高考理科数学必会知识点总结

高考理科数学必会知识点总结

§1集合与简易逻辑

一、集合间的关系及其运算

（1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，如立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号“??,”或“?，”或“”等是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直

线(面)的关系 。

（2）A B = ；A B = ；U C A = . （3）交、并、补的运算性质：对于任意集合A 、B ，();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==

切记：A B A B A ???=?A B A B B ???=. （4）集合中元素的个数的计算：

若集合A 中有n 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2n

，所有真子集的个数是(2n

－1)，所有非空真子集的个数是(2n

－2)。

二、常用逻辑用语： 1、四种命题：

⑴原命题：若p 则q ；⑵逆命题：若q 则p ；⑶否命题：若?p 则?q ；⑷逆否命题：若?q 则?p 注：1、原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。判断命题真假时注意转化。

2、注意命题的否定与否命题的区别：命题p q ?否定形式是p q ??；否命题是p q ???.命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”；“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”.

3、逻辑联结词：

⑴且(and) ：命题形式 p ∧q ； p q p ∧q p ∨q ?p ⑵或（or ）： 命题形式 p ∨q ； 真 真 真 真 假 ⑶非（not ）：命题形式?p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真

“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”； “且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”； “非命题”的真假特点是“一真一假” 4、充要条件

由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。 5、全称命题与特称命题：

短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号?表示。含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号?表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 特称命题p ：)(,x p M x ∈?；

特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?；

§2函数和导数

一、函数的性质

1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；

2．值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式法等）； 3．奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：

Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求)(x f -； 比较)()(x f x f 与-或)()(x f x f --与的关系；Ⅱ.图象法；

常用的结论

①已知：)()()(x g x f x H =

若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相同，则在公共定义域内)(x H 为偶函数； 若非零函数)(),(x g x f 的奇偶性相反，则在公共定义域内)(x H 为奇函数； ②若)(x f 是奇函数，且定义域∈0，则(0)0f =.

4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：

（1）.定义法 步骤①：设2121,x x A x x <∈且；②作差)()(21x f x f -（一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；③判断正负号。 另解：设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()()

0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]1212

()()

0(),f x f x f x a b x x -

（2）.（多项式函数）用导数证明： 若)(x f 在某个区间A 内有导数，则

()0f x ≥' ()x A ∈ ?)(x f 在A 内为增函数；()0f x ≤' ()x A ∈ ?)(x f 在A 内为减函数.

（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法：

d.复合函数[])(x g f y =在公共定义域上的单调性：若f 与g 的单调性相同，则[])(x g f 为增函数； 若f 与g 的单调性相反，则[])(x g f 为减函数。注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.． （4）一些有用的结论：

①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：

F （x ）（增）=)(x f （增）+)(x g （增）； F （x ）（减）=)(x f （减）+)(x g （减）； F （x ）（增）=)(x f （增）-)(x g （减）； F （x ）（减）=)(x f （减）-)(x g （增）； ④一个重要的函数：函数)0,0(>>+

=b a x b

ax y 在???

????

+∞??? ?

?-

∞-,,b a

b a 或上单调递增；在

???

?

???????

?-b a b a ，或00,上是单调递减.

5．函数的周期性

（1）定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立，则()f x 叫做周期函数，T 叫做这个函数()f x 的一个周期. T 的整数倍都是()f x 的周期。

二、函数的图象

1．基本函数的图象：（1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数函数、（5）对数函数、

（6）三角函数、（7）函数)0,0(>>+

=b a x

b

ax y . 2．图象的变换 （1）平移变换

①函数()(0)y f x a a =+>的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数

()(0)y f x a a =+<的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；

②函数()(0)y f x a a =+>的图象是把函数()y f x =的图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的；函数

()(0)y f x a a =+<的图象是把函数()y f x =的图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的；

（2）对称变换

①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称； 函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称； 函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称；

②如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有()f a x += ()f a x -，那么)(x f y = 的图象关于直线

a x =对称；如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有()()2f a x f a x

b ++-=，那么)(x f y = 的图象

关于点(,)a b 对称。

③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。 ④)(1

x f

y -=与)(x f y =关于直x y =对称。

（3）伸缩变换（主要在三角函数的图象变换中） 三、函数的反函数： 1．求反函数的步骤：

（1）求原函数)(x f y =)(A x ∈的值域B

（2）把)(x f y =看作方程，解出)(y x ?=（注意开平方时的符号取舍）； （3）互换x 、y ，得)(x f y =的反函数为)(1

x f y -=)(B x ∈.

