3.4基本不等式的课例分析

课例《基本不等式》

樟村中学孙晶晶

◆教材分析：

本课是学生学习了不等式的关系及性质，以及一元二次不等式解法和二元一次不等式组及简单的线性规划基础之上，对不等式的应用的深入学习的起始课，为不等式在实际中的应用奠定基础，所以本课有承上启下的作用。而在实际解题中，基本不等式也是学生解题的良好抓手，特别是等号成立的条件显得格外重要。

◆学情分析：

从认知的角度来看，高二年级的学生继续保持对学习的热情而充满活力（心理特点和年龄特征）；从最近发展区的角度来看，虽然学生的理性思维有了很大的发展，但因学生基础知识掌握不好，特别是在初中阶段对几何证明淡化，而重在应用上，使得部分学生几何直观能力缺失，导致在回忆勾股定理证明过程，及用圆和直角三角形有关相似问题时，学生不能迅速捕捉到有用的信息，而没有思路，另外运算能力较差（学生的智力水平和知识结构不平衡），所以教师设计问题时一定起点要低，适时地为学生搭建支架，并尽可能关注到每一个学生。

◆教学目标：

1、知识与技能：知道并了解重要不等式和基本不等式，尝试运用作差法和分析代数方法来证明基本不等式。

2、过程与方法：经历由风车模型抽象为数学模型的过程，从中体会数学建模的思想；探究基本不等式过程，先让学生找到基本不等式，然后进行证明从中贯彻从合情推理到演绎推理的数学知识的学习过程，还可体会分析法和数形结合的思想方法。

3、情感态度与价值观：由数学文化中感悟中国的传统文化，而从中生发民族自豪感；从小组合作交流的活动中，培养倾听他人的习惯；在基本不等式的应用过程中感受数学的应用价值。

◆教学重点：

应用数形结合的思想理解基本不等式，并能从不同角度探索基本不等式的证明过程。

◆教学难点：

基本不等式成立的条件及运用基本不等式求最大值或者最小值。

◆ 教学媒介：

多媒体课件、几何画板

◆ 教学方法：以教师为主导，学生为主体的启发式教学，创设问题情境引入。 ◆ 教学设计流程图：

◆ 设计及意图：

环节一：（约为5分钟）

1、教师用多媒体课件出示幻灯片一，即2002年第24届国际数学家大会上，我国数学家赵爽设计的弦图为大会的会标，可以抽象出什么样的数学图形？并说明我国还用此图证明了勾股定理，此项数学成果比欧洲要早几百年。

2、上面的图形有什么特征？有多少种图形？你能发现一些相等关系和不等关系吗？如果设直角三角形的两直角边的长分别为a b 和，那么四个直角三角形的面积之和与大正方形的面积有什么关系呢？

3、在上图中显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和，那在其他情况

下一定吗？教师用几何画板演示大于和相等的情况，然后问学生，你能用数学式子来表示从图形中观察结果吗？并在学生得到式子后引出本节课的课题。

【说明】学生从数学史的背景材料开始新课学习，教师调动学生的积极性，充分引导学生对图形进行分析，并从中渗透数学建模的思想；学生对于得到的关系式进行化简得到a 2+b 2≥2ab .此时a b 和是正数，引导学生能不能扩大到实数，用作

差法证明是可以的，然后再错小范围到正数，a b 和得到新的公式2

b a ab +≤(a ＞0,b ＞0)从而引出课题。 环节二：（约为20分钟）

1、这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2

b a +叫做正数a b 和的算术平均数，把ab 叫做正数a b 和的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、你能否用不等式及实数的基本性质来推导这个不等式吗？请同学们尝试一下，先独立思考，再小组交流，看那组想出的办法多。此时教师巡回指导，并参与其中。

3、小组展示证明方法。学生多数采用了作差法，为开阔思路教师用幻灯片介绍分析法，并强调分析法证明的关键步骤。

4、为了说明这个式子成立，构造了这样一个图形，如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC a =，BC b =。过点C 作垂直于AB 的弦DD '，

