知识点一导数与函数的单调性.docx
1.函数的单调性：在某个区间(a,b)内，如果广⑴>0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增；如果f\x) <0,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递减.如果f\x) = 0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数. 注：函数y = /(x)在(a,b)内单调递增，贝iJ/z(x)>0, f\x)>0是)y/(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.
2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；Illi线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.
一般地，当函数》= /(兀)在点兀。处连续时，判断/(兀。)是极人(小)值的方法是：
(1)如果在兀0附近的左侧厂(力〉° ,右侧厂(x)V°,那么/(兀0)是极大值.
(2)如果在兀。附近的左侧厂(兀)<° ,右侧厂(兀)>°,那么/(兀。)是极小值.
注：导数为0的点不一定是极值点
知识点一：导数与函数的单调性
方法归纳：
在某个区间(a,b)内，如果广(%) > 0 ,那么函数y = /(x)在这个区间内单调递增；如果广(兀)<0,那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减.如果广(兀)=0 ,那么函数y = /(X)在这个区间上是常数函数.
注：函数y = /(X)在(a,b)内单调递增，贝IJ广⑴》0, f\x)> 0是y =/(x)在(a?b)内单调递增的充分不必要条件.
例］】(B类)已知函数f(x) = x3+bx2^cx + d的图象过点P(0, 2),且在点M(—1, /(-I))处的切线方程为6x— y + 7 = 0.
(I )求函数y = f(x)的解析式：(II)求函数y = f(x)的单调区间.
【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数门对在区间［a9b］±递增可得:/*(x)>0；函数/(兀)在区间［a,h］_L递减可得：八兀)50.
【例2】(A类)若f(x) = ax3+x在区间［一1,1］上单调递增,求d的取值范围.
【解题思路】利用函数/(兀)在区间［。,切上递增可得：厂⑴no；函数/(兀)在区间［a,切上递减可得：f V) < 0 .得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解
【例3】(B 类)已知函数/(x) = Inx, g(x) = - (a > 0),? F(x) = f(x) + g(x).
(I)求函数FCx)的单调区间；
(II)若以函数y = F(x)(x e (0,3］)图像上任意一点P(x09y0)为切点的切线的斜率￡ 5丄恒成立，
求实数d的最小值
【课堂练习】
1. (B)己知两数f(x) = ax3+bx2的图像经过点M(l,4),曲线在点M处的切线恰好与直线
x + 9y = 0 垂直.
(I )求实数a,b的值;
(II)若函数/(兀)在区间［加，加+ 1］上单调递增，求加的取值范围.
2. (B类)设函数g(x) = —x2 + — ax2 -bx(a,b e R),在其图彖上一点P (x, y)处的切线的斜率记为/⑴.
(1)若方程/(X)= 0有两个实根分别为-2和4,^/(%)的表达式；
(2)若gd)在区间［-1,3］上是单调递减函数求/ 的最小值
3. (A类)已知函数/(x) = |x2一tn In x + （m一l）x ,
meR.当m<0时，讨论函数/(x)的单调
性.
例一［解析】(I )由/(对的图象经过P(0, 2),知d = 2,
所以 f (x )=兀‘ + bx 2 + ex + 2 ? 所以广(x) = 3x 2 + 2bx + c.
由在M(-1, /(-I))处的切线方程是6无一 y + 7 = 0 , 知一6 — 于(一1) + 7 = 0,即.f(—1) = 1,.厂
(_1) = 6.
2b —c = 3, 即彳 解得b = c = —3. b-c = 0.
故所求的解析式是f(x)=『—3/ — 3x + 2 .