2．定理：（1）b a f a b f

=?=-)()(1

，即点(,)a b 在原函数图象上?点(,)b a 在反函数图象上；

（2）原函数与反函数的图象关于直线y x =对称.

3．有用的结论：原函数)(x f y =在区间],[a a -上单调的，则一定存在反函数，且反函数)(1

x f y -=也

单调的，且单调性相同；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。 四、函数、方程与不等式

1．“实系数一元二次方程02

=++c bx ax 有实数解”转化为“042

≥-=?ac b ”，你是否注意到必

须0≠a ；当a =0时，“方程有解”不能转化为042≥-=?ac b 。若原题中没有指出是“二次”方程、

函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？

2、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。

设

21,x x 为方程)0(,0)(>=a x f 的两个实根。

①若,,21m x m x ><则0)(

?

③当在区间),(n m 内有且只有两个实根时， ④若q x p n x m <<<<<21时

注意：①根据要求先画出抛物线，然后写出图象成立的充要条件。

②注意端点，验证端点。

五、指数函数与对数函数

1．指数式与对数式：

0,1,,0

log a a b R N b a a N N b >≠∈>=←?????→=

对数的三个性质：①0N >；②log 10a =；③ log 1a a =

对数恒等式：①

log a N a N =；②log log log m a m N N a

=；③log log m

n

a a n M M m = 对数运算性质：①log ()log log a a a MN M N =+； ②log log n

a a M

n M =；

③log log log a

a a M

M N N

=-.(0.1,0,0)a a M N >≠>> 指数运算性质：①r

s

r s

a a a

+= ②()r s rs

a a = ③()r

r r ab a b =()0,0,,a b r s Q >>∈

2．指数函数与对数函数

（1）特征图象与性质归纳（列表）

（2）有用的结论

①函数x y a =与log a y x =（0a >且0a ≠）图象关于直线y x =对称；函数x y a =与x

y a -=（0

a >且1a ≠）图象关于y 轴对称；函数1log a

y x =与log a y x =（0a >且0a ≠）图象关于x 轴对称.

②记住两个指数（对数）函数的图象如何区别？ 六、导数：

1．几种常见函数的导数

(1) 0='C （C 为常数） (2) '1()()n n x nx n Q -=∈ (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 1)(ln =

' （6）e a x x

a log 1)(log =' (7) x x e e =')( （8）a a a x

x ln )(=' ?????????>><-<≥??0

)(0)(20

n f m f n a

b m ()0()0()0()0

f m f n f p f q >??

??

2．导数的运算法则

（1）'

'

'

()u v u v ±=± （2）'

'

'

()uv u v uv =+ （3）''

'2

()(0)u u v uv v v v -=

≠. 3．复合函数的求导法则

设函数()u x ?=在点x 处有导数''()x u x ?=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数

''()u y f u =，则复合函数(())y f x ?=在点x 处有导数，且'''

x u x

y y u =?，或写作'''(())()()x f x f u x ??=. 4．导数的几何物理意义：

（1）几何意义：k ＝f /

(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))的切线的斜率。

曲线在点P(x 0,f(x 0))处的切线方程为：/000()()()y f x f x x x -=- （2）V ＝s /

(t)表示即时速度，a=v /

(t) 表示加速度。 5．单调区间的求解过程：已知)(x f y = ①分析)(x f y =的定义域； ②求导数 )(x f y '='；

③解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间。（或用列表法，见课本）

6．求极大、极小值：已知)(x f y = ①分析)(x f y =的定义域； ②求导数 )(x f y '='；

③求解方程()0f x '=（设有根12,,,n x x x ）；

④列表判断1n +个区间内导数的符号，判断12(),(),,()n f x f x f x 是否为极值．．．．．，如果是，是极大还是极小值。

注：判别)(0x f 是极大（小）值的方法 当函数)(x f 在点0x 处连续时，

（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.

注意：f /

(x 0)＝0不能得到当x=x 0时，函数有极值；但是，当x=x 0时，函数有极值? f /

(x 0)＝0

7．求函数在某闭区间[a,b]上的最大、最小值：

①②③同上；④比较()f a 、12(),(),,()n f x f x f x 、()f b ，最大的为max ()f x ，最小的为min ()f x . 注意：极值≠最值；最值问题一般仅在闭区间上研究（实际应用题除外，即应用题中有开区间问题）.

