高考数学压轴专题《平面向量及其应用》难题汇编doc

一、多选题1．题目文件丢失！

2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A ．||||||a b a b ?≤

B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c =

C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是

5,3??-+∞ ???

3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ?=

D ．()

4BC a b ⊥+

4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（）

A ．()

a c

c a b c ?-?=-? B ．()

()

b c a c a b ??-??与c 不垂直 C ．a b a b -<-

D ．(

)()

323294a b a b a b +?-=-

5．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（） A ．ABC 的外接圆的直径为4.

B ．若4A

C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =

D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 6．以下关于正弦定理或其变形正确的有（） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b

C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立

D ．在ABC 中，

sin sin sin +=+a b c

A B C

7．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（）

A ．

B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解

C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解

D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解

8．下列关于平面向量的说法中正确的是（）

A ．已知A 、

B 、

C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ?=?且0b ≠，则a c =

C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=

D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ< 9．在ABC 中，若30B =?，23AB =，2AC =，则C 的值可以是（） A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

10．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（） A ．21 B ．61

C ．41

D ．25

11．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，

则（）

A ．1

AF AD AB =+ B ．1

()2

EF AD AB =

+ C ．2133

AG AD AB =

- D ．3BG GD = 12．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（）

A ．sin :sin :sin 4:5:6A

C = B ．ABC ?是钝角三角形

C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍

D ．若6c =，则ABC ?87

13．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）

A ．若a b >，则sin sin A

B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形

D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形

14．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（）

A ．11

22AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133

BM BA BD =

+ D ．12

CM CA CD =

15．下列各组向量中，不能作为基底的是（） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-

C ．()13,4e =-，23

4,55??=-

???

e D ．()12,6=e ，()21,3=--e

二、平面向量及其应用选择题

16．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得

45BDC ∠=?，则塔AB 的高是（单位：m ）（）

A ．2

B ．106

C ．103

D ．10

17．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230

OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ?的形状是（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．不能确定

18．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（）

A ．a 与b 的夹角为αβ-

B ．a b ?的最大值为1

C ．2a b +≤

D ．()()

a b a b +⊥-

19．若△ABC 中，2

sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（） A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

20．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，且1

||||2AB AC AB AC =，则ABC ?的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形

D ．等边三角形

21．下列说法中说法正确的有（）

①零向量与任一向量平行；②若//a b ，则()a b R λλ=∈；

③()()a b c a b c ??=??④||||||a b a b +≥+；⑤若0AB BC CA ++=，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底； A ．①④

B ．①②④

C ．①②⑤

D ．③⑥

22．在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4

B ．3

C ．-4

D ．5

23．ABC 中，5AB AC ==，6BC =，则此三角形的外接圆半径是（） A ．4

B ．

C ．

258

D ．

259

24．在ABC ?中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ?、PBC ?、PCA ?、PAB ?的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记

i S S

λ=（1,2,3i =），则23λλ?取到最大值时，2x y +的值为（） A ．－1

B ．1

C ．32

D ．

25．已知圆C 的方程为2

(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x

上，线段AB 为圆C

的直径，则PA PB ?的最小值为（） A ．2

B ．

C ．3

D ．

26．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →

→

?=?=?，则ABC 的形状为（）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形

D ．不确定

27．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1

BD DC =

，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（）

A ．m n +是定值，定值为2

B ．2m n +是定值，定值为3

C ．

m n +是定值，定值为2 D ．

m n

+是定值，定值为3 28．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

29．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a =（）

A ．12

B ．

C ．-2

D ．2

30．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 31．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若

(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（）

A ．316

- B ．

316 C ．

D ．12

32．在ABC ?中，下列命题正确的个数是（）

①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ?的内心，且

()()20OB OC OB OC OA -?+-=，则ABC ?为等腰三角形；④0AC AB ?>，则

ABC ?为锐角三角形．

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

33．如图，在ABC 中，14AD AB →

→=，12

AE AC →→

=，BE 和CD 相交于点F ，则向量

AF →

等于（）

A ．1277A

B A

C →→

B ．1377AB A

C →→

C ．121414

AB AC →→

+ D ．131414

AB AC →→

+ 34．奔驰定理：已知O 是ABC ?内的一点，BOC ?，AOC ?，AOB ?的面积分别为A S ，

B S ，

C S ，则0A B C S OA S OB S OC ?+?+?=．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的

