圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型

①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；

②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题．

(2)两种解法

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．

[典例] (2018·武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．

(1)若ED ―→＝6DF ―→，求k 的值； (2)求四边形AEBF 的面积的最大值． [思路演示]

解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为x 24＋y 2

＝1，直线AB 的方程为x ＋2y －2＝0.

设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1

y ＝kx ，x 24＋y 2

＝1得(1＋4k 2)x 2＝4，解得x 2＝－x 1＝

1＋4k 2

.① 由ED ―→＝6DF ―→

，得x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， ∴x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k 2

由点D 在直线AB 上，得x 0＋2kx 0－2＝0，∴x 0＝2

1＋2k

. ∴

21＋2k ＝1071＋4k

2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝3

(2)根据点到直线的距离公式和①式可知，点E ，F 到AB 的距离分别为d 1＝|x 1＋2kx 1－2|

＝2(1＋2k ＋1＋4k 2)5(1＋4k 2)

，

d 2＝|x 2＋2kx 2－2|5＝2(1＋2k －1＋4k 2)5(1＋4k 2)，

又|AB |＝22＋12＝5， ∴四边形AEBF 的面积为

S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝1

2·5·4(1＋2k )5(1＋4k 2)

＝2(1＋2k )1＋4k 2＝2

1＋4k 2＋4k

1＋4k 2

＝2

1＋

1＋4k 2

＝2

1＋44k ＋

≤2

1＋

4k ·1k ＝22，

当且仅当4k ＝1k (k >0)，即k ＝1

2时，等号成立．

故四边形AEBF 的面积的最大值为2 2. [解题师说]

由于四边形AEBF 中的四个顶点中，A ，B 为已知定点，E ，F 为直线y ＝kx 与椭圆的交点，其坐标一定与k 有关，故四边形AEBF 的面积可用直线y ＝kx 的斜率k 表示，最后通过变形，利用基本不等式求最值．

[应用体验]

1．已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t ＞0)，且经过F 1，F 2，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，过点Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为

时，求t 的值．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)．

依题意可知，2b ＝|1－9|

2＝4，所以b ＝2.

又c ＝1，故a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆C 的方程为x 25＋y 2

＝1.

(2)由题意，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2＋1.

设Q (x 0，y 0)，因为PM ⊥QM ，

所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1＝x 20＋(y 0－t )2－t 2

－1

＝

－1

(y 0＋4t )2＋4＋4t 2. 若－4t ≤－2, 即t ≥1

，

当y 0＝－2时，|QM |取得最大值， |QM |max ＝4t ＋3＝

322，解得t ＝38＜12(舍去)．若－4t ＞－2，即0＜t ＜1

，当y 0＝－4t 时，|QM |取最大值，且|QM |max ＝4＋4t 2＝322，解得t ＝2

综上可知，当t ＝

24时，|QM |的最大值为32

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．

[典例] (2018·合肥质检)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与

短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y

＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .

(1)求椭圆E 的方程；

(2)设直线x 4＋y

2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若

λ|PM |2＝|PA |·|PB |，求实数λ的取值范围．

[思路演示]

解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 2

2＝1.

由???

x 24＋y 23

＝c 2，x 4＋y 2＝1

得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.

∵直线x 4＋y

2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，

∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0，解得c 2＝1， ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)由(1)得M ???

?1，32， ∵直线x 4＋y

2＝1与y 轴交于P (0,2)，

∴|PM |2＝5

当直线l 与x 轴垂直时，

|PA |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， ∴λ|PM |2＝|PA |·|PB |?λ＝45.

当直线l 与x 轴不垂直时，

设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由?

????

y ＝kx ＋2，3x 2＋4y 2

－12＝0消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，则x 1x 2＝

43＋4k

2，且Δ＝48(4k 2

－1)>0， ∴|PA |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝5

4λ， ∴λ＝4

5????1＋13＋4k 2，

∵k 2>14，∴4

<λ<1.

综上可知，实数λ的取值范围是????45，1. [解题师说]

在关系式λ|PM |2＝|PA |·|PB |中，P ，M 为已知定点，而A ，B 两点是动直线l 与椭圆的交点，故λ与直线l 的斜率有关，应考虑建立λ关于k 的函数关系式求解．

[应用体验]

2．已知椭圆E 的中心在原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率等于22

3，P 是椭圆E 上

的点．以线段PF 1为直径的圆经过F 2，且9PF 1―→·PF 2―→

＝1.

(1)求椭圆E 的方程；

(2)作直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N .如果线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，求直线l 的倾斜角的取值范围．

解：(1)依题意，设椭圆E 的方程为y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)，半焦距为

c .

∵椭圆E 的离心率等于22

，

∴c ＝223a ，b 2＝a 2－c 2＝a 2

. ∵以线段PF 1为直径的圆经过F 2， ∴PF 2⊥F 1F 2. ∴|PF 2|＝b 2

∵9PF 1―→·PF 2―→＝1，∴9|PF 2―→|2＝9b 4a

2＝1.

由???

b 2＝a 29

，

4a 2

＝1，

解得?

????

a 2＝9，

b 2＝1，

∴椭圆E 的方程为y 2

＋x 2＝1.

(2)∵直线x ＝－12与x 轴垂直，且由已知得直线l 与直线x ＝－1

2相交，

∴直线l 不可能与x 轴垂直，

∴设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，

由?????

y ＝kx ＋m ，

9x 2＋y 2＝9

得(k 2＋9)x 2＋2kmx ＋(m 2－9)＝0. ∵直线l 与椭圆E 交于两个不同的点M ，N ， ∴Δ＝4k 2m 2－4(k 2＋9)(m 2－9)>0，即m 2－k 2－9<0. 则x 1＋x 2＝

－2km

k 2＋9

. ∵线段MN 被直线2x ＋1＝0平分，

∴2×x 1＋x 22＋1＝0，即－2km k 2＋9＋1＝0.