§3数列

一、数列的定义和基本问题

1．通项公式：)(n f a n =（用函数的观念理解和研究数列，特别注意其定义域的特殊性）； 2．前n 项和：12n n S a a a ++?+=；

3．通项公式与前n 项和的关系（是数列的基本问题也是考试的热点）：11,

1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?

二、等差数列：

1．定义和等价定义：1(2){}n n n a a d n a --=≥?是等差数列；

2．通项公式：B An d n a a n +=-+=)1(1；推广：d m n a a m n )(-+=；

3．前n 项和公式：Bn An d n n na n a a S n n +=-+=?+=

2112

)

1(2； 4．重要性质举例：①a 与b 的等差中项2

a b

A +=

； ②若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别地：若2m n p +=，则2m n p a a a +=； ③奇数项135,,a a a ，…成等差数列，公差为2d ；偶数项246,,a a a ，…成等差数列，公差为2d . ④若有奇数项21n +项，则21(21)n S n a +=+中；中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 2

1

n S -=，

（n 1a =a +中）； 若有偶数项2n 项, 则d 2

n

S =

-奇偶S ，其中d 为公差； ⑤设n A=S ，2n n B=S -S ，3n 2n C=S -S ， 则有C A B +=2； ⑥当10,0a d ><时，n S 有最大值；当10,0a d <>时，n S 有最小值.

⑦用一次函数理解等差数列的通项公式；用二次函数理解等差数列的前n 项和公式.

（8）若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'

12-n S ，则

'1

2

1

2--=n n n n S S b a 三、等比数列： 1．定义：

1

(2,0,0){}n

n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列； 2．通项公式：11-=n n q a a ；推广n m n m a a q -=；

3．前n 项和1

11(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??

=--?=≠?--?

；（注意对公比的讨论）

4．重要性质举例 ①a 与b 的等比中项

G 2

G ab G ?=?=,a b 同号）；

②若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；特别地：若2m n p +=，则2

m n p a a a ?=；

③设n A=S ，2n n B=S -S ，3n 2n C=S -S ， 则有2

B A

C =?； ④用指数函数理解等比数列（当10,0,1a q q >>≠时）的通项公式. 四、等差数列与等比数列的关系举例 1．{}n a 成等差数列?

{}n

a b 成等比数列；2．{}n

a 成等比数列{}0

log n a b n

a >?成等差数列.

五、数列求和方法 ：

1．等差数列与等比数列； 2．几种特殊的求和方法 （1）裂项相消法；)1

1(1))((1C

An B An B C C An B An a n +-+-=++=

（2）错位相减法：n n n c b a ?=, 其中{}n b 是等差数列， {}n c 是等比数列

记n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211；则1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++，… （3）通项分解法：n n n c b a ±=

六、递推数列与数列思想 1．递推数列

（1）能根据递推公式写出数列的前几项；

（2）常见题型：由(,)0n n f S a =，求,n n a S .解题思路：利用)2(,1≥-=-n S S a n n n 2．数学思想

（1）迭加累加（等差数列的通项公式的推导方法）若1(),(2)n n a a f n n --=≥，则……； （2）迭乘累乘（等比数列的通项公式的推导方法）若1

()(2)n

n a g n n a -=≥，则……； （3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）.

§4三角函数

一、三角函数的基本概念

1．终边相同的角的表示方法（终边在x 轴上；终边在y 轴上；终边在直线y x =上；终边在第一象限等），理解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；

2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函

数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关系）22

sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin ， 221

1tan cos αα

+=

诱导公式（奇变偶不变，符号看象限：．．．．．．．．．．．． 二、两角和与差的三角函数

1．和（差）角公式

（1）sin()αβ+= ；（2）sin()αβ-= .

（3）cos()αβ+= ；（4）cos()αβ-= . （5）tan()αβ+= ；（6）tan()αβ-= . 2．二倍角公式：（1）sin 2α= ；

（2）cos 2α= = = ； （3）tan 2α= .

