函数极值点偏移解法
解法一：其次构造消参
解法二: 利用极值点偏移构造函数处理
解法三: 构造函数
函数极值点偏移解法
解法四: 引入变量( 一)
解法五: 巧引入变量( 二)
例二（2016年全国I卷）特征套路
解：
练习：
极值点偏移问题专题
极值点偏移问题专题（0)——偏移新花样（拐点偏移） 例１已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ,2x 满足()()12+=4f x f x , 求证：122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 = +210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+,()1=0f '',则（1,2)是()f x 图像的拐点,若拐点(１,２）也是()f x 的对称 中心,则有12=2x x +,证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移,作图如下 想到了“极值点偏移”,想到了“对称化构造”,类似地,不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-,(]0,1x ∈,则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????
() () 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? , 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移(()00 f x '=) 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 120120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题(１)——对称化构造（常规套路） 例1（２０１0天津） 已知函数()e x f x x- =． (１）求函数() f x的单调区间和极值； (2)已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称,证明:当1 x> ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>
极值点偏移问题
极值点偏移问题总结 一、 判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为 21x x 、，且b x x a <<<21， （1）若 02 12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若0212 x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0 x 左偏； （3）若02 12 x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有 ),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2 02 1x a x x ∈+，所以02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。
证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又 b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，所以 02 1)(2 x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。 二、 运用判定定理判定极值点偏移的方法 1.方法概述： （1）求出函数()f x 的极值点； （2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性； （4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。 2.抽化模型 答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +< （1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ； 假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。 （2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数()y f x =是连续函数，在区间12(,)x x 内有且只有一个极值点0x ，且 12()()f x f x =，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点12 02 x x x += ，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点12 02 x x x +≠的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”. 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数()f x 在区间(,)a b 内单调递增，则对区间(,)a b 内的任意两个变量12x x 、， 1212()()f x f x x x . 二是利用“对数平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？ 两个正数a 和b 的对数平均数定义：,,(,)ln ln ,, a b a b L a b a b a a b -?≠? =-??=? 对数平均数与算术平均数、 (,)2 a b L a b +≤≤，（此式记为对数平均不等式） 下面给出对数平均不等式的证明： i ）当0a b =>时，显然等号成立 ii ）当0a b ≠>时，不妨设0a b >>， ln ln a b a b --， ln ln a b a b -<-， 只须证：ln a b < 1x =>，只须证：1 2ln ,1x x x x ≤-> 设1 ()2ln ,1f x x x x x =-+>，则222 21(1)()10x f x x x x -'=--=- <，所以()f x
极值点偏移问题专题.(精选)
极值点偏移问题专题（0）——偏移新花样（拐点偏移） 例1已知函数()22ln f x x x x =++，若正实数1x ，2x 满足()()12+=4f x f x ， 求证:122x x +≥。 证明：注意到()1=2f ，()()()12+=21f x f x f ()()()12+=21f x f x f ()2 =+210f x x x '+> ()22 =2f x x ''-+，()1=0f ''，则（1,2）是()f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是()f x 的 对称中心，则有12=2x x +，证明122x x +≥则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设1201x x <≤≤，要证 ()() 1221212 212x x x x f x f x +≥?≥-≥?≥- ()() ()() 11114242f x f x f x f x ?-≥-?≥+- ()()()2F x f x f x =+-，(]0,1x ∈，则 ()()()()222212212F x f x f x x x x x '''=--????=++-+-+ ? ?-????
