2016年美赛A题-浴缸系统
首先考虑在简单情况下浴缸系统，本文有如下假设： 1.浴缸为矩体；
2.浴缸外部空间足够大，以保证空气温度在系统运行过程中恒温；
3.热量进入浴缸中能立刻均分。
要使浴缸系统保持或尽可能接近初始温度，需要满足系统输入热量等于输出热量。 首先是输入热量，输入来源只有通过添加热水的方式，所以我们有：
)(01T T CM Q W -=
其中，1Q 为输入热量，C 为比热容，M 为一定时间内加入浴缸中水的总质量，W T 为加入浴缸中水的温度，0T 为浴缸中水的温度。
考虑热量输入的速率：
dt
dV T T C dt dQ w W )(01
-=ρ
这里，ρ是水的密度，W V 是输入浴缸水的总体积，所以令dt
dV a w
=为输入水流速度。 现在，我们考虑输出热量，建立直角坐标系，如图：
根据热传学有如下公式（这里引用了群里发的（传热学杨世铭 第四版）参考文献里写上）：
x
t
-??=ΦA λ
这里Φ为单位时间内通过单位截面积所传导的热量，λ为传热系数，
x
t
??为沿x 方向温度变化率，A 为垂直x 方向热传导的横截面。
所以，输出温度分为两部分，一个是水与空气接触面的热量散失，另一个是水与浴缸壁的热量散失。
先讨论水与空气接触面的热量散失：
Z
T A
Q ??=12-λ
这里2Q 表示水与空气接触面的散失热量，1λ为水的传热系数，A 为浴缸底面面积，Z
T ??是温度沿Z 轴的温度变化率。
再讨论水与浴缸壁接触面的热量散失：
Z
T
C B A Q ??++=）（22-2
3λ
这里3Q 表示水与浴缸壁接触面的散失热量，1λ为浴缸壁材料的传热系数，B,C 为浴缸不同两个侧面面积，
Z
T
??是温度沿Z 轴的温度变化率。 这里要说明的是，因为我们的假设，空气温度和浴缸中水温始终不变，浴缸内沿各个方向的温度变化率相等（故上式都用
Z
T
??表示），且不随时间变化，同时有：
RC
y t y t t Z T 0
-)()(y =??=??
这里)(t y 是浴缸中水温,0y 是浴缸外空气的温度，R 是热阻，C 是比热容。 所以，我们有
2
20211010)
22()(C R T T D B A C R T T A T T a C a
a W -+++-=-λλρ
这里1R 是水与空气接触面的热阻，可以用接触面面积除以水与空气的对流系数得到,
1C 是水的比热容，2R 是浴缸材料的热阻，2C 是浴缸材料的比热容。
故对于不同性状的浴缸，都有
2
20211010)
()(C R T T S A C R T T A T T a C a
a W -++-=-λλρ
这里S 是浴缸侧面的总面积。
根据以上等式，变量为水的流速a 和加入浴缸的水温0T ,加上一定的约束条件，就可以通过线性规划得到想要的解，约束条件有
C T T W
ο1000≤≤
0a >
我们对模型根据实际情况进行验证，取：
16
.220450
.14200
a 01======A T T C C ρ 850
105.000278.0728
.1152.1221=====C R R C B
19
.06
.021==λλ
用LINGO 11.0求解结果如下：
所以，最省水的方案为以0.1318892E -04s /m 3
速度加入100C ο
的水。
αa
考虑泡泡浴的情况下，导热系数λ与热阻R 呈比例关系，所以及时二者有变化等式右边不变，但考虑到泡泡浴是溶液密度ρ会变化，同时我们猜想泡泡会形成一层保温层，因此会模型也会相应的改变。
接下来探讨人在浴缸中运动的模型，我们的构想是这样的，如图：
我们把人的无序运动归结为促进水局部的敞开式水冷循环系统，其中我们将浴缸中的水分成A,B,C...多个温度层，假设同一个温度层能任何一点温度都是一样的，而越靠近浴缸中心层温度越高，而P 层为空气层或浴缸壁层，我们认为，各相邻层之间热量交换和上述水与空气热量交换模型是一样的，人的运动使得水局部变成多个这样的系统。我们不妨在进行假设，浴缸外部添加的热水加入的热量只对中心层有影响，而其他层输入的热量仅仅来源于温度比其高的相邻层，仅仅输出保持下一层温度不变的热量，所以我们有如下等式：
C
R T T S
T T C 11
k k 1k 1-k )(+-=-λρα
这里k 为1，2，3，4的自然数，k 越小说明该层温度越高， 取决于人运动的快慢。 而最内层有：
C
R T T S
T T a C 11
010w )(-=-λρ
这里
为水龙头加入的流速
1
0T T -a
α
最外层有：
2
2k 1k 1-k )(C R T T S
T T C a
-=-λρα
而将各层的等式加权：
2
2021101110)
()()(C R T T S A C R T T A T T C T T a C a
a W -++-=-+-λλραρ当分层足够细时， 充分小故 与 偏差对模型影响不大，等式接近原来模型等式，故该模型对人的运动依赖程度不大。