二次函数定轴动区间和动轴定区间习题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】
定轴动区间
1.求函数y=x2-2x-3在x∈【-2，m】上的最大值
2.求函数y=x2-2x+3在x∈【0，m】上的最小值
3.求函数f（x）= y=x2-4x-4在x∈【t，t+1】上的最值
4.求函数y=-x2+4x-2在定义区间【0，m】上的最值
5.求函数f（x）=（x-1）2+1在x∈【t，t+1】上的最值
动轴定区间
1.求函数y=x2+2a-3在x∈【-2,4】上的最大值
2.求函数f（x）=-x2+2ax+1-a在x∈【0,1】上的最小值
3.求函数f（x）=x2+2ax+1在x∈【-1,2】上的最值
4.求函数f（x）=-x（x-a）在定义区间【-1,1】上的最值
5.求函数f（x）= ax2+2ax+1在x∈【-3,2】上的最值
二次函数动轴与动区间问题
二次函数在闭区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习.已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标
不在区间 ，如图2所示。函数 的最小值为 ，最大值为 。 图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2.如果函数定义在区间上，求 的最小值。 解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有 ，此时，当 时，函数取得最小值 。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有 ，即 。当 时，函数取得最小 值 。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 。当 时，函数取得最小值 综上讨论， ?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f
精二次函数动轴动区间问题
精二次函数动轴动区间问 题 The pony was revised in January 2021
二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] -?b a m n 2，时 若-
（一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定； （2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1.轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 。 图1 练习.已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。 图2
(精)二次函数动轴与动区间问题
二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ? ?? b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是 f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若- 定区间动轴法求区间最值
“定区间动轴法”求区间最值 所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间[,]a b （或(,)a b ）标在数轴上，无论该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴0x a <、a ≤0x ≤b 、0x b >三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分02 a b x +< 和0x ≥ 2 a b +两种情况进行讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行. 1．条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值 例1已知2()43,f x x x x R =++∈，函数()g t 、()h t 表示函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值，最大值，求()g t 、()h t 表达式. 分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间[,1]t t +在数轴上相对固定，让对称轴2x =-的区间[,1]t t +内外移动，即分成2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值.而只需分 2-≤ (1)2t t ++与(1) 22 t t ++->两种情况讨论便可求出()f x 在区间[,1]t t +上的最大值. 解：由22()43(2)1f x x x x =++=+-，知图象关于2x =-对称，结合图象知， 当2t -<，即2t >-时，2()()43g t f t t t ==++； 而当t ≤2-≤1t +，即3-≤t ≤2-时，()(2)g t f =-
2019年人教版高中数学必修一考点练习：动轴定区间与定轴动区间(含答案解析)
二次函数动轴定区间与定轴动区间问题 一、单调性 1. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a 的取值范围为( ) A ．[8，＋∞) B ．(－∞，8] C ．[4，＋∞) D ．[－4，＋∞) 2. 二次函数y ＝3x 2＋2(m －1)x ＋n 在区间(－∞，1)上是减函数，在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数m ＝________. 3. 若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3在[－1，＋∞)上递减，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－∞，－1] D ．[－1,0] 二、动轴定区间 1. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 2. 求函数在区间上的最小值． ()221f x x ax =+-[]0,33. 已知二次函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值．
4. 已知值域为[－1，＋∞)的二次函数f (x )满足f (－1＋x )＝f (－1－x )，且方程f (x )＝0的两个实根x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝2. (1)求f (x )的表达式； (2)函数g (x )＝f (x )－kx 在区间[－1,2]上的最大值为f (2)，最小值为f (－1)，求实数k 的取值范围． 5. 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 6. 函数． ()23f x x ax =++（1）当时，恒成立，求得取值范围；x R ∈()f x a ≥a （2）当时，恒成立，求的取值范围； []2,2x ∈-()f x a ≥a 三、定轴动区间 1. 若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( ) A ．[－3,3] B ．[－1,3] C ．{－3,3} D ．{－1，－3,3}