() ( ) 1 4110 2 x x x ?? =--≥ ? ? - ?? ， 得() F x在(]0,1上单增，有()()() 1214 F x F ≤=+=，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移（()00 f x '=） 二次函数()() 12120 2 f x f x x x x =?+= 2、拐点偏移() () f x ''= ()()() 12 0120 22 f x f x f x x x x +=?+= 极值点偏移问题专题（1）——对称化构造（常规套路） 例1（2010 天津）已知函数()e x f x x- =． （1）求函数() f x的单调区间和极值； （2）已知函数() g x的图像与() f x的图像关于直线1 x=对称，证明：当1 x>时， ()() 12201 120 2 2 f x f x x x x x x x =?>- ?+> ()()() 120201 120 22 2 f x f x f x x x x x x x +=?>- ?+>
函数极值点偏移问题
函数极值点偏移问题 在近年的高考和各地的质检考试中，经常可以看到与函数的极值点偏移有关的问题，这类问题由于难度大，往往使得考生望而生畏，不知如何下手，本文试提供一种解题策略，期望对考生有所帮助．先看一道试题： 【例1】（2015年蚌埠市高三一质检试题）已知函数f（x）=xe－x． （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若x1≠x2，f（x1）=f（x2），求证x1+x2＞2．该题意在考查学生运用导数处理有关函数的单调性及极值问题以及综合运用有关知识分析、解决问题的能力和化归转化的数学思想． 解析1．e 第（2）问： 构造函数F（x）=f（1+x）－f（1－x）=（1+x）e－（1+x）－（1－x）ex－1，则F'（x）=x［ex－1－e－（1+x）］， 当x＞0时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）单调递增， 又F（0）=0，∴F（x）＞0，即f（1+x）＞f（1－x）． ∵x1≠x2，不妨设x1＜x2，由（1）知x1＜1，x2＞1，所以f（x1）=f（x2）=f［1+（x2－1）］＞f［1－（x2－1）］=f（2－x2），∵x2＞1，∴2－x2＜1，又f（x）在（－∞，1）上单调递增，∴x1＞2－x2，∴x1+x2＞2． 上述解答，通过构造差函数F（x）=f（1+x）－f（1－x），紧接着对F（x）进行求导，判断性质，不需复杂的变形，切入点好，程序清晰，易操作．其解题本质是x1与2－x2的大小关系不易直接比较时，通过化归转化为比较函数值f（x1）与f（2－x2）的大小关系，再结合f（x）的单调性获得解决．这里的1显然是f（x）的极值点，就是直线y=f（x1）=f（x2）=h被函数y=f（x）图象所截线段中点的横坐标，要证x1+x2＞2，只需证f（x1）＞f（2－x2），因此，问题本质是证极值点偏移问题． 若设f（x）的极值点为x0，则可将上述的解题策略程序化如下： ①构造差函数F（x）=f（x0+x）－f（x0－x） ②对F（x）求导，判断F'（x）的符号，确定F（x）的单调性， ③结合F（0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x0+x）与f（x0－x）的大小关系
3.不含参数的极值点偏移问题
3不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数. 例1：已知函数()()x f x xe x R -=∈ ，如果12x x ≠，且12()()f x f x =. 证明：12 2.x x +> 构造函数()(1)(1),(0,1]F x f x f x x =+--∈， 则0)1()1(')1(')('21>-=--+=+x x e e x x f x f x F ， 所以()F x 在(0,1]x ∈上单调递增，()(0)0F x F >=， 也即(1)(1)f x f x +>-对(0,1]x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则11(0,1]x -∈， 所以11112(1(1))(2)(1(1))()()f x f x f x f x f x +-=->--==， 即12(2)()f x f x ->，又因为122,(1,)x x -∈+∞，且()f x 在(1,)+∞上单调递减， 所以122x x -<，即证12 2.x x +>
法2：由12()()f x f x =，得1212x x x e x e --=，化简得212 1x x x e x -=， 不妨设21x x >，由法一知，1201x x <<<. 令21t x x =-，则210,t x t x >=+，代入式，得11 t t x e x +=， 反解出11 t t x e =-， 则121221t t x x x t t e +=+= +-，故要证122x x +>， 即证221 t t t e +>-， 又因为10t e ->，等价于证明：2(2)(1)0 t t t e +-->， 构造函数()2(2)(1),(0)t G t t t e t =+-->，则()(1)1,()0t t G t t e G t te '''=-+=>， 故()G t '在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G ''>=， 从而()G t 也在(0,)t ∈+∞上单调递增，()(0)0G t G >=， 即证：②式成立，也即原不等式X1+X2＞2成立
(完整版)极值点偏移问题专题.docx