(II)因为广(兀) = 3/—6兀—3,
令3兀2_6兀一3 = 0,即X 2
-2X -1 = 0, 解得 %, =1-^2 , x 2 =1 + 72 . 当% 故/(X ) = ?-3X 2-3X + 2在(一°°，1 一血］内是增函数，在［1-V2,1 + A /2］内是减函数，在 ［1 +血,+00)内是增函数 例二【解析］??f \x) = 3ax 2+\又于⑴在区间［-1,1］上单调递增 .?.//(x) = 3ax 2+l>0在［一 1,1］上恒成立 BPa>—- 在兀w ［-1,1］时恒成立. 3x a>-~ 故d 的取值范围为［--,+oo ］ 3 3 例三解析】(I) F (x) = /(x) + g(x) = lnx + —(x>0), F'(x)=丄一 ￥= 入:(兀〉0) T a > 0 ,由 F f (x) > 0 => x e (a,4-oo)，?: F (兀)在仏+oo)上单调递增. 由 F*(X )<0=>XG (0,6/) , F (x)在(0,a)上单调递减. AF (x)的单调递减区间为(0卫)，单调递增区间为仏+00). (II) F *(%) = —^―(0 < x < 3), k = F *(x 0) = /Z (O < x < 3)a > ~—x^ +x 0 X 兀0 I 2 丿口那 当兀0=1吋，—*球+兀0取得最大值g ? 所以 3 — 2b + c = 6, 一 1 + /? — c + 2 = 1. 【解析】???广⑴r -巴+ (加-1)=?+⑴-1)X "m -(X -1)(X +心 X A (1)当-\ 兀丘(一加,1)时，为减函数； "(l,+oo)时，/'(%)> 0, f(x)为增函数. (2)当m<-1时,兀w(O,l)时，广(兀)>0J (兀)为增函数; d n —，?：dmin= — 2 2 1,【解析】(I) f (x) = ax 3 +hx 2 A/(1,4) a+h = 4 课堂练习； 的图象经过点 ??? */ f\x) = 3ax 2 + 2hx …??广(1) = 3a + 2h 由已知条件知广(1) *(-|) = -1即3a + 2b = 9 a + b = 4 z ［a = } 得.J 3a + 2b = 9 ? ［b = 3 (II)由(I )知 f(x) = x 3 + 3x 2, f\x) = 3x 2 + 6x 令 f f (x )= 3x 2 +6x > 0 则 x < -2 x > 0 T 函数 f(x)在区间［zn,m +1］上单调递增［m, m +1］匸(-oo, -2］ U ［0, +oo) ?\ 加 n 0 或 m + 1 < -2 即 m>0^m<-3 2,解析】(1)根据导数的几何意义^f(x) = g f (x) = x 2 ^ax-b 由已知?2、4是方程x 2+ax-b = 0的两个实根 由韦达定理, —2 + 4 = —a -2x4 = -/? a = ~2J'(x) = x 2 -2x-8 b = S (2) g ⑴在区间［―1, 3］上是单调递减函数,所以在［―1, 3］区间上恒有 f(x) = g'(x) = x 2 + ax-b< O,B|J/(x) = x 2 + ax-b < 0在［-1,3］恒成立 八八即可，也即 /⑶so 这只需满足 %2 a+b>\ b-3a>9 而a 2+b 2 可视为平面区域 ;為鳥内的点到原点距离的平方, 其中点(-2, 3)距离原点最近, 所以当 "_一2时卫2 +庆有最小值13 b = 3 x e (1,-m)H'J；f r(x) < 0, /(X)为减函数； x w (-加,+oo)时，广(x) > 0,/(x)为增函数 知识点二：导数与函数的极值最值 方法归纳: L求函数的极值的步骤： (1)确定函数的定义域，求导数/"(X). ⑵求方程厂⑴二°的根. ⑶用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若十小开区间，并列成表格.检查 /'(尢)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么/(力在这个根处取得极人值：如果左负右正，那么.f(x)在这个根处収得极小值；如果左右不改变符号，那么.f(x)在这个根处无极值. 2.求函数在［⑦可上最值的步骤：(1)求出/(兀)在(。,方)上的极值. (2)求出端点函数值/(?),/(/?). (3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 注:可导函数= /(X)在兀=兀。处取得极值是''(X。)=°的充分不必要条件. 1 JI 【例4】(A类)若函数f(x) = m cosx +—sin2x在兀=才处取得极值，则加= ______ . 【解题思路】若在兀。附近的左侧/(x)>0,右侧广(兀)<0, = 那么/(兀。)是/(兀)的极大值；若在必附近的左侧/'(x)<0,右侧/ (x)>0,且f(x°) = 0,那么/(X。)是/⑴的极小值. 【解析】因为/(x)可导，且 / (x) = -m sin x + cos 2x，所以 / (—) = -m sin — + cos — = 0，解得m = 0. ' 4 4 2 1 71 验证当加=0时，函数/(x) = -sin2%在兀=才处取得极大值. 【注】若于⑴是可导函数，注意广牝)=0是兀。为函数门力极值点的必要条件.要确定极值点还需在 心左右判断单调性. ［例5】(B类)已知函数 (I)求/(兀)的单调区间；(II)求/⑴在区间［°川上的最小值. 【解析】⑴f(x) = (—k + 10,令f (x) = 0^x = k-\；所以/⑴在(YO,—1)上递减，在伙一1,+00)上递增； (II)当—150,即仁1时，函数/(兀)在区间［°」］上递增，所以/(叽=/(0) = -R； 当0<力一151即1<*52时，由（I ）矢口，函数/（兀）在区间［°丛一1］上递减，伙一 1,1］上递增，所 以/Wmin=/（*-1）= -^_1 .当鸟-1>1,即鸟>2时，函数f （x ）在区间［°」］上递减，所以 ■ 【例6】（B 类）设％ = 1，兀=2是/（x ） = oln 兀+加+尤函数的两个极值点. （1） 试确定常数a 和b 的值； （2） 试判断 x = 1 ^ = 2 是函数/（"）的极人值点还是极小值点，并求相应极值. 【解析】（1） f （兀）=纟+ 2以+ 1, X （2） %变化时?广（兀）J （x ）的变化情况如表: X (0, 1) 1 (1, 2) 2 广⑴ — + — 4 极小值 5T 极大值 4 故在兀i 处，函数门X ）取极小值。在兀=2处，函数/（X ）取得极大值3~3ln2 5. （B 类）设 /W = lnx , gW = /（x ） + /， （x ） g （-i-） （1）求&（刃的单调区间和最小值； （2）讨论&（尤）与 ％的大小关系; 6. （C 类）已知函数/（兀）=兀'+3必?