的特征值,线性无关,故,矛盾.

将此结果与属于同一个特征值的特征向量的和(0)作比较, 是的属于的两个特征向量,则当0时, 是的一个特征向量(属于).

例12证明:如果以V中每个非零向量为特征向量,那麽是数乘变换.

分析:

每个非零向量都是特征值k的特征向量

每个非零向量都是特征向量且特征值只有一个

证明:若,有都是的特征向量.

若是分别属于两个不同的特征值,那麽由上题,

即不可能是的特征向量,矛盾.

故,,有是属于的同一特征值的特征向量.设这个特征值为k,于是,又=k0=0,

故.

例13. 可逆,则1). 有特征值,则不为0;

2). 是的特征值,则-1是的特征值.

证法一:1).设是的特征值,是属于的特征向量,则.

因可逆, -1存在,且-1L(V),有

即,而,有.

2).由1),, -1是的特征值.

3).的特征向量是的特征向量.

证法二:当V是有限维时,设在基下的矩阵为A,则由可逆,A可逆.

1).若是的特征值,则0==

与A可逆矛盾.

2).若是的特征值,则,且

即-1是的特征值,而,故-1是的特征值.

(注:一般情况与有限维时证明方法不一样;此结论要求掌握.)

特殊变换的特征值

例14设,若,称为对合变换,求的特征值.

证明: 设是的特征值, 是相应的特征向量,有,

,而,

故P，即若有特征值只能是1或-1.

则

则确有特征值1或-1.

证法二：又,若是的特征值,则-1是的特征值.且若是的属于的特征向量，则是的特征向量，必有=-1，

,则的特征值只能是1,0;

若则,即有特征值1;

时,有特征值1;当的秩

例15 设dimV=n, ，证明：是对合变换时必可对角化。

分析：的特征值至多有两个1和-1，从而不好利用第一个充分条件。设法用充要条件，证明属于1的线性无关特征向量数与属于-1的线性无关特征向量数之和为n；

即(E-A)X=0的基础解系个数+（-E-A）X=0的基础解系个数=n；

即 r(E-A)+r(-E-A)=n.

证明：设为V的一组基，且在此基下的矩阵为A，由，有A2=E,故0=E-A2=(E-A)(E+A),r(E-A)+r(E+A)=n，最后一个等式由Chap.4.补3.P.208.

设r(E-A)=r0,则r(-E-A)= r(E+A)=n-r,故(E-A)X=0的基础解系有n-r个线性无关解; (-E-A)X=0的基础解系有r个线性无关解.即的属于1的线性无关特征向量有n-r个,属于-1的线性无关特征向量有r个;而有定理9,属于不同特征值的特征向量线性无关,故有n个线性无关特征向量,从而可对角化.

1.由(E-A)(-E+A)=0,有,若,则=0,即1不是特征值

则-1必是,两者必有一,但可不全是.

2.幂等变换,可对角化,也可仿此证.

例16设是4维空间V的一组基，在此基下的矩阵为

1).求在基,

下的矩阵;

2).求的特征值与特征向量;

3).求可逆矩阵T使得T-1AT为对角阵.

证明:1).=

易知

从而在下的矩阵为B=S-1AS=.

2). 的特征多项式为

故的特征值为0,1,0.5P.

解方程组(E-B)X=0

=0:BX=0, =0

因为,得基础解系.的属于0的特征向量为

=其中不全为0.

=1: (E-B)X=0, =0解得,,,得基

础解系,的属于1的特征=向量为

=其中不为0.

=0.5: (0.5E-B)X=0, =0解得,,

,得基础解系.的属于0.5的特征向量为

=其中不为0.

3).由2).所得4个特征向量,,

,线性无关,可作为V的一组基,在此基下的矩阵为

,而由到这组基的过渡阵为

,且.

例17设是4维线性空间V的一组基,已知线性变换在此基下的矩阵为

1).求在以下基下的矩阵:

,,,

2).求的核与值域.