极值点偏移问题专题（0 ）——偏移新花样（拐点偏移） 例 1 已知函数f x2ln x x2x ，若正实数x1，x2满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x2 2 。 证明：注意到 f1=2 ， f x1 +f x2=2f 1 f x1 +f x2=2f1 f x =2 10 +2x x f x =2 2 ， f 1 =0 ，则（1,2）是 f x 图像的拐点，若拐点（1,2）也是 f x 的x2 对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下 想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称化构造”来处理． 不妨设 0 x11x2，要证 x1x22 x22x11 f x2f 2 x1 4f x1f2x1 4f x1f2x1 F x f x f2x， x0,1 ，则 F x f x f2x 2 2x12 2 2x 1 x2x
1 ， 4 1 x 1 0 x 2x 得 F x 在 0,1上单增，有 F x F 1 2 1 4 ，得证。 2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路 1 、极值点偏移（ f x00 ） 二次函数 f x1 f x2x1x22x0f x 1 f x 2 x 2 2x x 1 x1x22x0 2 、拐点偏移 f x00 f x1 f x2 2 f x0 f x1 f x2 2 f x0x2 2x0 x1 x1 x2 2x0 x2 2x0 x1 极值点偏移问题专题（ 1 ）——对称化构造（常规套路） 例 1 （ 2010 天津）已知函数 f x xe x． （1）求函数f x的单调区间和极值； （2）已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x 1对称，证明：当x 1时，
极值点偏移问题专题(二)——函数的选取(操作细节)
这或许是史上最全的极值点偏移系列文章公众号极值点偏移系列文章，关注后按提示word分享 极值点偏移（0）——偏移新花样（拐点偏移） 极值点偏移（1）——对称化构造（常规套路） 极值点偏移（2）——函数的选取（操作细节） 极值点偏移（3）——变更结论（操作细节） 极值点偏移（4）——比值代换（解题方法） 极值点偏移（5）——对数平均不等式（本质回归） 极值点偏移（6）——泰勒展开（本质回归） 极值点偏移（7）——好题精选一题多解23例 其他相关文章 极值点偏移（8）——好题精选一题多解23例 极值点偏移（9）——好题精选一题多解23例
极值点偏移问题专题（二）——函数的选取（操作细节） 例4 已知函数()e x f x ax =-有两个不同的零点1x ，2x ，其极值点为0x ． （1）求a 的取值范围； （2）求证：1202x x x +<； （3）求证：122x x +>； （4）求证：121x x <． 解：（1）()e x f x a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在R 上Z ，()f x 至多有一个零点，舍去；则必有0a >，得()f x 在(),ln a -∞上]，在()ln ,a +∞上Z ，要使()f x 有两个不同的零点，则须有()ln 0e f a a ．（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当x →-∞时，()f x →+∞；当x →+∞时，()f x →+∞）． （3）由所证结论可以看出，这已不再是()f x 的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件： ()e e 0e x x x f x ax ax a x =-=?=?=，记函数()e x g x x =，则有()()12g x g x a ==． 求导得()()2e 1x x g x x -'=，则1是()g x 的极小值点，我们选取函数()g x 来证（3）中结论122x x +>；顺带地，也可证（4）中结论121x x <．
高中数学极值点偏移问题
极值点偏移问题 沈阳市第十一中学数学组：赵拥权 一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b ）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解 分别为 且 < 2） 若函数f(x)满足 有下列之一成立： ①f(x)在 递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) )(x f 的图象关于直线a x 对称若 则 <=> ,( =0, ); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若 则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 ③结合F(0)=0（F(-)=0,F(判断F(x)符号从而确定f(x+),f(( f(x+)与f( f(x)与f(的大小关系; 答题模式： 已知函数y=f(x)满足 ,为函数y=f(x)的极值点,求证： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( 确定F(x)单调性 导数极值点偏移问题 如上图所示，0x 为函数的极值点，0x 处对应的曲线的切线的斜率为0 极值点左移：0212x x x >+，22 1x x x += 处切线与x 轴不平行 极值点右移：0212x x x <+，2 2 1x x x +=处切线与x 轴不平行 由上面图像可知，函数的图像分为凸函数和凹函数。