结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz ）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若O 是锐角ABC ?内的一点，A ，B ，C 是ABC ?的三个内角，且点

O 满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则必有（）

A ．sin sin sin 0A OA

B OB

C OC ?+?+?= B ．cos cos cos 0A OA B OB C OC ?+?+?= C ．tan tan tan 0A OA B OB C OC ?+?+?=

D ．sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ?+?+?=

35．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若

()2

2S a b c +=+，则cos A 等于（）

A ．

B ．45

C ．

1517

D ．1517

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】

对于A ，由平面向量数量积定义可知解析：AC 【分析】

根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D.

【详解】

对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ?=，则||||||a b a b ?≤，所以A 正确，

对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，

对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即

22||||a b a b -?=，cos 1θ=-，

则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ?+>即2||0a a b λ+?>可得530λ+>，解得53

λ>-

，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+?= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5

λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】

本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.

3．ABD 【分析】 A.

根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据，，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长

解析：ABD 【分析】

A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；

B.根据2AB a =，

2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1

a AB

b BC =

=，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ?=-，利用数量积运算判断. 【详解】

A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；

B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；

C. 因为1,2a AB b BC =

=，所以11

22cos120122

a b BC AB ?=?=????=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ?=-，所以()()

444440BC a b b a b a b b ?+=?+=?+=-+=，所以()

4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．ACD 【分析】

A ，由平面向量数量积的运算律可判断；

B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；

C ，由与不共线，可分两类考虑：①若，则显然成立；②若，由、、构成三角形的三边可进行判断；

D ，由平

解析：ACD 【分析】

A ，由平面向量数量积的运算律可判断；

B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；

C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；

D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】

选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，

()()()()()()()()

0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ????-???=???-???=???-???=??

， ∴()()b c a c a b ??-??与c 垂直，即B 错误；

选项C ，∵a 与b 不共线，

∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；

若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：

由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；

选项D ，()()

223232966494a b a b a a b a b b a b +?-=-?+?-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】

本小题主要考查向量运算，属于中档题.

5．ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】

解：由正弦定理得，故正确；对于，，选项：如图

解析：ABD 【分析】

根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可．【详解】

解：由正弦定理得2

24sin sin30AB R ACB =

==∠?

，故A 正确；

对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数．易知当

x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解；当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；

当AD AB AC <<，即1

x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．

故B ，D 正确，C 错误．故选：ABD ．

【点睛】

本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．

6．ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A+2B ＝π，即得a ＝b 或a2+b2＝c2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中

解析：ACD 【分析】

对于A ，由正弦定理得a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；对于B ，由题得A ＝B 或2A +2B ＝π，即得a ＝b 或a 2+b 2＝c 2，故该选项错误；对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；对于D ，由正弦定理可得右边＝2sin 2sin 2sin sin R B R C

R B C

+=+＝左边，故该选项正确.

【详解】

对于A ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得a ：b ：c ＝2R sin A ：2R sin B ：2R sin C ＝sin A ：sin B ：sin C ，故该选项正确；

对于B ，由sin2A ＝sin2B ，可得A ＝B 或2A +2B ＝π，即A ＝B 或A +B ＝2

，∴a ＝b 或a 2+b 2

＝c 2，故该选项错误；

对于C ，在ABC 中，由正弦定理可得sin A ＞sin B ?a ＞b ?A ＞B ，因此A ＞B 是sin A ＞sin B 的充要条件，故该选项正确；

对于D ，由正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===，可得右边＝2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C

R B C B C ++==++＝左边，故该选项正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理及其变形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