3．有用的公式

（1）升（降）幂公式：2

1cos 2sin 2αα-=

、2

1cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22

ααα=； （2

）辅助角公式：sin cos )a b ααα?+=

+（?由,a b 具体的值确定）

； （3）正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-? t a n t a n

t a n

t a n 1t a n ()

αβαβαβ+?=-+

4．有用的解题思路

（1）“变角找思路，范围保运算”；（2）“降幂——辅助角公式——正弦型函数”； （3）巧用sin cos αα±与sin cos αα?的关系；（4）巧用三角函数线——数形结合. 三、三角函数的图象与性质

1．列表综合三个三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象与性质，并挖掘：

（1）最值的情况； （2）三函数的周期公式：

函数sin()y A x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y A x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期

2T π

ω

=

；若ω未说明大于0,则2||

T π

ω=

；函数tan()y x ω?=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数，

且A ≠0，ω＞0)的周期T π

ω

=

. （3）会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心；

sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ?

?-+∈???

?单调递减区间为

32,222k k k Z ππππ?

?++∈???

?，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈ cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈，

对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k π

π?

?

+

??

?

()k Z ∈ tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ?

?-+∈ ??

?，对称中心为(,0)()2k k Z π∈

2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ω?=+的简图，并能由图象写出解析式．

（1）“五点法”作图的列表方式；

（2）求解析式sin()y A x ω?=+时初相?的确定方法：代（最高、低）点法、公式1x ?ω

=-. 3．正弦型函数sin()y A x ω?=+的图象变换

切记：sin sin()y A x y A x ?ω

ωω?=???→=+平移

注意图象变换有时用向量表达，注意两者之间的转译. 四、解三角形、 1．三个重要结论 （1）正弦定理：

2sin sin a b c

R A sinB C

===（2R 为三角形ABC 的外接圆直径）或写成::sin :sin :sin a b c A B C =

（2）余弦定理：A ab c b a cos 22

2

2

-+=，或写成ab

a c

b A 2cos 2

22-+=

（3）三角形ABC 面积公式：111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B =

== 2．在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >?>

§5平面向量和空间向量

一、向量的基本概念

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量. 二、加法与减法运算

1．代数运算

(1)n n n A A A A A A A A 113221=+++- ．

(2)若=（11,y x ）, =（22,y x ）则±=（2121,y y x x ±±）． 2．几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

以向量=、=为邻边作平行四边形ABCD ，则两条对角线的向量=+,

BD =b －a ,DB =a －b .且有︱a ︱－︱b ︱≤︱a ±b ︱≤︱a ︱+︱b ︱．

3．运算律

向量加法有如下规律：a ＋b =b ＋a (交换律)； a +(b + c )=(a + b )+ c

（结合律）

； a +0=a a ＋(－a )=0. 三、实数与向量的积

实数λ与向量的积是一个向量。1．︱λ︱=︱λ︱·︱︱；

(1) 当λ＞0时，λ与的方向相同；当λ＜0时，λ与的方向相反；当λ=0时，λ=0． (2)若=（11,y x ），则λ·=（11,y x λλ）． 2．两个向量共线的充要条件：

(1) 向量与非零向量共线的充要条件是：有且仅有一个实数λ，使得=λ． (2) 若a =（11,y x ）, b =（22,y x ）则a ∥b 01221=-?y x y x ． 四、平面向量基本定理

1．若1e 、2e

是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实

数1λ，2λ，使得=1λ1e + 2λ2e

．

2．有用的结论：若1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，若一对实数1λ，2λ，使得1λ1e + 2λ2e

=0，则1λ=2λ=0. 五、向量的数量积； 1．向量的夹角：

已知两个非零向量与b ，作=, = b ,则∠AOB=θ （0

01800≤≤θ）叫做向量与b 的夹

角（两个向量必须有相同的起点．．．．．

）。 2．两个向量的数量积：已知两个非零向量与b

，它们的夹角为θ，

则·b =︱︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b

在方向上的投影．

3．向量的数量积的性质：若a =（11,y x ）, b

=（22,y x ）

（1）e ·=·e =︱︱cos θ (e

为单位向量)；

（2）a ⊥b ?a ·b =0?02121=+y y x x （a ，b

为非零向量）；

（3）︱︱=

=

（4）cos θ= a b

a b ?? =2

2

2221212121y x y x y y x x +?++．（可用于判定角是锐角还是钝角．．．．．．．．．．．．．） 4．向量的数量积的运算律：

a ·

b = b ·a ；(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )；(a ＋b )·

c =a ·c + b ·c

．

六、点P 分有向线段21P P 所成的比

1．定义：设P 1、P 2是直线l 上两个点，点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点，则存在一个实数λ使

P P 1=λ2P P ，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

2．位置讨论：

（1）当点P 在线段21P P 上时，

λ＞0；特别地：点P 是线段P 1P 2的中点是1λ=. （2）当点P 在线段21P P 或12P P 的延长线上时，

λ＜0； 3．分点坐标公式：若P P 1=λ2P P ；21,,P P P 的坐标分别为（11,y x ）,（y x ,）,（22,y x ）

；则???++

=++=λ

λλ

λ112121x x x y y y ，（λ≠－1）， 中点坐标公式：

?