当函数图像为凸函数，且极值点左偏时，有()020' 21' =?? ? ??+x f x x f 。当函数图像为凹函数，且极值点左偏时，()020'21'=>?? ? ??+x f x x f ；当函数图像为凹函数，且极值点右移时，有()020'21'=-=，且03x x <，故()()13x f x f >，即 ()()1202x f x x f >-，故我们可以构造函数()()()1202x f x x f x F --=，只需要判断函数 ()x F 的单调性，然后根据单调性判断函数的最小值，只要满足()0min >x F ，我们就可以得 到0212x x x <+。同理，我们可以得到凸函数极值点左移以及凹函数极值点左移或右移的构造函数。 做题步骤： （1）求极值点0x ； （2）构造函数0()()(2)F x f x f x x =--； （3）判断极值点左移还是右移； （4）若是左移，求导时研究极值点左侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点右侧区间利用()f x 单调性，得出结论；若是右移，求导时研究极值点右侧区间，比较()f x 和0(2)f x x -大小，然后在极值点左侧区间利用()f x 单调性，得出结论； （5）若极值点求不出来，由' 0()0f x =，使用替换的思想，简化计算步骤. 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为)(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为221x x +，则刚好有0212 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则 2 21x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若2 21x x m +>，则称为极值点右偏. 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点221x x +的左边，我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）； 3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠，令2210x x x += ，求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =，令2210x x x +=，求证：0)('0>x f . 三、问题初现，形神合聚 ★函数x ae x x x f ++-=12)(2有两极值点21,x x ，且21x x <. 证明：421>+x x . 所以)2()2(x h x h -<+， 所以)4()]2(2[)]2(2[)()(22221x h x h x h x h x h -=--<-+==， 因为21 极值点偏移问题的两种常见解法之比较 浅谈部分导数压轴题的解法 在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移 问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是： 已知函数y = f(x)是连续函数，在区间(捲卞2)内有且只有一个极值点 x 0，且 f(xj = f (X 2)，若极值 点左右的 增减速度”相同，常常有极值点x o 二为」，我 2 们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的增减速度”不同，函数的图象不 具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为 极值点偏移” 2 极值点偏移问题常用两种方法证明：一是 函数的单调性，若函数f(x)在区 间(a,b)内单调递增，则对区间(a,b)内的任意两个变量x i 、X 2 , f(xj ::： f(X 2)= X i ::： X 2;若函数f (x)在区间(a,b)内单调递减，则对区间(a,b) 内 的任意两个变量x 1> x 2， f (x 1p: f (x 2^ > x 2.二是利用 对数平均不等式”证 明，什么是对数平均”什么又是对数平均不等式” a -b L(a, b) = In a -1 n b a,a =b, 对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是： 85^2， (此式记为对数平均不等式) 下面给出对数平均不等式的 证明: i) 当a 二b 0时，显然等号成立 ii) 当a = b 0时，不妨设a b 0， ①先证..ab ，要证Jab ，只须证：In 空「 a 一” b In aTnb In aTnb b Yb V a / 1 2ln x 二 x ,x 1 x 1 ”21 设 f(x) =2ln x -x ,x 1，贝U f (x) 1 2 两个正数a 和b 的对数平均数定义: (x-1)1 2 X 2 0，所以 f (x) 2 例1已知函数f x =2ln x x x，若正实数x i, X2满足f X i +f x? =4 , 求证:x1x2 -2。 证明：注意到f 1 =2，f +f x2 =2f 1 f x1 +f x2 =2f 1 2 f x = +2x 10 x 不妨设0 ：：：X1乞1乞X2，要证 x-i x2- 2 二x2_ 2「％ -1 二f x2- f 2 -论 =4-f 为-f 2-凶 =4 一f % f 2 - ％ F x = f x f 2 -x , x 0,1 1,则 F x 二f x -f2-x +1 |「丄+2（2_x）+1 丿l2—x 极值点偏移问题专题（0）偏移新花样（拐点偏移） 2 r x = 22，C 1 =0，则（1,2 ）是f X图像的拐点，若拐点（1,2 ）也是f x的x 移”，仍可用“对称化构造”来处理. = 4(1—x) ------------ —1 >0 , (x(2—x)丿 得F x在0,11上单增，有Fx乞F1=2'1=4，得证。 