连结AD 、BD .你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

（1）从这个图形中能抽离出哪些几何图形？

（2）你能知道这些几何图形的关系吗？

（3）尝试表示，有没有相等的情况，教师可用几何画板展示。

环节三：（约为15分钟）

师：基本不等式与我们学习过的其它公式有所不同。我们比较熟悉的完全平方公式、平方差公式等都是等式的形式，而基本不等式是以不等式的形式出现的。同学们在运用的时候可能有些顾虑。其实，只要满足基本不等式使用的条件（0>a ，0>b ），只要符合它的结构特征，我们完全可以进行套用。下面我们通过几个例题来考虑在运用基本不等式过程中还

需要注意哪些问题，

（多媒体展示）

例1、下列各式错误的是 （ ）

A 、)0,0(6223>>≥+b a ab b a

B 、)0(21>≥+x x

x C 、

)0(4sin sin 4π<<≥+x x x D 、)10(21)1(<<≤-x x x 例2、已知x 、y 都是正数，求证2≥+x

y y x 。 师生互动：学生自主解决，通过学生的交流，得出结论。

设计意图：通过例题的训练，提高学生解绝问题能力，加深对基本不等式的理解，明确公式的使用条件，套用方法及等号成立的条件

环节四：（约为4分钟）

反思小结、观点提炼

（多媒体展示）

⑴本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？

⑵本节课你能感受到哪些数学思想？

1、不等式与a 2+b 2≥2ab 与2

b a ab +≤都是基本不等式，它们成立的条件不同，前者a 、b 可为任意实数，后者要求a 、b 都是正数，但二者等号成立的条件相同。

2、基本不等式有多种形式，应用时具有很大的灵活性，既可直接应用也可变式应用。一般地，遇到和与积，平方和与积，平方和与和的平方等不等式问题时，常利用基本不等式处理。

师生互动：学生通过思考，逐一回答。教师进行总结。

设计意图：对本节课所学习的内容、方法、思想进行总结，画龙点睛。

教学反思： 基本不等式这一节有几个高考考点，但是对于学生而言，刚刚接触，理解的不是很透彻。准备按照下面的方式来进行：一，第一节只讲基本不等式及其几何意义。让学生通过练习，充分理解不等式中的“一正，二定，三相等”的具体含义和应用。并辅以高考题型，是学生掌握高考动向。二，第二节再讲拼凑和分离这两种与之前所学函数知识有关的题型。体现出不

等式与函数的关联，说明函数在高中数学的重要性，顺便回顾函数中的拼凑和分离这两种方法。三，第三节课再讲“1”的代换和图像法。这两种方法考察学生对知识的灵活变化以及对数形结合思想的应用，又比第二节的知识深一点。这样的话，三节课知识层层加深，让学生体会到知识的关联，明确各个知识点在高考中的具体应用。而初始方法中，一节课先把所有高考重点全讲给学生，使学生容易迷惑，不知道本节课的重点到底是什么，而且学生不易掌握，毕竟容量大的话，练习量就会相应减少。而等到第二节，第三节再讲时，学生掌握的不熟练，还得再次复习，有点“烫剩饭”的感觉。

所以在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。这是比较抽象的内容。尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。因为我把这部分内容放到第二节课。本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。巩固练习中设计了选择题，让学生理解六字方针的内涵。还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

本节课比较满意的方面有：

⑴课堂气氛活跃、师生互动积极、教学相长、意犹未尽。

⑵教学思路比较清晰，各环节联系紧密，问题的设置能够指导学生进行主动地探究，使学生具有大量的思维活动。

⑶主要结论均由学生探究获得，学生体会到数学知识的形成过程，感受到探究的乐趣、成功的喜悦。

还需改进之处有：

由于时间关系，小结部分没有总结到位。