7．ABC

【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若为锐角，当时，三角形有唯一解；当时，三角形有两解；当时，三角形无解：当时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于，因为为锐角且，所以三角

解析：ABC 【分析】

根据判断三角形解的个数的结论：若B 为锐角，当c b <时，三角形有唯一解；当

sin c B b c <<时，三角形有两解；当sin c B b >时，三角形无解：当sin c B b =时，三角形有唯一解.逐个判断即可得解. 【详解】

对于A ，因为B 为锐角且45c b =<=，所以三角形ABC 有唯一解，故A 错误；

对于B ，因为B 为锐角且sin 4 3.9c B b c ===<，所以三角形ABC 有两解，故B 错误；

对于C ，因为B 为锐角且 sin 43c B b ==>=，所以三角形ABC 无解，故C 错误；

对于D ，因为B 为锐角且sin 422

c B b =?=>=，所以三角形ABC 无解，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题考查了判断三角形解的个数的方法，属于基础题.

8．AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】

解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共

解析：AC 【分析】

根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】

解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；

由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以

||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；

设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ?的重心，则2GA GB GM +=，而

2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；

()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=?->解得1λ<，且a

与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；

故选：AC ．【点睛】

本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题．

9．BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】

由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

解析：BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得sin C =()0,150C ∈??即可得解. 【详解】

由正弦定理可得sin sin AB AC C B =

，所以1

sin 2sin 2AB B C AC ?===，又30B =?，所以()0,150C ∈??，所以60C =?或120C =?. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

10．AB 【分析】

在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】

中，因为，，面积，所以，所以，解得或，

当时，由余弦定理得：，解得，

当时，由余弦定理得：，解得所以或

解析：AB 【分析】

在ABC 中，根据4a =，5b =，由1

sin 2

ABC

ab C =

=60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.

【详解】

ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABC

所以1

sin 2

ABC

ab C =

所以sin 2

C =

，解得60C =或120C =，当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，

解得c =

当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，

解得c =

所以c =c =故选：AB 【点睛】

本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得、、、，即可判断选项的正误【详解】，即A 正确，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有

∴，即C 错误同理，

解析：AB 【分析】

由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+

、1

()2

EF AD AB =+、21

33AG AD AB =

+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 11

AF AD DF AD DC AD AB =+=+

=+，即A 正确 11

()()22

EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确

连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示

由其性质有||||1

||||2

GF GE AG CG == ∴211121

()333333

AG AE AC AD AB BC AD AB =

+=++=+，即C 错误同理21212

()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =

+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1

()3

GD AD AB =-

∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】

本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系

12．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为

所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大，又，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=

所以可设：91011a b x a c x b c x +=??

+=??+=?

（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===

所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，

又222222(4)(5)(6)1

cos 022458

a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错

误；

由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，

又222222(6)(5)(4)3

cos 22654

c b a x x x A cb x x +-+-===??，

所以2

cos22cos 18

A A =-=

，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??

∈ ??

所以2A C =，所以C 正确；由正弦定理得：2sin c R C =

，又sin 8

C ==

所以

2R =

，解得：7

R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

13．AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】

对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2

A B π

，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；

对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，

所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，

sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，

因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2

A π

=，ABC 是直角三角形，故③正确；

对D ，因为2

0a b c +->，所以222

cos 02a b c A ab

+-=>，A 为锐角.

但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

14．ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得为三等分点靠近点的点.

对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得，故A 正确；对于B 选项，，由于为三

解析：ABD 【分析】

根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】

解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.

对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得11

AD AB AC =

+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，

2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；

对于C 选项，()

2212

=3333

BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()

2212

3333

CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD

【点睛】

本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.

15．ACD 【分析】

依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】

A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；

B 中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属

解析：ACD 【分析】

依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】

A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；

B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．【点睛】

本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.

二、平面向量及其应用选择题

16．B 【分析】

设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，从而有

x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求 BC ，从而可求x 即塔高．【详解】

设塔高为x 米，根据题意可知在△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x ，

从而有x ，x ，在△BCD 中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，sin sin BC CD

BDC CBD

可得，BC=

10sin 45sin 303

x ==.