2、极值点偏移PK拐点偏移常规套路 1、极值点偏移(「x0 =0) (1) 求函数f x的单调区间和极值; (2) 已知函数g x的图像与f x的图像关于直线x=1对称，证明：当x 1时, f x g x ; (3) 如果x^=x2，且f x1二f x2，证明： x1x2 2 ? 二次函数f % A f x2 = xi x^ -2x0 2、拐点偏移f x o =0 f x = f x2 = x22x0_ x1 =x1x22x0例1( 2010天津) 已知函数f x i；二xe* ? 』)上/ ’枉(L+?)±\ r y(x)有极大值解:(l)/,(x)=e_I(l-x) r得f (刃在(YD /(1) = - ’无驗卜值; e (2)g(x]的團像与f(x)的團像关于直线x“对称”则g[x)的跡式为$ = /(2-x)， 构iim^F(x)=/(x)-g(x) = /(x)-/(2-x) F(x) = r[x) + /(2-x) 二严(1_工)+严(T 当Q1 时宀―I A O r严-「A0 ’则r(x)>0 ,得F⑴在(l J+ao)±fflS P fl| F(x)>F(l)=O F?/(x)>^(x). (3)由才(坷)=子(花)「结合门刘的单调性可设坯弋让码'将七代入(2 )中不等式得 /(2-巧)f又画<1 , 2-X2 <1 r f又/(码)=/(旳)r故/*(码)A 『(划在(YD±1]上单堵「故^>2-^ t遍+冯>2 + 来源:微信公众号中学数学研讨部落 点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法一一对称化构造的全过程，直观展示如下： 例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数 f x二xe"，已知f = f X2，为X2， 证明X| x22. 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： (1)为,x2的范围0 ：：：x ■■■■ 1 x2 ; (2)不等式f x ■ f 2 -x x 1 ； (3 )将X2代入(2 )中不等式，结合f x的单调性获证结论. 把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题. 2 极值点偏移问题总结 一、判定方法 1、极值点偏移的定义 对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为 )(x f y =),(b a 0x 0)(=x f ，且， 21x x 、b x x a <<<21（1）若 ，则称函数在区间上极值点偏移；02 12x x x ≠+)(x f y =),(21x x 0x （2） 若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点 0212 x x x >+)(x f y =),(21x x 0x 左偏； 0x （3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点02 12 x x x <+)(x f y =),(21x x 0x 0 x 右偏。 2、极值点偏移的判定定理 判定定理1 对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方)(x f y =),(b a 0x 程的解分别为，且， 0)(=x f 21x x 、b x x a <<<21（1）若， 则，即函数在区间上极大（小）0)2( '21>+x x f 021)(2x x x ><+)(x f y =),(21x x 值点右（左）偏； 0x （2）0若， 则，即函数在区间上极大（小）0)2( '21<+x x f 021)(2 x x x <>+)(x f y =),(21x x 值点左（右）偏。 0x 证明：（1）因为可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，)(x f y =),(b a 0x 则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，又 )(x f y =),(0x a ),(0b x ，有 由于，故，所以b x x a <<<21),(221b a x x ∈+02('21>+x x f ),(2 021x a x x ∈+，即函数极大（小）值点右（左）偏。02 1)(2 x x x ><+0x 极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组:赵拥 权 一:极值点偏移（俗称峰谷偏)问题的定义 对于可导函数在区间（ａ,b)上只有一个极大(小）值点,方程(f（x)=m）的解分别为且<<ｂ． 则称函数ｆ（x)在区间(a,b)上极值点偏移； （1）则称函数f（x）在区间（a，b)上极值点偏移; （2）则称函数ｆ(ｘ)在区间（ａ,ｂ)上极值点偏移; 二:极值点偏移的判定定理? 