3).在的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求在此基下的矩阵.

4).在中选一组基扩充为V的基,并求在此基下的矩阵.

证明:1).由基到的过渡矩阵为

在下的矩阵为

2).,设()

0==()=()A

A==0, =0

解此齐次线性方程组得

所以基础解系为(-4,-3,2,0),(-1,-2,0,1)从而

是的一组基,即=.

因dim=4-dim=4-2=2,而=,的坐标列为A 的列,且A的前2列线性无关,从而线性无关,

即=.

3).由(),及

故向量组()=()=()Q

线性无关,即是V的一组基,此基由的一组基扩充而成,其中Q为由到的过渡阵.在下的矩阵为

(其中后两列是0因为中元被作用后在任何基下的坐标均为(0,0,0,0)’)

4).()=() ,而

故向量组()=()=()P

线性无关,是V的一组基,由的基扩充而成,由到的过渡阵为P,在此基下的矩阵为

(后两行为0因为任一向量被作用后都在中,由线性表出).

例18设,,证明:

1).与有相同的值域当且仅当;

2). 与有相同的核当且仅当.

证明:1).“”：故存在，于是

“”：，即，同理

，故。

2). “”：即

故同理

“”：

有

同理,故

例19设是有限维线性空间V的线性变换,W是V的子空间,表示由W中向量的像组成的子空间,证明:dim()+dim()=dimW

分析:定理11 dim()+dim()=dimV的证明中,取的基,扩充为V的基.

证明:取的一组基,将它扩充为W的一组基

,即W=L(,)

由于故

W=L(,)=L()

若有

即

存在使得=

故有

即线性无关，dim W=m-r=dimW-dim()

附注：dim()+dim()=dimV是对V而言的，对子空间的值域和核也一样。

例20设为n维线性空间V的线性变换,证明:的秩的秩+的秩-n.

分析:chap4补10.(p209) r(AB)r(A)+r(B)-n,设法将变换的秩与相应矩阵的秩对应.

证法一: 设在基下的矩阵分别为A,B,则的秩= r(AB), 的秩= r(A), 的秩= r(B).由chap4.补10. r(AB)r(A)+r(B)-n,得证.

证法二:注意到的秩=dim,可用定理11.

由定理11和补9, 秩(AB)=dim=dim-dim()

而,dim()dim

故秩()dim-dim=秩-(n-秩)= r(A)+r(B)-n.

例21设,W是子空间,若可逆,证明:W也是-子空间.

注7.8.1 在证时,有人认为可逆,从而是一一对应,故既单(

={0},={0})又满(),从而,不必考虑有限维,这是错误的: 在间一一对应,不是在间一一对应.

反例:V=P[x]=L(1,x,x2,x3,…),W={f(x2)x2|f(x)}=L(x2,x4,x3,…)

显然可逆(因是一一对应),

但如.

另在间单,dimW有限,因而在间满.

例22.设V是复数域上n维线性空间,,,证明:1).如果是的一个特征值,那麽是的不变子空间;

2).至少有一个公共特征向量.

证明:1). 是子空间, ,故使得

所以,

2).因为V是C上的线性空间, 至少有一个特征值,设为的特征值,由1),

为子空间.令,则有特征值,设为,则存在0使得,故为的公共特征向量.

注7.8.2 此题可推广到两两交换的任意个线性变换在V中有公共特征向量.

例23设

证明:1).W是子空间,,则W=V;

2).{0}是子空间,则;

3).是子空间,,则或.

证明:1).由题意,()=()

若,W为子空间,有

2).令,则

故

又由得=

如此继续,

设中第一个非零的为,则得.

3).若,,但,矛盾.

例24 可逆的,为上三角阵.

分析:A与Jordan矩阵相似,而若当形是下三角阵,考虑转置.

证明:存在可逆,为若当形矩阵,故()’=是上三角阵,即A相似于一个上三角阵