+（3-6a ）兀+ 12a-4（awT?） （I ）证明:曲线y = /⑴在"0的切线过点（2,2）； 由已知得: /(1) = 0 八2) = 0 a + 2 b + 1 = 0 2 a =— 3 b = -~ 6 4. （A 类）设如 T 宀护*加若心在（￡+8） 匕存在单调递增区间，求的取值范围. （丁,+°°） 课堂练习；4,【解析】丿（②在3 上存在单调递增区间, （m,n ） e （― ,+co ） 疋 丫 、 n 即存在某个子区间 3 使得/ （兀）＞ °, , 1 ? 1 ⑴…+x + m —S —3）+君加 f ，（ 、 [-,+00） /'（-）＞0 ）⑴在区间3 上单调递减，贝0只需 3 即町. 1 a ＞—— 所以，当 9时, 1 X-1 f （兀）= inx. g （x ） = \nx + - g '（X ）= 5,解】⑴由题设知 X,??? 兀令二0得兀=1, 当（0, 1）时，Q （x ）V0, &（x ）是减函数，故（0, 1）是巩劝的单调减区间. 当（1, +00）吋，g?）＞0, g （X ）是增函数，故（1, +00）是gS ）的单调递增区间， 因此,兀=1是g ⑴的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以g ⑴的最小值为g （l ）i ? ^（―） = - lnx + x 〃（％） = gW_g （丄）=1口兀_兀 +丄 h r （x ） = -^X 1） ⑵ ％ ，设 兀 x ,贝IJ 当兀=1 时，/2（1） = 0,即 g （x ）= g （；）,当兀 w （0,l ）u （l,+8）时，//（兀）＜0, 因此，心）在（°，+"）内单调递减,当°v 兀vl 时，此）＞力（1） = 0, 【解析】（1）广（Q = 3/ + 6血+ （3-6。），八0） = 3-6化 又/（0） = 12d-4 Illi 线y = /（兀）在兀=0的切线方程是：y —（12a —4） = （3 —6°）兀，在上式中令“2,得尸2 所以曲线歹=念）在兀=°的切线过点（2,2）; 7 7 由心产＞。 1 a >—— 解得 9 /⑴在"上存在单调递增区间 6, 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 §1.3.1函数的单调性与导数 【教学目标】 1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2．掌握利用导数判断函数单调性的方法。 【教学重点】利用导数判断函数单调性。 【教学难点】利用导数判断函数单调性。 【内容分析】 以前，我们用定义来判断函数的单调性． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的增函数． 对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么函数f (x )就是区间I 上的减函数。 在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x 1)与f(x 2)的大小并不很容易． 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。 【教学过程】 一、复习引入 1． 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=． 2．法则1 )()()]()([' ' ' x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '=． 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? ． 3．复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x )． 4．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 5．对数函数的导数： x x )'(ln = e x x a a log 1 )'(log =． 6．指数函数的导数：x x e e =)'(； a a a x x ln )'(=． 二、讲解新课 1． 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数．从函数 342+-=x x y 的图像 可以看到： 在区间（2，∞+）内，切线的斜率为正，函数y=f(x) 的 y =f (x )=x 2－4x +3 切线的斜率 f ′(x ) (2，+∞) 增函数 正 ＞0 (－∞，2) 减函数 负 ＜0 3 2 1 f x () = x 2-4?x ()+3 x O y B A 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 1.3.1函数的单调性与导数教案 谷城一中杨超 教学目标 1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法 教学重点：探索函数的单调性与导数的关系，求单调区间. 教学难点：利用导数判断函数的单调性 教学过程 一．回顾与思考 1、函数单调性的定义是什么？ 2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判断y=x2的单调性，如何进行？（分别用定义法、图像法完成） 3、函数x =怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？ 22+ x y ln 二．新知探究函数的单调性与导数之间的关系 【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个Array基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反 映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数 是否有着某种内在的联系呢? 【思考】如图（1），它表示跳水运动中高度h随 时间t变化的函数2 =-++的图像，图 h t t t () 4.9 6.510 （2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函 数' ==-+的图像．运动员从起跳到最 v t h t t ()()9.8 6.5 高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 【引导】随着时间的变化，运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？ 