对于可导函数在区间(a，b）上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为且< 拓展: 1） 若)()(x b f x a f -=+,则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地,若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-ｘ）），则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(ｘ)满足 有下列之一成立： ①f(x ）在 递增,在(a,2ａ)递减，且ｆ(a-ｘ）＜(>)f(ａ+x ）(f(x)<(＞)f （2a-x ）） ②f(x)在（０，a)递减，在(a,2a)递增,且f(ａ-x)>(<)f(x+ａ)(f(x ）＞（<)f(2a －x ）） 则函数ｆ（ｘ）在（0，2ａ)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数）其中① 极大值左偏(或右偏)也称峰偏左（或右)②极小值偏左（或偏右)也称谷偏左(或右)； 性质: 1) )(x f 的图象关于直线a x =对称若 则 ＜ =>，(＝0,); ２)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左)若 则 则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数ｆ(x)的极值点； ②构造函数F(x ）=ｆ(x+)－f( (F(ｘ)=ｆ(）-ｆ(, F （x)=f(x+)-ｆ( , Ｆ(x ）=f(x)-f( )确定Ｆ(x)单调性 ③结合F （０)＝0（F(－)=0，F(判断F(x)符号从而确定f （x+),f(( f(ｘ+) 极值点偏移问题沈阳市第十一中学数学组：赵拥权一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义 对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点,方程(f(x)=m)的解分别为且< 拓展： 1） 若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+（或f(x)=f(2a-x)） ，则)(x f 的图象关于直线a x =对称 2） 若函数f(x)满足有下列之一成立： ①f(x)在递增，在(a,2a)递减,且f(a-x)<（>）f(a+x)(f(x)<(>)f(2a-x)) ②f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)) 则函数f(x)在(0,2a)的图象关于直线x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中① 极大值左 偏（或右偏）也称峰偏左（或右）②极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）； 性质： 1) ) (x f 的图象关于直线 a x =对称若则 <=>,(=0,); 2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若则则 ,及 极值点偏移解题步骤： ①求函数f(x)的极值点； ②构造函数F(x)=f(x+)-f( (F(x)=f()-f(, F(x)=f(x+)-f( , F(x)=f(x)-f( )确定F(x)单调性 2020年高考二轮复习极值点偏移专题（教案）鉴于在高考压轴题中极值点偏移问题比较常见，且难度较大，故特将本内容设计成专题，供有需求的老师研究与教学使用。 第一节初识极值点偏移 (2) 第二节极值点偏移判定定理 (6) 第三节不含参数的极值点偏移问题 (14) 第四节含参数的极值点偏移问题 (21) 第五节含对数式的极值点偏移问题 (37) 第六节含指数式的极值点偏移问题 (46) 第七节函数的选取 (54) 第八节极值点偏移终极套路 (82) 第一节 初识极值点偏移 一、极值点偏移的含义 众所周知，函数)(x f 满足定义域内任意自变量x 都有)2()(x m f x f -=，则函数)(x f 关于直线m x =对称；可以理解为函数)(x f 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若)(x f 为单峰函数，则m x =必为 )(x f 的极值点. 如二次函数)(x f 的顶点就是极值点0x ，若c x f =)(的两根的中点为2 2 1x x +，则刚好有02 12 x x x =+，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数)(x f 的极值点为m ，且函数)(x f 满足定义域内m x =左侧的任意自变量x 都有)2()(x m f x f ->或)2()(x m f x f -<，则函数)(x f 极值点m 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数)(x f 定义域内任意不同的实数21,x x 满足)()(21x f x f =，则2 2 1x x +与极值点m 必有确定的大小关系： 若221x x m +<，则称为极值点左偏；若22 1x x m +>，则称为极值点右偏 如函数x e x x g =)(的极值点10=x 刚好在方程c x g =)(的两根中点2 2 1x x +的左边，我们称之为极值点左偏.导数的极值点偏移问题
专题1.1 初识极值点偏移(解析版)-20届高考压轴题讲义(解答题)
极值点偏移问题的两种常见解法之比较
极值点偏移问题专题
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高中数学极值点偏移问题
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【高考二轮课程】数学理科 第21讲 极值点偏移问题专题 教案