??+

=+=2

22

12

1x x x y y y ．

4.三点共线定理： 若OA xOB yOC =+

则A,B,C 共线的充要条件是x+y=1

5.点的平移公式 ''''

x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????

'

'OP OP PP ?=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''

(,)P x y ，且'PP

的坐标为(,)h k ).

七、空间向量

1. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉

=

（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）.

2.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

,A B d

=||AB =

=.

§6不等式

一、不等式的基本性质与定理

1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系：

0>-?>b a b a ； 0<-?

（1）a b b a 或a b b a >?<（反对称性）

（2）c a c b b a >?>>,或c a c b b a

（3）c b c a b a +>+?>

推论1：b c a c b a ->?>+（移项法则）；推论2：d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加）；（4）bc ac c b a >?>>0,，bc ac c b a 0,

推论1：bd ac d c b a >?>>>>0,0；推论2：n

n

b a b a >?>>0 （5）n n b a b a >?>>0（,2n N n ∈≥）；（6）11

0,ab a b a b

>>?<（倒数法则） 3．常用的基本不等式和重要的不等式

（1）0,0,2

≥≥∈a a R a ， 当且仅当0a =取“=”.

（2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则（当且仅当a b =时取“=”） （3）+∈R b a ,，则ab b a 2≥+（当且仅当a b =时取“=”）

注：

2a b

+

. （4）222

()22

a b a b ++≥（当且仅当a b =时取“=”） 4

、最值定理：设,0,x y x y >+≥由

（1）如积xy P =为定值，则当且仅当x y =时x y +

有最小值

（2）如和x y S +=为定值，则当且仅当x y =时x y ?有最大值2

()2

S .

即：积定和最小，和定积最大.

注：运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.

5．含绝对值的不等式性质： b a b a b a +≤±≤±（注意等号成立的情况）. 二、解不等式

1．一元一次不等式 )0(≠>a b ax （1）???

?

??

>

>a b x x a ,0 ；（2）?

??

???<<或2

(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2ax bx c ++同

号，则其解集在两根之外；如果a 与2

ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

121212()()0()x x x x x x x x x <?--><或.

（2）重要结论：2

0ax bx c ++>(0)a ≠解集为R （即02

>++c bx ax 对R x ∈恒成立），则0,0a >?<.

（注：若二次函数系数含参数且未指明不为零时，需验证0=a ）.

3．绝对值不等式： （1）零点分段讨论??

?≤-≥=←0

0a a a a

a ，

（2）转化法：)()()()()()(x g x f x g x f x g x f -<>?>或；)()()()()(x g x f x g x g x f <<-?<； （3）数形结合

4．指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, ()()

()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

.

(2)当01a <<时, ()()

()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

5．高次不等式、分式不等式——序轴标根法（穿针引线法） 步骤：①形式：

()

0()

P x Q x >或()()0P x Q x >（移项，一边化为0，不要轻易去分母）； ②因式分解，化为积的形式（x 系数符号>0——标准式）；③序轴标根；④写出解集.

注意含参数的不等式的解的讨论．．．．．．．．．．．．．．. 四、一个有用的结论 关于函数x

p x y +

=： 1．0p >时，当0x >

时p x x +

≥0x <

时p

x x

+≤-

在0(

、[上是减函

数；在-∞（

、[)+∞上是增函数.

2．0p <时，在()0-∞，、

0+∞（，）上为增函数. §7直线与圆

一、直线的基本量

1．两点间距离公式：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=

特别地：x //AB 轴，则=AB ；y //AB 轴，则=AB .

2．直线l ：y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =相交的弦AB 长公式

消去y 得02

=++c bx ax （务必注意0?>），设A ),(),,(2211y x B y x 则：

AB ==3．直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角[0,)απ∈；当2

π

α≠

时，直线的斜率tan k α=.