【探究】通过观察图像，我们可以发现： （1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h随时间t的增加而增加，即() h t是增函数．相应地，' =>． v t h t ()()0 Array（2）从最高点到入水，运动员离水面的 高h随时间t的增加而减少，即() h t是减函 数．相应地' v t h t ()()0 =<， 【思考】导数的几何意义是函数在该点 处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切 线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与 1.函数的单调性：在某个区间( a,b )内，如果f (x) . 0 ,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果f (x) ：：：0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减?如果f(x)=0,那么函数y = f(x)在这个区间上是常数函数? 注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x)亠0，f (x) . 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的充分不必要条件? 2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为 负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正. 一般地，当函数 y = f(x)在点沧处连续时，判断f(X。)是极大(小)值的方法是： (1)如果在X。附近的左侧f ' (x) 0 ，右侧f'(x)：：： ，那么f(X0)是极大值. (2)如果在X o附近的左侧f '(X)：：：0 ,右侧f'(x) 0，那么f(X0)是极小值. 注：导数为0的点不一定是极值点 知识点一：导数与函数的单调性 方法归纳： 在某个区间(a,b )内，如果f (x) ?0,那么函数y = f (x)在这个区间内单调递增；如果「(x) ：：：0，那 么函数y二f(x)在这个区间内单调递减?如果f (x) =0，那么函数y二f(x)在这个区间上是常数函数?注：函数y = f (x)在(a,b )内单调递增，贝U f (x) _ 0 , f (x) 0是y = f (x)在(a,b )内单调递增的 充分不必要条件? 例1】(B类)已知函数f(x)=x3 bx2 cx d的图象过点P(0, 2)，且在点M(-1, f(-1))处的切线方程为6x「y ?7 = 0 ? (I)求函数y = f(x)的解析式；(n)求函数y=f(x)的单调区间? 【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上?函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0 ；函数 f (x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x) E0. 3 【例2】(A类)若f(x)二ax x在区间［—1,1］上单调递增，求a的取值范围? 【解题思路】利用函数 f (x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)_0;函数f(x)在区间［a,b］上递减可得： f '(x)岂0.得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解 a 【例 3 】(B 类)已知函数f(x)=l nx,g(x) (a 0),设F(x^ f (x) - g(x). x (I)求函数F(x)的单调区间； 2.3 函数的单调性 学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 重点难点：函数单调性的应用 一、知识点梳理 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =????在x 的区间D 内单调递减． 3．常见结论 若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数) (1x f 在其定义域内为减函数． （ 二、例题精讲 题型1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间 （1）,b kx y += （2）x k y =， （3）c bx ax y ++=2． * 2．求函数22||3y x x =-++的单调区间． # ３．判断函数f （x ）＝1 x 2－4x 的增减情况． 函数的简单性质 一、函数的单调性 1、单增函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)>0，即：f(x2)> f(x1)那就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数，． 2、单减函数：在函数y=f(x)的定义域的一个区间M中，如果对于任意两个值x1，x2，当改变量x2>x1时，有Δy＝f(x2)－f(x1)<0，即：f(x2)< f(x1)就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数， 2．单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单增函数或是单减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3、证明单调性： 用定义证明函数单调性的步骤 (1)设x1，x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1 5、常用结论： （1）若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数 （2）若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数 （3）若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数 （4）若f(x)>0,且为增函数，则函数为增函数，为减函数若f(x)>0,且为减函数，则函数为减函数，为增函数练习： 1、（函数单调性的判断） （1）证明函数x x f- = ) (在定义域上是减函数。