精二次函数动轴动区间问题
二次函数在闭区间上的最值 f (m)、f(n)中的较大者。 (2)当—m，n 时 2a K 右m，由f(x)在m，n上是增函数则f (x)的最小值是f (m)，最大值是f (n) 2a K 右n，由f (x)在m，n上是减函数则f (x)的最大值是f (m)，最小值是f (n) 2a 当a 0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： (一)、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：(1)轴定，区间定；(2)轴定， 区间变；(3)轴变，区间定；(4)轴变，区间变。 1.轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的 最值”。 2 例1.函数y x 4x 2在区间［0，3］上的最大值是 __________________ ，最小值是_______ 。 一、知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况 ax2 般分为: 设f(X) 分析：将 bx c(a 0)，求f (x)在x ［m，n］上的最大值与最小值。 b 4a c b2 ，、对称轴为 2a 4a f (x)配方，得顶点为 b 2a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 (1)当— 2a m，n 时，f (x)的最小值是f — 2a n］上f (x)的最值： 4ac b2 4ac b，f (x)的最大值是4a [m， 练习?已知2x23x，求函数f(x) 图1
2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在 动区间上的最值”。 2x 3 ，当x [t ， t 1](t R)时，求f(x)的最大值. O 二次函数的区间最值结合函数图象总结如下: 例5. (1)求f(x) x 2 2ax 1在区间[-1,2]上的最大值。 当 a 0 时 f(X )max b 1 f (m), (m n)(如图 1) -. f(x)min b 1 f (n), (m n)(如图2) 2a 2 f(n), 2- 2a b f( ), m 2a b 2a n(如图 3) —n(如图4) 2a f(m), m(如图5) 当 a 0 时 f(X )max f g 2a f(存m f (m ),舟 n(如图 6) b 2a f(m), n(如图7) f (x) min m(如图8) 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象 是运动的, 种情况是“动二次函数在定区间上的最值” 。 例4.已知x 2 1，且a 2 0，求函数f (x) X 2 f(n), b 2a _b 2a g(m n)(如图9) -(m n)(如图10) 2 但定义域区间是固定的, ax 3的最值。 我们称这 例2.如果函数f(X ) (X 1)2 1定义在区间t, 例3.已知f(x) x? 图2 1上，求f (x)的最小值。 7 y i i □ t 1 t+i o 图 图 图8 1 1 L t+1
二次函数动轴与动区间问题 (2)
， ? 、对称轴为 b ? b ? 4ac - b 2 （2）当 - [ ] ? m ，n 时 [ ] 若 - < m ，由 f ( x ) 在 m ，n 上是增函数则 f ( x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是 f (n ) [ ] 若 n < - ，由 f ( x ) 在 m ，n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m ) ，最小值是 f (n ) 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为： 对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设 f ( x ) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0) ，求 f ( x ) 在 x ∈[m ，n ] 上的最大值与最小值。 ? b 分析：将 f ( x ) 配方，得顶点为 - ? 2a 4ac - b 2? 4a ? x =- b 2a 当 a > 0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f ( x ) 的最值： （ 1 ）当 - ∈ m ，n 时 ， f ( x ) 的 最 小 值 是 f - ? = 2a ? 2a ? 4a ，f ( x ) 的 最 大 值 是 f (m ) 、f (n ) 中的较大者。 b 2a b 2a b 2a 当 a < 0 时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往 往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定， 区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定 区间上的最值”。 例 1. 函数 y = - x 2 + 4 x - 2 在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 。 图 1 练习. 已知 2 x 2 ≤ 3x ，求函数 f ( x ) = x 2 + x + 1 的最值。
高中数学轴定区间动 轴动区间定专题辅导
轴定区间动 轴动区间定 祁正红 二次函数在闭区间上的最值分为两种情况，一种是轴定区间动，另一种是轴动区间定，不论哪种情况，都可分为对称轴在区间左侧，在区间内，在区间右侧三种情况来分类讨论，下面利用数形结合给出)0a (c bx ax y 2≠++=在[m ，n]上的最值。只讨论0a >的情形。 （1）对称轴在区间左侧，即m a 2b <- 时，)m (f y ),n (f y min max ==。 （2）对称轴在区间内，即n a 2b m ≤-≤时，)a 2b (f y )},n (f ),m (f max{y min max -== （3）对称轴在区间右侧，即n a 2b >-时，)n (f y ),m (f y min max == 一、轴定区间动 设二次函数1x 4x )x (f 2--=在[t ，t+2]上的最小值为)t (g ，试求函数)t (g y =的最小值。 解：5)2x (1x 4x )x (f 22--=--=的图像对称轴方程为2x =，图像开口向上。 （1）当5)2(f )t (g ,2t 0,2t 2t ],2t ,t [2-==≤≤+≤≤+∈时也就是即； （2）当2t >时，对称轴在]2t ,t [+左侧，]2t ,t [)x (f +在上是增函数，故1t 4t )t (f )t (g 2--==； （3）当22t <+时，即]2t ,t [)x (f ,0t +<在时上是减函数，5t 1)2t (4)2t ()2t (f )t (g 22-=-+-+=+=。 综合上面讨论，)t (g 的解析式为： ?????<-≤≤->--=) 0t (,5t ) 2t 0(,5)2t (,1t 4t )t (g 22 所以5)t (g -最小值为。 二、轴动区间定 已知函数1ax 2x )x (f 2++=在区间]2,1[-上最大值为4，求a 的值。 解：222a 1)a x (1ax 2x )x (f -++=++=。 图像是开口向上的抛物线，对称轴方程为直线a x -=。 （1）]2,1[)x (f ,1a ,1a ->-<-在时即上单调递增，41a 44)2(f )]x (f [max =++==，解得：1a 41a >-=与矛盾，故舍去。 （2）2a 1≤-≤-，即1a 2≤≤-时，最小值在顶点处取得，最大值在两端点处得到。 若1a 44)2(f )x (f max ++==， 得4 1a -= 若41a 21)1(f )x (f max =+-=-=，得1a -=。 所以1a ,4 1 a -=-=，均符合题意。 （3）]2,1[)x (f ,2a ,2a --<>-在时即上单调递减，,41a 21)1(f )x (f max =+-=-= 1a -=得与2a -<矛盾，舍去。