由?

????

m 2

－k 2

－9<0，－2km k 2＋9＋1＝0得????k 2＋92k 2－(k 2＋9)<0.

∵k 2＋9>0，∴k 2＋9

4k 2

－1<0，

∴k 2>3，解得k >3或k <－ 3.

∴直线l 的倾斜角的取值范围为????π3，π2∪????

π2，2π3.

1．(2018·广东五校协作体诊断)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，

线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 分成了3∶1的两段．

(1)求椭圆的离心率；

(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC ―→＝2CB ―→

，当△AOB 的面积最大时，求直线l 的方程．

解：(1)由题意知，c ＋b

2＝3????c －b 2，所以b ＝c ，a 2＝2b 2，所以e ＝c

a ＝

1－????b a 2＝22.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝ky －1(k ≠0)，

因为AC ―→＝2CB ―→

，所以(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)，即2y 2＋y 1＝0.①

由(1)知，a 2＝2b 2，所以椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.

由?

????

x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2消去x ，得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2k k 2＋2.②

由①②知，y 2＝－

2k k 2

＋2，y 1＝4k

k 2＋2

因为S △AOB ＝12|y 1|＋1

|y 2|，

所以S △AOB ＝3·|k |k 2＋2

＝3·1

2|k |＋|k |≤3·

122|k |

·|k |＝32

4，当且仅当|k |2＝2，

即k ＝±2时取等号，

此时直线l 的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1，即x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0. 2.

(2018·惠州调研)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A (2,0)，左、右焦点分

别为F 1，F 2，过点A 且斜率为1

2的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在

x 轴上的射影恰好为点F 1.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)过点P 且斜率大于1

2的直线与椭圆交于M ，N 两点(|PM |＞|PN |)，若S △PAM ∶S △PBN ＝λ，

求实数λ的取值范围．

解：(1)因为BF 1⊥x 轴，所以点B ???

?－c ，－b

a ，由?????

a ＝2，

2a (a ＋c )a 2

＝b 2

＋c 2

，

＝1

，解得?????

a ＝2，

b ＝3，

c ＝1，

所以椭圆C 的标准方程是x 24＋y 2

＝1.

(2)因为S △PAM S △PBN ＝1

2|PA |·|PM |·sin ∠APM

2|PB |·|PN |·sin ∠BPN ＝2|PM ||PN |＝λ，所以|PM ||PN |＝λ

2(λ＞2)，

所以PM ―→＝－λ

PN ―→.

由(1)可知P (0，－1)，设直线MN ：y ＝kx －1????k ＞12， M (x 1

，y 1)，N (x 2，y 2)，

联立?????

y ＝kx －1，x 24＋y 2

3＝1消去y ，

化简得(4k 2＋3)x 2－8kx －8＝0.

则?????

x 1＋x 2＝8k 4k 2＋3

，

x 1x 2

＝－8

4k 2

＋3

.(*)

又PM ―→＝(x 1，y 1＋1)，PN ―→＝(x 2，y 2＋1)，则x 1＝－λ

2x 2.

将x 1＝－λ

2x 2代入(*)可得，(2－λ)2λ＝16k 24k 2＋3.

因为k ＞12，所以16k 24k 2＋3＝16

k 2

＋4∈(1,4)，

则1＜(2－λ)2

λ＜4，且λ＞2，解得4＜λ＜4＋23，所以实数λ的取值范围为(4,4＋23)．

3．(2018·广西三市第一次联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2

2＝1(a >b >0)过点

???

?1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；

(2)过点????

12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．

解：(1)∵椭圆C 过点????1，32，∴1a 2＋9

2＝1，① ∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点，∴a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3

4a 2，②

由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

(2)依题意，直线l 过点????12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12

. 由???

x ＝my ＋1

2，

x 2

4＋y 2

3＝1

消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.

设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m

3m 2＋4，

∴y 0＝

y 1＋y 22＝－3m

2(3m 2＋4)

， ∴x 0＝my 0＋12＝2

3m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m 4m 2＋4.

①当m ＝0时，k ＝0； ②当m ≠0时，k ＝

14m ＋

，

∵4m ＋4m ＝4|m |＋4

|m |≥8，

∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤1

且k ≠0.

综合①②可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是－18，1

4．已知圆x 2

＋y 2

＝1过椭圆x 2a 2＋y 2

2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，

直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2

＋y 2

＝1相切，与椭圆x 2a 2＋y 2b

2＝1相交于A ，B 两点．记λ＝OA ―→·OB ―→

，

且23≤λ≤34

. (1)求椭圆的方程； (2)求k 的取值范围；

(3)求△OAB 的面积S 的取值范围．解：(1)由题意知2c ＝2，所以c ＝1.

因为圆与椭圆有且只有两个公共点，从而b ＝1，

故a ＝2，所以所求椭圆方程为x 22＋y 2

＝1.

(2)因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，所以原点O 到直线l 的距离为

|m |

12＋k 2

＝1，即m 2＝k 2＋1.由????

y ＝kx ＋m ，x 22

＋y 2＝1，

消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－2

1＋2k 2

λ＝OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2

＝k 2＋11＋2k 2，由23≤λ≤34，得12≤k 2≤1，

即k 的取值范围是??

??－1，－

22∪???

?22，1. (3)|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝

2－2

(2k 2＋1)2

，由12≤k 2≤1，得62≤|AB |≤43. 设△OAB 的AB 边上的高为d ，则S ＝12|AB |d ＝1

2|AB |，

所以

64≤S ≤23

，即△OAB 的面积S 的取值范围是

???

?64，23