（定义法） （2）证明函数3 ()2 f x x x =--在R上是单调递减函数；（定义法） （3）证明函数2 ()231 f x x x =-+-在区间 3 (,] 4 -∞上是单调递增函数；（图 像法） 2.2.1导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 21 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） A.0 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 《函数的单调性与导数》教学设计 教材分析 1、内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础. 由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性. 2、学情分析 在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识. 用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣. 教学目标 依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标： 1、知识与技能目标： 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识. 2、过程与方法目标： 会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间. 3、情感、态度与价值观目标： 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。 教学重点、难点 教学重点：1、利用导数判断函数的单调性. 2、会求不超过三次的多项式的单调区间。 教学难点：1、函数的单调性与导数的关系 2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力. 教学重难点的解决方法 通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解. 教法设计： 1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性. 教学媒体 根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下 1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉; 2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣. 课型：新授课 教学过程 教学过程设计意图 专题一：导数与函数的单调性 题型一：求函数的单调区间 1.函数()2 ln f x x x =的减区间为（ ） A. ( B. ?+∞???? C. ?-∞ ?? D. ? ?? 2.设()f x '是函数()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()y f x =的图象是（ ） A B C D 3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( ) A B C D 4. 判断函数2x y x e =-的单调性. 题型二: 含有参数的单调区间 1. 求函数()1x f x e ax =--的单调区 2. 求函数()21ln 2f x x ax =+的单调区间 3.讨论函数()()2112x f x x e ax =--的单调性 题型三：已知单调性求参数取值范围 1. 已知()1x f x e ax =--在区间[]-2,3为减函数，求a 的取值范围。 2. 已知()()3212+33 f x x bx b x =+++在R 上是单调递增函数，求b 的范围。若函数()f x 不是单调函数b 范围又是多少？ 3.已知()2 1+x e f x ax =在R 是单调函数，求a 的取值范围 4.若函数()22ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间()1,1k k -+内不是单调函数，求实数k 的取值范围 5.()()21ln 202 f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，求a 的取值范围。 函数的单调性 知识点 1、增函数定义、减函数的定义： （1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间M ?A ，如果取区间M 中的任意两个值21,x x ,当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12>-=?x f x f y ，那么就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，如图（1）当改变量012>-=?x x x 时，都有0)()(12<-=?x f x f y ，那么就称 函 数)(x f y =在区间M 上是减函数，如图（2） 注意：单调性定义中的x 1、x 2有什么特征：函数单调性定义中的x 1,x 2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间． 1、 根据函数的单调性的定义思考：由f (x )是增(减)函数且f (x 1) 课次教学计划（教案） 课题 函数的单调性和奇偶性 教学目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别 2. 结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性 教学策略 重点难点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数 教学策略：讲练结合，查漏补缺 1.例1：观察y=x 2的图象，回答下列问题 问题1：函数y=x 2的图象在y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？?随着x 的增加，y 值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x 1、x 2∈[0，+∞]，得y 1=f(x 1), y 2=f(x 2).当x 1 第二讲：函数的单调性 一、定义： 1.