则；

所以塔AB 的高是米；故选B ．【点睛】

本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解． 17．C 【分析】

根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】

由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ?的外心，又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ?的重心，所以点O 既是123PP P ?的外心，又是123PP P ?的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C 【点睛】

本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 18．D 【分析】

由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ?，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算

()()a b a b +?-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.

【详解】

()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得

1b =，

a 与

b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.

对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且

()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；

对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，

()cos cos 1,1a b a b θθ?=?=∈-，B 选项错误；

对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选项错误；对于D 选项，(

)()

220a b a b a b a b +?-=-=-=，所以，()()

a b a b +⊥-，D

选项正确. 故选：D. 【点睛】

本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 19．A 【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】

ABC ?中，sin()sin A B C +=，

∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，

整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，

cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），

0A π<<

90A ∴=?，

则此三角形形状为直角三角形．故选：A 【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 20．D

先根据0||||AB AC BC AB AC ??

+= ? ???

，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】

解：0||||AB AC BC AB AC ??+= ? ???

，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直， AB AC ∴=，

cos ||||2

AB AC A AB AC =

=，

A π

∴∠=

，

B C A π

∴∠=∠=∠=

，

∴三角形为等边三角形．

故选：D ．【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题． 21．A 【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果. 【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

对于②：若//a b ，则()a b R λλ=∈，必须有0b ≠，故②错误；对于③：()()

a b c a b c ??=??，a 与c 不共线，故③错误；对于④：a b a b +≥+，根据三角不等式的应用，故④正确；

对于⑤：若0AB BC CA ++=，则,,A B C 为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误. 综上：①④正确. 故选：A. 【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题． 22．C

2018年高考数学试题分类汇编-向量

1 2018高考数学试题分类汇编—向量一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学大题经典习题(2020年九月整理).doc

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则 ()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ?? ? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

全国名校高考数学经典复习题汇编(附详解)专题：可行域

全国名校高考数学经典复习题汇编（附详解）专题：可行域 1．(全国名校·沈阳四校联考)下列各点中，与点(1，2)位于直线x ＋y －1＝0的同一侧的是( ) A ．(0，0) B ．(－1，1) C ．(－1，3) D ．(2，－3) 答案 C 解析点(1，2)使x ＋y －1>0，点(－1，3)使x ＋y －1>0，所以此两点位于x ＋y －1＝0的同一侧．故选C. 2．不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)≤0表示的平面区域为( ) 答案 B 解析方法一：可转化为①?????x ＋2y ＋1≥0，x －y ＋4≤0或②? ????x ＋2y ＋1≤0，x －y ＋4≥0. 由于(－2，0)满足②，所以排除A ，C ，D 选项．方法二：原不等式可转化为③?????x ＋2y ＋1≥0，－x ＋y －4≥0或④? ??? ?x ＋2y ＋1≤0，－x ＋y －4≤0. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示上面的区域，④表示下面的区域，故选B. 3．(全国名校·天津，理)设变量x ，y 满足约束条件?????2x ＋y ≥0， x ＋2y －2≥0， x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( ) A.2 3 B ．1

C.32 D ．3 答案 D 解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最大值在B(0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3，选项D 符合． 4．设关于x ，y 的不等式组???? ?2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0，表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0 ＝2，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，4 3) B ．(－∞，1 3) C ．(－∞，－2 3) D ．(－∞，－5 3 ) 答案 C 解析作出可行域如图．图中阴影部分表示可行域，要求可行域包含y ＝1 2x －1的上的点，只需要可行域的边界点(－ m ，m)在y ＝12x －1下方，也就是m<－12m －1，即m<－2 3 . 5．(全国名校·北京，理)若x ，y 满足???? ?2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C

高考数学19个专题分章节大汇编

高考理科数学试题分类汇编：1集合一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134，， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12，【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是