（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图

4．直线在x 轴和y 轴上的截距：（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义. 二、直线的方程： 直线方程的五种形式

:

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

11

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

（4）截距式1(,x y

a b x y a b

+=≠≠分别为轴轴上的截距,且a 0,b 0)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

三、两条直线的位置关系：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212//,l l k k b b ?=≠； ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,

①1212211221//00l l A B A B AC A C ?-=-≠且；②1212120l l A A B B ⊥?+=； 五、点到直线的距离

1．点00(,)P x y 到直线0=++C By Ax 的距离： 2

2

00B

A C By Ax d +++=

2．平行线间距离：若10Ax By C ++=、20Ax By C ++=，则2

2

21B

A C C d +-=.

注意点：x ，y 对应项系数应相等.且12C C ≠ 六、圆：1．确定圆需三个独立的条件

（1）标准方程：222)()(r b y a x =-+-， 其中圆心为(,)a b ，半径为r . （2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D 其中圆心为(,)22

D E --， 半径为2

422F E D r -+=

.

2．直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系：

设圆心C 到直线l 的距离为d,则相切?d=r ，相交?dr ；

3．两圆的位置关系： 设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则

外离?d>R ＋r ，外切?d ＝R ＋r ，相交?R －r

§8圆锥曲线

一、椭圆，1．定义

（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 （2）第二定义：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距

离与到定直线l 的距离之比为常数e （0

2．标准方程：（1）焦点在x 轴上：122

22=+b

y a x )0(>>b a ；

焦点在y 轴上：22

221y x a b

+= )0(>>b a 。

（焦点的位置?标准方程形式） 3．几何性质（以焦点在x 轴上为例）： （1）范围： a x a -≤≤ 、b y b -≤≤

（2）对称性：长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距

=2c

（3）离心率c

e a

=，准线方程c a x 2±

=

（4）有用的结论：212PF a PF -=，c a PF c a +≤≤-1， =11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12，

顶点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关.

（5）21F PF ?中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．．将有关线段1PF 、2PF 、2c ，有关角21PF F ∠ 结合起来，建立1PF +2PF 、1PF ·2PF 等关系 二、双曲线

1．定义：

（1）第一定义：若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。（2）第二定义：若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。 2．标准方程

（1）焦点在x 轴上：122

22=-b y a x )0,0(>>b a ；

焦点 在y 轴上：122

22=-b

x a y )0,0(>>b a .

（2）焦点的位置?标准方程形式 3．几何性质（以焦点在x 轴上为例）

（1）范围：x a ≥或x a ≤-、(,)y ∈-∞+∞

（2）对称性：实轴长=a 2，虚轴长=2b ，焦距=2c.

（3）离心率c

e a

=，准线方程c a x 2

±=

（4）渐近线方程：?=-02222b

y a x x a b

y ±=.

与此有关的结论：若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

22

b y a x ；若双曲

线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上；0<λ，焦点在y 轴上）.

（5）当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-2

2y x ；

（6）注意21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理

21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来。

三、抛物线

1．定义：到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。 2．标准方程（以焦点在x 轴的正半轴为例）： 2

2(0)y px p =>（其

中p 为焦点到准线的距离——焦参数）；

3．几何性质

（1） 焦点：)0,2

(

p ，通径p AB 2=，准线：2p x -=；

（2） 焦半径：02p CF x =+， 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2.

（3）几何特征：焦点到顶点的距离=2

p

；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2（通径是最短的焦点弦），

顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

（4）抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2

y p

y

四、直线与圆锥曲线的关系判断

1．直线与双曲线：当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线仅有一个交点. 2．直线与抛物线：当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线仅有一个交点.

§9立体几何

一、直线、平面、简单几何体：

1、学会三视图的分析：

2、斜二测画法应注意的地方：

（１）在已知图形中取互相垂直的轴Ox 、Oy 。画直观图时，把它画成对应轴 o'x'、o'y'、使∠x'o'y'=45°（或135° ）； （２）平行于ｘ轴的线段长不变，平行于ｙ轴的线段长减半．（３）直观图中的４５度原图中就是９０度，直观图中的９０度原图一定不是９０度． 3、表（侧）面积与体积公式：

⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h ⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=3

1

S 底h ： ⑶台体①表面积：S=S 侧+S 上底S 下底②侧面积：S 侧=l r r )('+π

⑷球体：①表面积：S=24R π；②体积：V=33

4

R π

4、位置关系的证明（主要方法）：注意立体几何证明的书写

（1）直线与平面平行：①线线平行?线面平行；②面面平行?线面平行。 （2）平面与平面平行：①线面平行?面面平行。

（3）垂直问题：线线垂直?线面垂直?面面垂直。核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线 5、求角：（步骤-------Ⅰ.找或作角；Ⅱ.求角）

⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形； ⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角 二、主要思想与方法

1．计算问题：

（1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算

异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法. 直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.