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f <那么就说)(x f 在区间D 上是增函数.区间D 叫)(x f y =的单调增区间. 注意：增函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(2 1212121>--?>--x x x f x f x f x f x x ; 难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？ （2）函数单调性的定义中有三个核心①21x x <②)()(21x f x f <③ 函数)(x f 为增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？ 2. 设函数)(x f y =的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有),()(21x f x f >那么就说)(x f 在区间D 上是减函数.区间D 叫)(x f y =的单调减区间. 注意：(1)减函数的等价式子：0) ()(0)]()()[(21212121<--? <--x x x f x f x f x f x x ； (2)若函数)(x f 为增函数，且)()(,2121x f x f x x <<则. 题型一：函数单调性的判断与证明 例 1.已知函数)(x f 的定义域为R ，如果对于属于定义域内某个区间I 上的任意两个不同的自变量21,x x 都有 .0) ()(2 121>--x x x f x f 则（ ） A.)(x f 在这个区间上为增函数 B.)(x f 在这个区间上为减函数 C.)(x f 在这个区间上的增减性不变 D.)(x f 在这个区间上为常函数 《函数的单调性与导数》-教学设计 《函数的单调性与导数》教学设计 一、设计理念 基于新课标提出的教学要面向全体学生、提倡探究性学习，我倡导“主动参与，乐于探究，交流合作与联系实际”的教学理念，借助多媒体的简洁性、直观性和交互性，注重与现实生活的紧密性，充分调动每位学生的学习热情，建立以“学为主体、教为主导、疑为主轴、动为主线”的教学模式。 二、教学分析 （一）教学内容分析 《函数的单调性与导数》是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2－2第一章《导数及其应用》的内容.本节课主要学习函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.本节的教学内容属于导数的应用,是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容,学好它既可加深对导数的理解,又可为后面研究函数的极值和最值打好基础. （二）教学对象分析 学生在高一时已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义、图像的方法解决函数单调性问题。高二的学生对高中的数学体系已经有了一定的认识，具有了较强的分析问题、解决问题的能力. （三）教学环境分析 针对学生面临的问题和本课的重难点，我决定运用文字、视频、几何画板等多媒体资源进行辅助教学，多媒体教学具有信息量大、直 观性强的特点，能提高教学效率,取得更好的教学效果，因此在多媒体教室授课. 三、教学目标 根据新课标要求和对教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标： （一）知识与技能 1．探索函数的单调性与导数的关系； 2．会利用导数判断函数的单调性并会求函数的单调区间； 3．探索三次函数的单调性与系数之间的关系. （二）过程与方法 1．通过对函数单调性与导数关系的探究，让学生经历从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的认知过程； 2．培养学生观察、分析、归纳、抽象的能力和语言的表达能力，领会由特殊到一般，一般到特殊的数学方法，渗透数形结合思想和化归的思想. (三)情感态度价值观 1．通过创设情境，激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度； 2．通过在教学过程中让学生多动手、细观察、勤思考、善总结，培养学生的探究精神. 四、教学重难点 对于函数的单调性与导数的关系，学生的认知困难主要体现在： 导数与函数的单调性 【考纲要求】 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 【命题规律】 利用导数研究函数的单调性是高考的热点问题，常常会考查利用导数研究含参函数的单调性，极值. 预计2018年的高考将会在大题中考查利用导数研究函数单调性的问题，命题形式会更加灵活、新颖． 【典型高考试题变式】 （一）原函数与其导函数的图像问题 例1.【2017浙江高考】函数()y f x =的导函数()y f x '=的图像如图所示，则函数()y f x =的图像可能是（ ）. 【答案】 D C. 【解析】导数大于零，原函数递增，导数小于零，原函数递减，对照导函数图像和原函数图像.故选D ． 【方法技巧归纳】在(,)a b 内可导函数()f x ，'()f x 在(,)a b 任意子区间内都不恒等于0. '()0()f x f x ≥?在(,)a b 上为增函数．'()0()f x f x ≤?在(,)a b 上为减函数．且 导函数单调性可以判原函数图像的凹凸性：若)('x f 大于0且递增，则原函数)(x f 图像递增且下凹；若大于0且递减，则原函数)(x f 图像递增且上凸. 【变式1】【2018河北内丘中学8月月考（理）】设函数()f x 的导函数为()f x '， 若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，结合函数图象可以排除B . D ，又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ，只有C 选项符合题意；本题选择C 选项. 函数的单调性 函数的单调性问题. 函数单调性的方法：（1）图像法 （2）定义法（证明题） 先介绍一下定义法的步骤： （1）取值在给定的区间上任取两个不相等的变量21,x x ，且21x x >，则021>-=?x x x （2）作差求()()21x f x f y -=?（差比，商比） （3）定号当0>?y ，则函数单调递增；当0x 时，试判断)(x f 在R 上的单调性. 