“定区间动轴法”求区间最值
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* “定区间动轴法”求区间最值 所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间[,]a b （或(,)a b ）标在数轴上，无论该区间是动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴0x a <、a ≤0x ≤b 、0x b >三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分02 a b x +< 和0x ≥ 2 a b +两种情况进行讨论.这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行. 1．条件中给出区间，直接采用“定区间动轴法”求区间最值 例1已知2 ()43,f x x x x R =++∈，函数()g t 、()h t 表示函数()f x 在区间 [,1]t t +上的最小值，最大值，求()g t 、()h t 表达式. 分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间[,1]t t +在数轴上相对固定，让对称轴2x =-的区间[,1]t t +内外移动，即分成2t -<；t ≤2-≤1t +；21t ->+三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数()f x 在区间[,1]t t +上的最小值.而只需分2-≤ (1)2t t ++与(1) 22 t t ++->两种情况讨论便可求出()f x 在区间[,1]t t +上的最大值. 解：由2 2 ()43(2)1f x x x x =++=+-，知图象关于2x =-对称，结合图象知， 当2t -<，即2t >-时，2 ()()43g t f t t t ==++； 而当t ≤2-≤1t +，即3-≤t ≤2-时，()(2)1g t f =-=-
二次函数动轴与动区间问题
二次函数动轴与动区间 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ? ?? b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???= -2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-二次函数动轴与动区间问题
二次函数在闭区间上得最值 一、知识要点: 一元二次函数得区间最值问题,核心就是函数对称轴与给定区间得相对位置关系得讨论。一般分为：对称轴在区间得左边,中间,右边三种情况、 设,求在上得最大值与最小值。 分析:将配方,得顶点为、对称轴为 当时,它得图象就是开口向上得抛物线,数形结合可得在[m,n]上得最值: (１)当时,得最小值就是得最大值就是中得较大者。 (2）当时 若,由在上就是增函数则得最小值就是,最大值就是 若，由在上就是减函数则得最大值就是,最小值就是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： (一)、正向型 就是指已知二次函数与定义域区间,求其最值。对称轴与定义域区间得相互位置关系得讨论往往成为解决这类问题得关键。此类问题包括以下四种情形:（1)轴定,区间定;(2）轴定,区间变;（3)轴变,区间定;(４)轴变,区间变。 1、轴定区间定 二次函数就是给定得,给出得定义域区间也就是固定得,我们称这种情况就是“定二次函数在定区间上得最值”。 例1、函数在区间[０,３]上得最大值就是_____＿＿＿_,最小值就是___＿＿_＿。 解:函数就是定义在区间[0,３]上得二次函数,其对称轴方程就是，顶点坐标为（2,2）,且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在［0,3］上, 如图1所示。函数得最大值为,最小值为。 图１ 练习、已知,求函数得最值。 解:由已知,可得,即函数就是定义在区间上得二次函数。将二次函数配方得 ,其对称轴方程,顶点坐标,且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内,如图2所示。函数得最小值为，最大值为。 图2 2、轴定区间变 二次函数就是确定得,但它得定义域区间就是随参数而变化得，我们称这种情况就是“定函数在动区间上得最值”。 例２、如果函数定义在区间上，求得最小值。 解:函数,其对称轴方程为,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。
(精)二次函数动轴动区间问题
精心整理 二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ? ??b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()f n ()中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-
图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2.如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[ t t ，图1图2图例3.已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，。 当a >0时 ??? ≥-2 12)()(2如图，a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)(543如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f 当a <0时??? ? <-≤)(2)()(22))(876max 如图如图如图，m a b m f n a b a x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+????? ??，，如图如图212212910 3、轴变区间定 二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例4.已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。 解。 图3
(精)二次函数动轴与动区间问题
二 次函数在闭区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]- ?b a m n 2，时 若-