二面角 方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.

注：二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算

（2）空间距离：两点之间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、两条平行线间的距离、两条异面直线间的距离、平面的平行直线与平面之间的距离、两个平行平面之间的距离.

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.

在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点. 求点到平面的距离：（1）直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.（2）转移法，转化成求另一点到该平面的距离.（3）体积法.

2．平面图形的翻折，要注意翻折．．

前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变

3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：

①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决. ②将空间图形展开（移出）是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法. ③补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.

④利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高.

§10复数

1.复数的相等,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈） 2．复数的运算法则：设12,.z a bi z c di =+=+则 ①12()()()()z z a bi c di a c b d i ±=+++=±+± ②12()()z z ac bd ad bd i =-++ ③

22

122222(0)z ac bd bc ad i c d z c d c d

+-=++≠++

3.复数12,.z a bi z c di =+=+的模（或绝对值）||z =||a bi +其中,.a b R ∈ ①;z z = ②

1

2

1

2

..;z z

z z

=

③

112

2

2

(

0);z z

z z

z

=

≠

④

;n

n

z

z

=

⑤11;z z z =??= ⑥2

2

2

2.z z z z z z ====?

4．复数常用的运算技巧 ①41n

i

=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，441n i +=，1230()n n n n i i i i n Z ++++++=∈

②2(1)2i i ±=± ③

1,1i i i +=- 11i

i i

-=-+ §11概率和统计

一、

概率

1，古典概率

⑴定义：我们把试验中所有可能出现的基本事件是有限个；每个基本事件出现的可能性相等，具备以

上两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概率。

⑵求法：如果一次试验中的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能事件的概率都是1

n

，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，那么事件A 发生的概率为：()m

P A n

=

P(A)∈[0，1] ⑶利用概率的古典定义来求等可能事件概率的步骤：

1）先判断 2）确定基本事件总个数n 3）算出事件A 中包含的基本事件的个数m 4）代入公式计算。

2．几何概型 A ()

P(A)=

()

构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积

3．互斥事件 A ，B 中有一个发生的概率： 加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)

特例：A B =时，1)A (P )A (P =+，即对立事件的概率和为1

对于n 个互斥事件A 1，A 2，…，A n ，其加法公式为P （A 1+A 2+…+A n ）=P （A 1）+P （A 2）+…+P （A n ）. 4.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).

n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 5.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k

k

n k

n n P k C P P -=-

6.离散型随机变量的分布列的两个性质： （1）0(1,2,)i P i ≥= ;（2）121P P ++= .

7.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++

8.数学期望的性质：（1）()()E a b aE b ξξ+=+；（2）若ξ～(,)B n p ，则E np ξ=. 9.方差 ()()()2

2

2

1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+ 10.标准差σξ=ξD .

二、统计

1．总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；

2．抽样方法：统计抽样的基本方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种简单的抽样都是等概率抽样，各方法的适用范围及相互关系如下表：

[]r 0.75,1∈正相关很强，[]r -1,-0.75∈负相关很强，[]r -0.25,0.25∈相关关系较弱.

§12排列组合和二项式定理

1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ .

2.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =??? .

3.排列数公式m

n A =)1()1(+--m n n n =

！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m n ≤)．

4.排列恒等式 （1）1

(1)m m n n

A n m A -=-+;（2）1m

m

n n n A A n m

-=-; （3）1

1m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA

A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+. 5.组合数公式 m

n C

=

m n m

m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ，m ∈N *

，且m n ≤). 6.组合数的两个性质(1) m

n C =m n n C - ;(2) m

n C +1-m n C =m

n C 1+

7.组合恒等式（1）11m

m n n n m C C m --+=

;（2）1m m

n n n C C n m

-=-; （3）11m

m n

n n C C m --=；（4）∑=n

r r n C 0

=n 2； （5）1

121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .

8.排列数与组合数的关系是：m m

n n

A m C =?！ . 9.二项式定理 n

n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a

C a C b a ++++++=+--- 2221

10)( ;

二项展开式的通项公式：r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

=.