图像法求单调性（1）一次函数（斜率） （2)二次函数（对称轴） （3）指数函数和对数函数 （4）反比例函数 （4）幂函数 （分段函数） 例5，给定函数x y 2)1(=，x y 21log )2(=，1)3(-=x y ，21)4(x y =，其中在区间) 1,0(上单调递减的是 例6：求函数的单调区间（图像翻折问题） （1）322--=x x y （2）4 132+-=x x y 练习：函数x x f =)(在区间[]2,2-上的单调性是 单调性与奇偶性的结合 已知)(x f 是奇函数，当0>x 时，2)(2+=x x f ，则=-)1(f 已知函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，又是减函数，0)2()2 1(>-+a f f ，求实数a 的取值范围。 练习：已知函数)(x f 是定义在)1,1(-上的奇函数，又是减函数，0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。 导数练习（三）导数与函数的单调性 基础巩固题： 1.函数f(x)= 2 1 ++x ax 在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a 的取值范围为（ ） 13．已知函数 2 3 2()4()3 f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，求实数a 的取值范围． 14.已知函数d ax bx x x f +++=2 3 )(的图象过点P （0，2），且在点M （－1，)1(-f ）处的切线方程076=+-y x ，（1）求函数)(x f y =的解析式；（2）求函数)(x f y =的单调区间。 15．已知函数f (x )＝2x －b (x －1) 2，求导函数f ′(x )，并确定f (x )的单调区间． 强化提高题： 16．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a 1.3.1 函数的单调性与导数 知识要点 1，函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(),a b内，如果，那么函数() =在这个区间内单 y f x y f x =在这个区间内单调递增；如果，那么函数() f x在这个区间内为常函数。 调递减；如果恒有，那么函数() 内，这时，函数的图像就比较；反之，函数的图像就比较。 教材拓展 求函数单调区间的步骤与方法： （1） （2） （3） （4） 典型例题 知识点一，求函数的单调区间 例1，求下列函数的单调区间 （1）()3f x x x =- （2）1x y e x =-+ （3）ln y x x =- （4） 12y x = 变式训练1，求函数)0y a =>的单调区间 知识点二，判断函数的单调性 例2，已知a R ∈，讨论函数()2ax f x x e =?的单调区间 变式训练2，已知()()10,11 x x a f x a a a -=>≠+，讨论()f x 的单调性 知识点三，求参数的取值范围 例3，已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈ （1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在区间()1,1-上不单调，求a 的取值范围。 变式训练3，若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增，求a 的取值范围 作业练习 水平基础题 1．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ???－π，－π2和????0，π2 B.????－π2，0和??? ?0，π2 C.? ???－π，－π2和????π2，π D.????－π2，0和??? ?π2，π 2．下列命题成立的是( ) A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0 B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数 C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存有 D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存有，则f (x )必为单调函数 3．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( ) A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0 B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0 C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 4．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________． 5．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)． (1)求a 、b 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性． 水平提升题 6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a 2f (1) 8．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为 ( ) 9．函数 y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________． 10．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________． 11．求证：方程x －12 sin x ＝0只有一个根x ＝0. 12．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．高一数学函数的单调性知识点
1.3.1函数的单调性与导数教案
函数的单调性知识点总结与题型归纳
1.3.1函数的单调性与导数教案
知识点一-导数与函数的单调性
函数的单调性知识点总结及练习
高中函数单调性知识点及习题
导数与函数的单调性练习题
函数的单调性 知识点与题型归纳
函数的单调性与导数教学设计
专题一：导数与函数的单调性
函数的单调性的题型分类及解析
函数单调性和奇偶性情况总结复习资料
函数的单调性知识点汇总典型例题(高一必备)24620
《函数的单调性与导数》-教学设计
导数与函数的单调性(word解析版)
函数知识点单调性复习
导数与函数的单调性练习题
1.3.1 函数的单调性与导数